Номер 16.70, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.70, страница 87.

Условие.

16.70 a) $\frac{a}{\sqrt{a} - 3} - \frac{9}{\sqrt{a} - 3};$

б) $\frac{c}{\sqrt{c} - 10} - \frac{20\sqrt{c} - 100}{\sqrt{c} - 10};$

в) $\frac{c}{\sqrt{c} + 9} - \frac{81}{\sqrt{c} + 9};$

г) $\frac{d}{\sqrt{d} + 7} + \frac{14\sqrt{d} + 49}{\sqrt{d} + 7}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Упростим выражение $\frac{a}{\sqrt{a}-3} - \frac{9}{\sqrt{a}-3}$.
Так как знаменатели дробей одинаковы, мы можем выполнить вычитание числителей, оставив знаменатель без изменений:
$\frac{a}{\sqrt{a}-3} - \frac{9}{\sqrt{a}-3} = \frac{a - 9}{\sqrt{a}-3}$.
Теперь заметим, что числитель $a - 9$ является разностью квадратов. Мы можем представить $a$ как $(\sqrt{a})^2$, а $9$ как $3^2$.
Используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, получаем:
$a - 9 = (\sqrt{a})^2 - 3^2 = (\sqrt{a} - 3)(\sqrt{a} + 3)$.
Подставим это обратно в нашу дробь:
$\frac{(\sqrt{a} - 3)(\sqrt{a} + 3)}{\sqrt{a}-3}$.
Сократим общий множитель $(\sqrt{a} - 3)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{\cancel{(\sqrt{a} - 3)}(\sqrt{a} + 3)}{\cancel{\sqrt{a} - 3}} = \sqrt{a} + 3$.
Ответ: $\sqrt{a} + 3$.

б) Упростим выражение $\frac{c}{\sqrt{c}-10} - \frac{20\sqrt{c}-100}{\sqrt{c}-10}$.
Знаменатели дробей одинаковы, поэтому вычитаем числители. Важно не забыть скобки при вычитании второго числителя:
$\frac{c - (20\sqrt{c}-100)}{\sqrt{c}-10} = \frac{c - 20\sqrt{c} + 100}{\sqrt{c}-10}$.
Числитель $c - 20\sqrt{c} + 100$ является полным квадратом. Мы можем представить $c$ как $(\sqrt{c})^2$, а $100$ как $10^2$.
Используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, получаем:
$c - 20\sqrt{c} + 100 = (\sqrt{c})^2 - 2 \cdot \sqrt{c} \cdot 10 + 10^2 = (\sqrt{c} - 10)^2$.
Подставим это в дробь:
$\frac{(\sqrt{c} - 10)^2}{\sqrt{c} - 10}$.
Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{c} - 10)$:
$\frac{\cancel{(\sqrt{c} - 10)}(\sqrt{c} - 10)}{\cancel{\sqrt{c} - 10}} = \sqrt{c} - 10$.
Ответ: $\sqrt{c} - 10$.

в) Упростим выражение $\frac{c}{\sqrt{c}+9} - \frac{81}{\sqrt{c}+9}$.
Дроби имеют общий знаменатель, поэтому вычитаем числители:
$\frac{c - 81}{\sqrt{c}+9}$.
Числитель $c - 81$ — это разность квадратов, так как $c = (\sqrt{c})^2$ и $81 = 9^2$.
Применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$c - 81 = (\sqrt{c})^2 - 9^2 = (\sqrt{c} - 9)(\sqrt{c} + 9)$.
Подставим разложенный числитель в дробь:
$\frac{(\sqrt{c} - 9)(\sqrt{c} + 9)}{\sqrt{c} + 9}$.
Сократим общий множитель $(\sqrt{c} + 9)$:
$\frac{(\sqrt{c} - 9)\cancel{(\sqrt{c} + 9)}}{\cancel{\sqrt{c} + 9}} = \sqrt{c} - 9$.
Ответ: $\sqrt{c} - 9$.

г) Упростим выражение $\frac{d}{\sqrt{d}+7} + \frac{14\sqrt{d}+49}{\sqrt{d}+7}$.
Так как знаменатели дробей одинаковы, складываем их числители:
$\frac{d + 14\sqrt{d} + 49}{\sqrt{d}+7}$.
Числитель $d + 14\sqrt{d} + 49$ является полным квадратом. Мы можем представить $d$ как $(\sqrt{d})^2$, а $49$ как $7^2$.
Используя формулу квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, получаем:
$d + 14\sqrt{d} + 49 = (\sqrt{d})^2 + 2 \cdot \sqrt{d} \cdot 7 + 7^2 = (\sqrt{d} + 7)^2$.
Подставим это в дробь:
$\frac{(\sqrt{d} + 7)^2}{\sqrt{d}+7}$.
Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{d} + 7)$:
$\frac{\cancel{(\sqrt{d} + 7)}(\sqrt{d} + 7)}{\cancel{\sqrt{d} + 7}} = \sqrt{d} + 7$.
Ответ: $\sqrt{d} + 7$.