Номер 16.75, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.75, страница 88.

Условие.

16.75 Докажите тождество:

а) $\frac{4\sqrt{ab}}{a - 4b} + \frac{\sqrt{a} - 2\sqrt{b}}{\sqrt{a} + 2\sqrt{b}} = \frac{a + 4b}{a - 4b}$;

б) $\frac{2\sqrt{a} - 3\sqrt{b}}{2\sqrt{a} + 3\sqrt{b}} - \frac{12\sqrt{ab}}{9b - 4a} = \frac{4a + 9b}{4a - 9b}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы доказать тождество, преобразуем левую часть равенства. Область допустимых значений (ОДЗ): $a \ge 0$, $b \ge 0$, $a - 4b \ne 0$.

$\frac{4\sqrt{ab}}{a-4b} + \frac{\sqrt{a}-2\sqrt{b}}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}}$

Разложим знаменатель первой дроби $a-4b$ по формуле разности квадратов: $a-4b = (\sqrt{a})^2 - (2\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a}-2\sqrt{b})(\sqrt{a}+2\sqrt{b})$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(a-4b)$. Для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на сопряженное выражение к ее знаменателю, то есть на $(\sqrt{a}-2\sqrt{b})$:

$\frac{\sqrt{a}-2\sqrt{b}}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a}-2\sqrt{b})(\sqrt{a}-2\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+2\sqrt{b})(\sqrt{a}-2\sqrt{b})} = \frac{(\sqrt{a}-2\sqrt{b})^2}{a-4b}$

Теперь выполним сложение дробей:

$\frac{4\sqrt{ab}}{a-4b} + \frac{(\sqrt{a}-2\sqrt{b})^2}{a-4b} = \frac{4\sqrt{ab} + (\sqrt{a}-2\sqrt{b})^2}{a-4b}$

Раскроем квадрат разности в числителе, используя формулу $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(\sqrt{a}-2\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 - 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 2\sqrt{b} + (2\sqrt{b})^2 = a - 4\sqrt{ab} + 4b$

Подставим полученное выражение обратно в числитель и упростим:

$\frac{4\sqrt{ab} + (a - 4\sqrt{ab} + 4b)}{a-4b} = \frac{4\sqrt{ab} + a - 4\sqrt{ab} + 4b}{a-4b} = \frac{a+4b}{a-4b}$

В результате преобразования левой части мы получили правую часть. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Преобразуем левую часть равенства. ОДЗ: $a \ge 0$, $b \ge 0$, $4a - 9b \ne 0$.

$\frac{2\sqrt{a}-3\sqrt{b}}{2\sqrt{a}+3\sqrt{b}} - \frac{12\sqrt{ab}}{9b-4a}$

Заметим, что знаменатель второй дроби $9b-4a = -(4a-9b)$. Вынесем минус за знак дроби:

$\frac{2\sqrt{a}-3\sqrt{b}}{2\sqrt{a}+3\sqrt{b}} - \frac{12\sqrt{ab}}{-(4a-9b)} = \frac{2\sqrt{a}-3\sqrt{b}}{2\sqrt{a}+3\sqrt{b}} + \frac{12\sqrt{ab}}{4a-9b}$

Разложим знаменатель $4a-9b$ по формуле разности квадратов: $4a-9b = (2\sqrt{a})^2 - (3\sqrt{b})^2 = (2\sqrt{a}-3\sqrt{b})(2\sqrt{a}+3\sqrt{b})$. Это будет общий знаменатель.

Приведем первую дробь к общему знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $(2\sqrt{a}-3\sqrt{b})$:

$\frac{(2\sqrt{a}-3\sqrt{b})(2\sqrt{a}-3\sqrt{b})}{(2\sqrt{a}+3\sqrt{b})(2\sqrt{a}-3\sqrt{b})} + \frac{12\sqrt{ab}}{4a-9b} = \frac{(2\sqrt{a}-3\sqrt{b})^2}{4a-9b} + \frac{12\sqrt{ab}}{4a-9b}$

Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{(2\sqrt{a}-3\sqrt{b})^2 + 12\sqrt{ab}}{4a-9b}$

Раскроем квадрат разности в числителе:

$(2\sqrt{a}-3\sqrt{b})^2 = (2\sqrt{a})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{a} \cdot 3\sqrt{b} + (3\sqrt{b})^2 = 4a - 12\sqrt{ab} + 9b$

Подставим это выражение в числитель и упростим:

$\frac{(4a - 12\sqrt{ab} + 9b) + 12\sqrt{ab}}{4a-9b} = \frac{4a - 12\sqrt{ab} + 9b + 12\sqrt{ab}}{4a-9b} = \frac{4a+9b}{4a-9b}$

Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.