Номер 16.64, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.64, страница 86.

Условие.

16.64 a) $\frac{4a + 4\sqrt{3}}{3 - a^2};$

б) $\frac{x - y}{\sqrt{5y} - \sqrt{5x}};$

в) $\frac{x - 25}{3\sqrt{x} + 15};$

г) $\frac{\sqrt{mn} + n}{m - n}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Дана дробь $\frac{4a + 4\sqrt{3}}{3 - a^2}$.

1. Разложим числитель на множители, вынеся общий множитель 4 за скобки:

$4a + 4\sqrt{3} = 4(a + \sqrt{3})$.

2. Разложим знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. Для этого представим 3 как $(\sqrt{3})^2$:

$3 - a^2 = (\sqrt{3})^2 - a^2 = (\sqrt{3} - a)(\sqrt{3} + a)$.

3. Подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{4(a + \sqrt{3})}{(\sqrt{3} - a)(\sqrt{3} + a)}$.

4. Сократим дробь на общий множитель $(a + \sqrt{3})$, так как $(a + \sqrt{3}) = (\sqrt{3} + a)$:

$\frac{4\cancel{(a + \sqrt{3})}}{(\sqrt{3} - a)\cancel{(\sqrt{3} + a)}} = \frac{4}{\sqrt{3} - a}$.

Ответ: $\frac{4}{\sqrt{3} - a}$.

б)

Дана дробь $\frac{x - y}{\sqrt{5y} - \sqrt{5x}}$.

1. Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов, представив $x = (\sqrt{x})^2$ и $y = (\sqrt{y})^2$:

$x - y = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$.

2. В знаменателе вынесем общий множитель $\sqrt{5}$ за скобки:

$\sqrt{5y} - \sqrt{5x} = \sqrt{5}(\sqrt{y} - \sqrt{x})$.

3. Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{5}(\sqrt{y} - \sqrt{x})}$.

4. Заметим, что множители в числителе и знаменателе отличаются знаком: $(\sqrt{y} - \sqrt{x}) = -(\sqrt{x} - \sqrt{y})$. Вынесем минус в знаменателе:

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{-\sqrt{5}(\sqrt{x} - \sqrt{y})}$.

5. Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{x} - \sqrt{y})$:

$\frac{\cancel{(\sqrt{x} - \sqrt{y})}(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{-\sqrt{5}\cancel{(\sqrt{x} - \sqrt{y})}} = -\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{5}}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{5}}$.

в)

Дана дробь $\frac{x - 25}{3\sqrt{x} + 15}$.

1. Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов, представив $x = (\sqrt{x})^2$ и $25 = 5^2$:

$x - 25 = (\sqrt{x})^2 - 5^2 = (\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 5)$.

2. В знаменателе вынесем общий множитель 3 за скобки:

$3\sqrt{x} + 15 = 3(\sqrt{x} + 5)$.

3. Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 5)}{3(\sqrt{x} + 5)}$.

4. Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{x} + 5)$:

$\frac{(\sqrt{x} - 5)\cancel{(\sqrt{x} + 5)}}{3\cancel{(\sqrt{x} + 5)}} = \frac{\sqrt{x} - 5}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{x} - 5}{3}$.

г)

Дана дробь $\frac{\sqrt{mn} + n}{m - n}$.

1. В числителе представим $n$ как $(\sqrt{n})^2$ и вынесем общий множитель $\sqrt{n}$ за скобки:

$\sqrt{mn} + n = \sqrt{m}\sqrt{n} + (\sqrt{n})^2 = \sqrt{n}(\sqrt{m} + \sqrt{n})$.

2. Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов, представив $m = (\sqrt{m})^2$ и $n = (\sqrt{n})^2$:

$m - n = (\sqrt{m})^2 - (\sqrt{n})^2 = (\sqrt{m} - \sqrt{n})(\sqrt{m} + \sqrt{n})$.

3. Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{\sqrt{n}(\sqrt{m} + \sqrt{n})}{(\sqrt{m} - \sqrt{n})(\sqrt{m} + \sqrt{n})}$.

4. Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{m} + \sqrt{n})$:

$\frac{\sqrt{n}\cancel{(\sqrt{m} + \sqrt{n})}}{(\sqrt{m} - \sqrt{n})\cancel{(\sqrt{m} + \sqrt{n})}} = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m} - \sqrt{n}}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m} - \sqrt{n}}$.