Страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. История развития понятия числа.

Доисторический период: возникновение счета

История понятия числа начинается в глубокой древности, задолго до появления письменности. Первобытные люди столкнулись с необходимостью вести учет различных объектов: членов племени, убитых на охоте животных, собранных плодов, дней до определенного события. На этом этапе число еще не было абстрактной категорией, оно было неразрывно связано с предметами, которые считали. Самыми первыми инструментами для счета были пальцы рук и ног, что, вероятно, послужило основой для развития пятеричной, десятеричной и двадцатеричной систем счисления. Для фиксации количества использовались простейшие методы: зарубки на дереве или кости, узелки на веревках, группы камней. Этот процесс представлял собой установление взаимно-однозначного соответствия между множеством предметов и множеством элементов счетного эталона (например, зарубок). Постепенно, с развитием языка и мышления, слово, обозначающее количество, начало отделяться от конкретных предметов, что привело к рождению абстрактного понятия "число".

Ответ: На заре человечества понятие числа возникло из практической необходимости счета и представляло собой установление взаимно-однозначного соответствия между предметами и счетными эталонами (пальцами, зарубками), что со временем привело к формированию абстрактной идеи количества.

Древние цивилизации: натуральные и дробные числа

С возникновением государств в Древнем Египте, Месопотамии, Индии и Китае потребовались более сложные системы для записи чисел. Египтяне использовали иероглифическую непозиционную систему счисления, где были отдельные знаки для степеней десяти: 1, 10, 100 и т.д. Вавилоняне совершили прорыв, создав первую известную позиционную систему счисления — шестидесятеричную. Позиционный принцип, при котором значение цифры зависит от ее положения в записи числа, стал величайшим достижением, позволившим легко оперировать с большими числами и дробями. Именно в этот период прочно утверждается понятие натурального числа как числа, используемого для счета предметов: $N = \{1, 2, 3, ...\}$. Практические задачи, такие как раздел урожая или земли, привели к появлению дробных чисел. В Египте оперировали в основном аликвотными дробями (вида $1/n$), представляя остальные дроби как их сумму. Вавилоняне, благодаря своей позиционной системе, могли представлять дроби аналогично нашим десятичным, но с основанием 60.

Ответ: Древние цивилизации систематизировали понятие натурального числа и создали системы счисления (включая прорывную позиционную систему Вавилона), а также ввели в обиход дробные (рациональные) числа для решения практических задач измерения и деления.

Античность: иррациональные числа и кризис в математике

В Древней Греции математика превратилась из набора практических правил в строгую науку, основанную на логических доказательствах. Философская школа Пифагора провозгласила лозунг «Все есть число», полагая, что сущность любого явления можно выразить через натуральные числа и их отношения (дроби). Однако это мировоззрение потерпело крах, когда сами пифагорейцы обнаружили существование несоизмеримых отрезков. Классический пример — диагональ квадрата со стороной 1. Согласно теореме Пифагора, ее длина равна $\sqrt{2}$. Было строго доказано, что это число невозможно представить в виде дроби $p/q$, где $p$ и $q$ — целые числа. Это открытие вызвало глубочайший кризис в античной математике. Числа, подобные $\sqrt{2}$, греки назвали «алогос» (невыразимые, иррациональные) и не считали их числами в полном смысле слова, работая с ними исключительно как с геометрическими величинами (длинами отрезков).

Ответ: Древнегреческие математики, в частности пифагорейцы, открыли существование иррациональных чисел (например, $\sqrt{2}$), которые не могли быть выражены как отношение целых чисел, что привело к первому крупному кризису в основаниях математики и разделению понятий числа и величины.

Средневековье и Новое время: отрицательные числа и ноль

Понятие нуля как числа, а не просто символа для обозначения пустой позиции, родилось в Индии примерно в VII веке. Индийские математики (в частности, Брахмагупта) ввели ноль как полноценное число и определили правила арифметических операций с ним (сложение, вычитание, умножение, деление). Вместе с нулем в Индии и Китае начали активно использовать отрицательные числа, которые трактовались как долг. Через арабских ученых, которые переняли и развили индийские достижения (включая позиционную десятичную систему), эти концепции проникли в Европу. Однако европейская математика долгое время относилась к отрицательным числам с недоверием, называя их «ложными» или «абсурдными». Полное признание они получили лишь в XVII–XVIII веках, когда была найдена их наглядная интерпретация на числовой оси. Это привело к расширению множества натуральных чисел до множества целых чисел $Z = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$ и далее до множества всех рациональных чисел $Q = \{p/q \mid p \in Z, q \in N\}$.

Ответ: В Средние века в Индии были введены ноль и отрицательные числа как полноценные математические объекты, которые, несмотря на долгое неприятие в Европе, в конечном итоге расширили систему чисел до множества целых и рациональных чисел.

Развитие математики в XVII-XIX веках: комплексные числа

Следующий шаг в развитии понятия числа был связан с решением алгебраических уравнений. В XVI веке при решении кубических уравнений по формуле Кардано математики столкнулись с ситуацией, когда для нахождения вполне реальных корней приходилось в промежуточных вычислениях извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Итальянский математик Рафаэль Бомбелли показал, что если обращаться с этими «мнимыми» величинами по определенным правилам, то можно прийти к верному вещественному результату. В XVIII веке Леонард Эйлер ввел для мнимой единицы $\sqrt{-1}$ символ $i$ (так что $i^2 = -1$). Однако полноценными числами выражения вида $a + bi$ (комплексные числа) стали считаться лишь в XIX веке после того, как Карл Фридрих Гаусс и другие математики предложили их геометрическую интерпретацию в виде точек на комплексной плоскости. Гаусс также доказал Основную теорему алгебры, согласно которой любой многочлен имеет корень в поле комплексных чисел $C$. Это показало, что множество комплексных чисел является алгебраически замкнутым, и для решения алгебраических уравнений больше не требуется вводить новые типы чисел.

Ответ: Необходимость решения кубических уравнений привела к введению мнимых и, как следствие, комплексных чисел ($a + bi$), которые получили полное признание после их геометрической интерпретации и доказательства их алгебраической замкнутости.

Современный этап: трансцендентные числа и аксиоматизация

В XIX веке произошло дальнейшее углубление понимания природы чисел. Все числа, являющиеся корнями многочленов с целыми коэффициентами, назвали алгебраическими. В 1844 году Жозеф Лиувилль доказал существование чисел, не являющихся алгебраическими — их назвали трансцендентными. Позже была доказана трансцендентность таких фундаментальных констант, как $e$ (Шарль Эрмит, 1873) и $\pi$ (Фердинанд фон Линдеман, 1882). Доказательство трансцендентности $\pi$ окончательно решило античную задачу о квадратуре круга, показав ее невозможность при помощи циркуля и линейки. Множество всех рациональных и иррациональных (как алгебраических, так и трансцендентных) чисел образовало континуум вещественных чисел $R$. Конец XIX века ознаменовался строгой формализацией и аксиоматизацией всей системы чисел. Джузеппе Пеано сформулировал аксиомы для натуральных чисел, а Рихард Дедекинд и Георг Кантор разработали строгие теории построения множества вещественных чисел на основе рациональных. В результате была выстроена четкая и логически обоснованная иерархия числовых множеств: $N \subset Z \subset Q \subset R \subset C$.

Ответ: На современном этапе было введено различие между алгебраическими и трансцендентными числами (такими как $e$ и $\pi$) и создана строгая аксиоматическая основа для всей системы чисел, от натуральных до комплексных, что завершило формирование классического понятия числа.

2. Построение графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля.

Построение графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля, выполняется с помощью стандартных преобразований графиков или путем раскрытия модуля. Рассмотрим основные случаи и методы.

Построение графика функции y = |f(x)|

Чтобы построить график функции $y = |f(x)|$, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Построить график исходной функции $y = f(x)$.
2. Оставить без изменений ту часть графика, которая расположена в верхней полуплоскости и на оси абсцисс (то есть, где $f(x) \ge 0$).
3. Часть графика, которая расположена в нижней полуплоскости (где $f(x) < 0$), симметрично отразить относительно оси абсцисс (оси Ox).
Это правило следует напрямую из определения модуля: $$ y = |f(x)| = \begin{cases} f(x), & \text{если } f(x) \ge 0 \\ -f(x), & \text{если } f(x) < 0 \end{cases} $$ График функции $y = -f(x)$ является симметричным отражением графика $y = f(x)$ относительно оси Ox.

Пример: Построить график функции $y = |x^2 - 2x - 3|$.
1. Сначала строим график параболы $y = x^2 - 2x - 3$. Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее вершину: $x_0 = -b/(2a) = -(-2)/(2 \cdot 1) = 1$. $y_0 = 1^2 - 2(1) - 3 = -4$. Вершина находится в точке $(1, -4)$. Найдем нули функции: $x^2 - 2x - 3 = 0$, по теореме Виета $x_1 = -1$, $x_2 = 3$.
2. Части параболы на интервалах $(-\infty, -1]$ и $[3, \infty)$, где $y \ge 0$, оставляем без изменений.
3. Часть параболы на интервале $(-1, 3)$, где $y < 0$, симметрично отражаем относительно оси Ox. Вершина $(1, -4)$ перейдет в точку $(1, 4)$.

Ответ: Для построения графика $y = |f(x)|$ нужно сначала построить график $y = f(x)$, а затем часть графика, лежащую ниже оси Ox, симметрично отразить относительно этой оси.

Построение графика функции y = f(|x|)

Чтобы построить график функции $y = f(|x|)$, необходимо:
1. Построить график функции $y = f(x)$ только для неотрицательных значений аргумента, то есть для $x \ge 0$.
2. Удалить (или не строить) часть графика, которая соответствует $x < 0$.
3. Построенную для $x \ge 0$ часть графика симметрично отразить относительно оси ординат (оси Oy).
Этот алгоритм основан на том, что функция $y = f(|x|)$ является четной, так как $f(|-x|) = f(|x|)$. График четной функции всегда симметричен относительно оси Oy. $$ y = f(|x|) = \begin{cases} f(x), & \text{если } x \ge 0 \\ f(-x), & \text{если } x < 0 \end{cases} $$

Пример: Построить график функции $y = x^2 - 4|x| + 3$.
Так как $x^2 = |x|^2$, функцию можно представить в виде $y = |x|^2 - 4|x| + 3$. Это функция вида $y = f(|x|)$, где $f(t) = t^2 - 4t + 3$.
1. Строим график функции $y = x^2 - 4x + 3$ для $x \ge 0$. Это часть параболы с вершиной в точке $x_0 = -(-4)/2 = 2$, $y_0 = 2^2 - 4(2) + 3 = -1$. Вершина $(2, -1)$. Нули функции: $x_1=1, x_2=3$.
2. Оставляем только ту часть параболы, что находится в правой полуплоскости (включая ось Oy).
3. Отражаем эту часть графика симметрично относительно оси Oy. В результате в левой полуплоскости появится симметричная часть с вершиной в точке $(-2, -1)$ и нулями в точках $x=-1$ и $x=-3$.

Ответ: Для построения графика $y = f(|x|)$ нужно построить график $y = f(x)$ для $x \ge 0$ и отразить его симметрично относительно оси Oy.

Построение графика функции y = |f(|x|)|

Для построения графика такого вида нужно последовательно выполнить оба предыдущих преобразования. Порядок их применения не имеет значения.
Алгоритм 1: $y = f(x) \rightarrow y = f(|x|) \rightarrow y = |f(|x|)|$.
Алгоритм 2: $y = f(x) \rightarrow y = |f(x)| \rightarrow y = |f(|x|)|$.
Рассмотрим на примере функции $y = |\sin x|$.

Пример: Построить график функции $y = ||x| - 2|$.
Здесь $f(x) = x-2$.
1. Построим базовый график $y = x - 2$ (прямая линия).
2. Выполним первое преобразование: $y = f(|x|) \Rightarrow y = |x| - 2$. Для этого часть графика $y=x-2$ при $x \ge 0$ (луч, выходящий из точки $(0,-2)$ вправо-вверх) оставляем и отражаем ее симметрично относительно оси Oy. Получаем график в виде "галочки" с вершиной в точке $(0,-2)$.
3. Выполним второе преобразование: $y = ||x| - 2|$. Для этого у графика $y = |x| - 2$ часть, лежащую под осью Ox (отрезок между точками $(-2,0)$ и $(2,0)$), отражаем симметрично относительно оси Ox. Вершина $(0,-2)$ переходит в $(0,2)$. Итоговый график имеет форму буквы "W".

Ответ: График функции $y = |f(|x|)|$ получается из графика $y = f(x)$ путем последовательного применения двух преобразований: отражения относительно оси Oy для аргумента $x \ge 0$ и отражения относительно оси Ox для значений функции $y < 0$.

Общий метод (раскрытие модулей)

Если функция имеет более сложный вид и не сводится к предыдущим типам, применяется общий метод, основанный на определении модуля. 1. Найти все значения переменной, при которых выражения под каждым из модулей обращаются в ноль.
2. Эти значения разбивают числовую ось на интервалы. На каждом из этих интервалов знаки подмодульных выражений постоянны.
3. Для каждого интервала раскрыть модули в соответствии со знаком подмодульного выражения (если выражение $\ge 0$, то $|a|=a$; если $< 0$, то $|a|=-a$).
4. В результате для каждого интервала получается своя, более простая функция. Нужно построить график этой кусочно-заданной функции.

Пример: Построить график функции $y = |x+2| - |x-1|$.
1. Нули подмодульных выражений: $x+2=0 \Rightarrow x=-2$; $x-1=0 \Rightarrow x=1$.
2. Точки $-2$ и $1$ делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, -2)$, $[-2, 1)$, $[1, \infty)$.
3. Раскроем модули на каждом интервале:
- При $x < -2$: оба выражения отрицательны. $y = -(x+2) - (-(x-1)) = -x-2+x-1 = -3$.
- При $-2 \le x < 1$: выражение $x+2 \ge 0$, а $x-1 < 0$. $y = (x+2) - (-(x-1)) = x+2+x-1 = 2x+1$.
- При $x \ge 1$: оба выражения неотрицательны. $y = (x+2) - (x-1) = x+2-x+1 = 3$.
4. Строим график кусочно-заданной функции: $$ y = \begin{cases} -3, & \text{если } x < -2 \\ 2x+1, & \text{если } -2 \le x < 1 \\ 3, & \text{если } x \ge 1 \end{cases} $$ График состоит из горизонтального луча $y=-3$ слева от $x=-2$, отрезка прямой $y=2x+1$ между $x=-2$ и $x=1$ (соединяет точки $(-2, -3)$ и $(1, 3)$), и горизонтального луча $y=3$ справа от $x=1$.

Ответ: Общий метод построения графика с модулями — это раскрытие модулей на интервалах, определяемых нулями подмодульных выражений, и построение полученной кусочно-заданной функции.

Представьте выражение в виде квадрата двучлена:

16.56 а) $1 - 2\sqrt{p} + p;$

в) $c - 2\sqrt{cd} + d;$

б) $x + 6y\sqrt{x} + 9y^2;$

г) $q + 4p\sqrt{q} + 4p^2.$

а) Для того чтобы представить выражение $1 - 2\sqrt{p} + p$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном выражении мы можем определить компоненты $a$ и $b$. Пусть $a^2 = 1$, тогда $a = 1$. Пусть $b^2 = p$, тогда $b = \sqrt{p}$.

Проверим средний член выражения, который должен быть равен $-2ab$.

$-2ab = -2 \cdot 1 \cdot \sqrt{p} = -2\sqrt{p}$.

Это соответствует среднему члену в исходном выражении. Таким образом, выражение можно записать в виде квадрата разности.

$1 - 2\sqrt{p} + p = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{p} + (\sqrt{p})^2 = (1 - \sqrt{p})^2$.

Ответ: $(1 - \sqrt{p})^2$.

б) Чтобы представить выражение $x + 6y\sqrt{x} + 9y^2$ в виде квадрата двучлена, используем формулу квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Определим компоненты $a$ и $b$. Пусть $a^2 = x$, тогда $a = \sqrt{x}$. Пусть $b^2 = 9y^2$, тогда $b = \sqrt{9y^2} = 3y$.

Проверим средний член выражения, который должен быть равен $2ab$.

$2ab = 2 \cdot \sqrt{x} \cdot (3y) = 6y\sqrt{x}$.

Это соответствует среднему члену в исходном выражении. Следовательно, выражение является квадратом суммы.

$x + 6y\sqrt{x} + 9y^2 = (\sqrt{x})^2 + 2 \cdot \sqrt{x} \cdot (3y) + (3y)^2 = (\sqrt{x} + 3y)^2$.

Ответ: $(\sqrt{x} + 3y)^2$.

в) Для представления выражения $c - 2\sqrt{cd} + d$ в виде квадрата двучлена, применим формулу квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном выражении определим $a$ и $b$. Пусть $a^2 = c$, тогда $a = \sqrt{c}$. Пусть $b^2 = d$, тогда $b = \sqrt{d}$.

Проверим средний член $-2ab$.

$-2ab = -2 \cdot \sqrt{c} \cdot \sqrt{d} = -2\sqrt{cd}$.

Это совпадает со средним членом в исходном выражении. Значит, выражение можно представить как квадрат разности.

$c - 2\sqrt{cd} + d = (\sqrt{c})^2 - 2\sqrt{cd} + (\sqrt{d})^2 = (\sqrt{c} - \sqrt{d})^2$.

Ответ: $(\sqrt{c} - \sqrt{d})^2$.

г) Чтобы представить выражение $q + 4p\sqrt{q} + 4p^2$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Определим $a$ и $b$. Пусть $a^2 = q$, тогда $a = \sqrt{q}$. Пусть $b^2 = 4p^2$, тогда $b = \sqrt{4p^2} = 2p$.

Проверим средний член $2ab$.

$2ab = 2 \cdot \sqrt{q} \cdot (2p) = 4p\sqrt{q}$.

Это совпадает со средним членом в исходном выражении. Таким образом, выражение является квадратом суммы.

$q + 4p\sqrt{q} + 4p^2 = (\sqrt{q})^2 + 2 \cdot \sqrt{q} \cdot (2p) + (2p)^2 = (\sqrt{q} + 2p)^2$.

Ответ: $(\sqrt{q} + 2p)^2$.

16.57 а) $49a - 14\sqrt{ab} + b;$

б) $3c^2 + 10c\sqrt{3} + 25;$

в) $9m - 6\sqrt{mn} + n;$

г) $2a + 2b\sqrt{2a} + b^2.$

а)

Для того чтобы разложить выражение $49a - 14\sqrt{ab} + b$ на множители, воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$.

Представим первый член $49a$ как квадрат выражения $7\sqrt{a}$, то есть $x = 7\sqrt{a}$, так как $(7\sqrt{a})^2 = 49a$.

Представим третий член $b$ как квадрат выражения $\sqrt{b}$, то есть $y = \sqrt{b}$, так как $(\sqrt{b})^2 = b$.

Теперь проверим, соответствует ли средний член $-14\sqrt{ab}$ удвоенному произведению $-2xy$: $ -2 \cdot (7\sqrt{a}) \cdot (\sqrt{b}) = -14\sqrt{ab}$.

Поскольку все члены соответствуют формуле, мы можем свернуть выражение в полный квадрат:

$49a - 14\sqrt{ab} + b = (7\sqrt{a})^2 - 2 \cdot 7\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = (7\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$.

Ответ: $(7\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$.

б)

Для разложения выражения $3c^2 + 10c\sqrt{3} + 25$ на множители применим формулу квадрата суммы: $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$.

Представим первый член $3c^2$ как квадрат выражения $c\sqrt{3}$, то есть $x = c\sqrt{3}$, так как $(c\sqrt{3})^2 = 3c^2$.

Представим третий член $25$ как квадрат числа $5$, то есть $y = 5$, так как $5^2 = 25$.

Проверим средний член $10c\sqrt{3}$, сравнив его с удвоенным произведением $2xy$: $2 \cdot (c\sqrt{3}) \cdot 5 = 10c\sqrt{3}$.

Все члены соответствуют формуле, поэтому выражение является полным квадратом суммы:

$3c^2 + 10c\sqrt{3} + 25 = (c\sqrt{3})^2 + 2 \cdot c\sqrt{3} \cdot 5 + 5^2 = (c\sqrt{3} + 5)^2$.

Ответ: $(c\sqrt{3} + 5)^2$.

в)

Для разложения выражения $9m - 6\sqrt{mn} + n$ на множители воспользуемся формулой квадрата разности: $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$.

Представим первый член $9m$ как квадрат выражения $3\sqrt{m}$, то есть $x = 3\sqrt{m}$, так как $(3\sqrt{m})^2 = 9m$.

Представим третий член $n$ как квадрат выражения $\sqrt{n}$, то есть $y = \sqrt{n}$, так как $(\sqrt{n})^2 = n$.

Проверим средний член $-6\sqrt{mn}$, сравнив его с $-2xy$: $-2 \cdot (3\sqrt{m}) \cdot (\sqrt{n}) = -6\sqrt{mn}$.

Поскольку все члены соответствуют формуле, сворачиваем выражение в полный квадрат:

$9m - 6\sqrt{mn} + n = (3\sqrt{m})^2 - 2 \cdot 3\sqrt{m} \cdot \sqrt{n} + (\sqrt{n})^2 = (3\sqrt{m} - \sqrt{n})^2$.

Ответ: $(3\sqrt{m} - \sqrt{n})^2$.

г)

Для разложения выражения $2a + 2b\sqrt{2a} + b^2$ на множители применим формулу квадрата суммы: $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$.

Представим первый член $2a$ как квадрат выражения $\sqrt{2a}$, то есть $x = \sqrt{2a}$, так как $(\sqrt{2a})^2 = 2a$.

Представим третий член $b^2$ как квадрат выражения $b$, то есть $y = b$.

Проверим средний член $2b\sqrt{2a}$, сравнив его с удвоенным произведением $2xy$: $2 \cdot (\sqrt{2a}) \cdot b = 2b\sqrt{2a}$.

Все члены соответствуют формуле, поэтому выражение является полным квадратом суммы:

$2a + 2b\sqrt{2a} + b^2 = (\sqrt{2a})^2 + 2 \cdot \sqrt{2a} \cdot b + b^2 = (\sqrt{2a} + b)^2$.

Ответ: $(\sqrt{2a} + b)^2$.

16.58 a) $4 + 4\sqrt{3} + 3$;

б) $3 - 2\sqrt{2}$;

в) $2 + 2\sqrt{2} + 1$;

г) $7 - 4\sqrt{3}$.

а) Данное выражение $4 + 4\sqrt{3} + 3$ представляет собой развернутую формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Определим значения $a$ и $b$.
Пусть $a^2 = 4$, тогда $a=2$.
Пусть $b^2 = 3$, тогда $b=\sqrt{3}$.
Теперь проверим, соответствует ли член $4\sqrt{3}$ удвоенному произведению $2ab$:
$2ab = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.
Все члены совпадают, следовательно, выражение можно представить в виде квадрата суммы:
$4 + 4\sqrt{3} + 3 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2 + \sqrt{3})^2$.
Ответ: $(2 + \sqrt{3})^2$.

б) Чтобы представить выражение $3 - 2\sqrt{2}$ в виде квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, необходимо найти такие $a$ и $b$, для которых выполняются условия:
$a^2 + b^2 = 3$ и $2ab = 2\sqrt{2}$.
Из второго уравнения получаем $ab = \sqrt{2}$.
Подберем значения. Пусть $a=\sqrt{2}$ и $b=1$.
Проверим первое уравнение: $a^2 + b^2 = (\sqrt{2})^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3$.
Условие выполняется. Значит, выражение можно преобразовать следующим образом:
$3 - 2\sqrt{2} = 2 - 2\sqrt{2} \cdot 1 + 1 = (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{2} - 1)^2$.
Ответ: $(\sqrt{2} - 1)^2$.

в) Данное выражение $2 + 2\sqrt{2} + 1$ представляет собой развернутую формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Определим значения $a$ и $b$.
Пусть $a^2 = 2$, тогда $a=\sqrt{2}$.
Пусть $b^2 = 1$, тогда $b=1$.
Теперь проверим, соответствует ли член $2\sqrt{2}$ удвоенному произведению $2ab$:
$2ab = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 = 2\sqrt{2}$.
Все члены совпадают, следовательно, выражение можно представить в виде квадрата суммы:
$2 + 2\sqrt{2} + 1 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{2} + 1)^2$.
Ответ: $(\sqrt{2} + 1)^2$.

г) Чтобы представить выражение $7 - 4\sqrt{3}$ в виде квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, необходимо найти такие $a$ и $b$, для которых выполняются условия:
$a^2 + b^2 = 7$ и $2ab = 4\sqrt{3}$.
Из второго уравнения получаем $ab = 2\sqrt{3}$.
Подберем значения. Пусть $a=2$ и $b=\sqrt{3}$ (так как $2 > \sqrt{3}$, разность будет положительной).
Проверим первое уравнение: $a^2 + b^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7$.
Условие выполняется. Значит, выражение можно преобразовать следующим образом:
$7 - 4\sqrt{3} = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2 - \sqrt{3})^2$.
Ответ: $(2 - \sqrt{3})^2$.

Сократите дробь:

16.59 а) $ \frac{a^2 - 7}{a - \sqrt{7}} $;

б) $ \frac{b + \sqrt{3}}{3 - b^2} $;

в) $ \frac{c^2 - 11}{c - \sqrt{11}} $;

г) $ \frac{b + \sqrt{21}}{21 - b^2} $.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2 - 7}{a - \sqrt{7}}$, представим числитель в виде разности квадратов. Для этого воспользуемся формулой $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Число 7 можно представить как квадратный корень из 7 в квадрате, то есть $7 = (\sqrt{7})^2$. Тогда числитель $a^2 - 7$ можно разложить на множители:

$a^2 - 7 = a^2 - (\sqrt{7})^2 = (a - \sqrt{7})(a + \sqrt{7})$

Теперь подставим разложенный числитель обратно в исходную дробь:

$\frac{a^2 - 7}{a - \sqrt{7}} = \frac{(a - \sqrt{7})(a + \sqrt{7})}{a - \sqrt{7}}$

Сокращаем общий множитель $(a - \sqrt{7})$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a - \sqrt{7} \neq 0$):

$\frac{\cancel{(a - \sqrt{7})}(a + \sqrt{7})}{\cancel{a - \sqrt{7}}} = a + \sqrt{7}$

Ответ: $a + \sqrt{7}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{b + \sqrt{3}}{3 - b^2}$, представим знаменатель в виде разности квадратов.

Число 3 можно представить как $(\sqrt{3})^2$. Тогда знаменатель $3 - b^2$ раскладывается на множители по формуле разности квадратов:

$3 - b^2 = (\sqrt{3})^2 - b^2 = (\sqrt{3} - b)(\sqrt{3} + b)$

Подставим разложенный знаменатель обратно в дробь:

$\frac{b + \sqrt{3}}{3 - b^2} = \frac{b + \sqrt{3}}{(\sqrt{3} - b)(\sqrt{3} + b)}$

Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется, $b + \sqrt{3} = \sqrt{3} + b$. Теперь мы можем сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе (при условии, что $b + \sqrt{3} \neq 0$):

$\frac{\cancel{b + \sqrt{3}}}{(\sqrt{3} - b)(\cancel{\sqrt{3} + b})} = \frac{1}{\sqrt{3} - b}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{3} - b}$

в) Чтобы сократить дробь $\frac{c^2 - 11}{c - \sqrt{11}}$, воспользуемся формулой разности квадратов для числителя, как и в пункте а).

Представим число 11 как $(\sqrt{11})^2$. Тогда числитель $c^2 - 11$ можно разложить на множители:

$c^2 - 11 = c^2 - (\sqrt{11})^2 = (c - \sqrt{11})(c + \sqrt{11})$

Подставим это разложение в исходную дробь:

$\frac{c^2 - 11}{c - \sqrt{11}} = \frac{(c - \sqrt{11})(c + \sqrt{11})}{c - \sqrt{11}}$

Сокращаем общий множитель $(c - \sqrt{11})$ в числителе и знаменателе (при условии, что $c - \sqrt{11} \neq 0$):

$\frac{\cancel{(c - \sqrt{11})}(c + \sqrt{11})}{\cancel{c - \sqrt{11}}} = c + \sqrt{11}$

Ответ: $c + \sqrt{11}$

г) Чтобы сократить дробь $\frac{b + \sqrt{21}}{21 - b^2}$, разложим на множители знаменатель, используя формулу разности квадратов, как в пункте б).

Представим число 21 как $(\sqrt{21})^2$. Тогда знаменатель $21 - b^2$ раскладывается следующим образом:

$21 - b^2 = (\sqrt{21})^2 - b^2 = (\sqrt{21} - b)(\sqrt{21} + b)$

Подставим полученное разложение в дробь:

$\frac{b + \sqrt{21}}{21 - b^2} = \frac{b + \sqrt{21}}{(\sqrt{21} - b)(\sqrt{21} + b)}$

Выражение в числителе $b + \sqrt{21}$ равно множителю $\sqrt{21} + b$ в знаменателе. Сократим дробь на этот общий множитель (при условии, что $b + \sqrt{21} \neq 0$):

$\frac{\cancel{b + \sqrt{21}}}{(\sqrt{21} - b)(\cancel{\sqrt{21} + b})} = \frac{1}{\sqrt{21} - b}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{21} - b}$

16.60 а) $\frac{x-9}{\sqrt{x}+3}$;

б) $\frac{m-n}{\sqrt{m}-\sqrt{n}}$;

в) $\frac{9-\sqrt{t}}{t-81}$;

г) $\frac{\sqrt{r}+\sqrt{s}}{r-s}$.

а) $\frac{x-9}{\sqrt{x}+3}$

Чтобы сократить данную дробь, необходимо разложить числитель на множители. Мы можем представить $x$ как $(\sqrt{x})^2$, а $9$ как $3^2$. Таким образом, числитель $x-9$ является разностью квадратов.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x - 9 = (\sqrt{x})^2 - 3^2 = (\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)$

Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь и сократим общий множитель $(\sqrt{x}+3)$:

$\frac{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}{\sqrt{x}+3} = \sqrt{x}-3$

Ответ: $\sqrt{x}-3$

б) $\frac{m-n}{\sqrt{m}-\sqrt{n}}$

Для сокращения этой дроби, так же, как и в предыдущем примере, разложим числитель $m-n$ на множители, используя формулу разности квадратов. Представим $m$ как $(\sqrt{m})^2$ и $n$ как $(\sqrt{n})^2$.

$m - n = (\sqrt{m})^2 - (\sqrt{n})^2 = (\sqrt{m}-\sqrt{n})(\sqrt{m}+\sqrt{n})$

Подставим это выражение в числитель дроби и выполним сокращение на общий множитель $(\sqrt{m}-\sqrt{n})$:

$\frac{(\sqrt{m}-\sqrt{n})(\sqrt{m}+\sqrt{n})}{\sqrt{m}-\sqrt{n}} = \sqrt{m}+\sqrt{n}$

Ответ: $\sqrt{m}+\sqrt{n}$

в) $\frac{9-\sqrt{t}}{t-81}$

В этом случае разложим на множители знаменатель дроби. Представим знаменатель $t-81$ как разность квадратов, где $t = (\sqrt{t})^2$ и $81 = 9^2$.

$t - 81 = (\sqrt{t})^2 - 9^2 = (\sqrt{t}-9)(\sqrt{t}+9)$

Теперь дробь имеет вид:

$\frac{9-\sqrt{t}}{(\sqrt{t}-9)(\sqrt{t}+9)}$

Обратим внимание, что выражение в числителе $9-\sqrt{t}$ и множитель в знаменателе $\sqrt{t}-9$ являются противоположными выражениями. То есть, $9-\sqrt{t} = -(\sqrt{t}-9)$. Вынесем $-1$ в числителе за скобки.

$\frac{-(\sqrt{t}-9)}{(\sqrt{t}-9)(\sqrt{t}+9)}$

Теперь можно сократить общий множитель $(\sqrt{t}-9)$:

$-\frac{1}{\sqrt{t}+9}$

Ответ: $-\frac{1}{\sqrt{t}+9}$

г) $\frac{\sqrt{r}+\sqrt{s}}{r-s}$

Для решения этой задачи мы разложим на множители знаменатель $r-s$ по формуле разности квадратов. Представим $r$ как $(\sqrt{r})^2$ и $s$ как $(\sqrt{s})^2$.

$r-s = (\sqrt{r})^2 - (\sqrt{s})^2 = (\sqrt{r}-\sqrt{s})(\sqrt{r}+\sqrt{s})$

Подставим полученное выражение в знаменатель исходной дроби:

$\frac{\sqrt{r}+\sqrt{s}}{(\sqrt{r}-\sqrt{s})(\sqrt{r}+\sqrt{s})}$

Сократим общий множитель $(\sqrt{r}+\sqrt{s})$ в числителе и знаменателе:

$\frac{1}{\sqrt{r}-\sqrt{s}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{r}-\sqrt{s}}$

16.61 a) $\frac{3\sqrt{x} - 4\sqrt{y}}{9x - 16y}$;

б) $\frac{121a^2 - 144b}{12\sqrt{b} - 11a}$;

в) $\frac{25a - 49b}{5\sqrt{a} + 7\sqrt{b}}$;

г) $\frac{9\sqrt{ab} - 4\sqrt{c}}{16c - 81ab}$.

а) Чтобы упростить выражение $\frac{3\sqrt{x} - 4\sqrt{y}}{9x - 16y}$, представим знаменатель $9x - 16y$ в виде разности квадратов. Так как $9x = (3\sqrt{x})^2$ и $16y = (4\sqrt{y})^2$, мы можем применить формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.
$9x - 16y = (3\sqrt{x})^2 - (4\sqrt{y})^2 = (3\sqrt{x} - 4\sqrt{y})(3\sqrt{x} + 4\sqrt{y})$.
Теперь подставим это разложение в исходную дробь:
$\frac{3\sqrt{x} - 4\sqrt{y}}{(3\sqrt{x} - 4\sqrt{y})(3\sqrt{x} + 4\sqrt{y})}$.
Сократим общий множитель $(3\sqrt{x} - 4\sqrt{y})$ в числителе и знаменателе.
В результате получаем: $\frac{1}{3\sqrt{x} + 4\sqrt{y}}$.
Ответ: $\frac{1}{3\sqrt{x} + 4\sqrt{y}}$.

б) Рассмотрим выражение $\frac{121a^2 - 144b}{12\sqrt{b} - 11a}$. Числитель $121a^2 - 144b$ является разностью квадратов, поскольку $121a^2 = (11a)^2$ и $144b = (12\sqrt{b})^2$. Разложим числитель на множители по формуле $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$:
$121a^2 - 144b = (11a)^2 - (12\sqrt{b})^2 = (11a - 12\sqrt{b})(11a + 12\sqrt{b})$.
Подставим это в дробь:
$\frac{(11a - 12\sqrt{b})(11a + 12\sqrt{b})}{12\sqrt{b} - 11a}$.
Заметим, что знаменатель $12\sqrt{b} - 11a$ и множитель в числителе $11a - 12\sqrt{b}$ отличаются только знаком: $12\sqrt{b} - 11a = -(11a - 12\sqrt{b})$. Перепишем дробь:
$\frac{(11a - 12\sqrt{b})(11a + 12\sqrt{b})}{-(11a - 12\sqrt{b})}$.
После сокращения общего множителя $(11a - 12\sqrt{b})$ получаем:
$-(11a + 12\sqrt{b}) = -11a - 12\sqrt{b}$.
Ответ: $-11a - 12\sqrt{b}$.

в) Упростим дробь $\frac{25a - 49b}{5\sqrt{a} + 7\sqrt{b}}$. Числитель $25a - 49b$ можно разложить на множители как разность квадратов. Представим $25a = (5\sqrt{a})^2$ и $49b = (7\sqrt{b})^2$. Используя формулу $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, получаем:
$25a - 49b = (5\sqrt{a})^2 - (7\sqrt{b})^2 = (5\sqrt{a} - 7\sqrt{b})(5\sqrt{a} + 7\sqrt{b})$.
Подставим полученное выражение в исходную дробь:
$\frac{(5\sqrt{a} - 7\sqrt{b})(5\sqrt{a} + 7\sqrt{b})}{5\sqrt{a} + 7\sqrt{b}}$.
Сократим общий множитель $(5\sqrt{a} + 7\sqrt{b})$ в числителе и знаменателе.
В результате получаем: $5\sqrt{a} - 7\sqrt{b}$.
Ответ: $5\sqrt{a} - 7\sqrt{b}$.

г) Рассмотрим выражение $\frac{9\sqrt{ab} - 4\sqrt{c}}{16c - 81ab}$. Знаменатель $16c - 81ab$ является разностью квадратов, так как $16c = (4\sqrt{c})^2$ и $81ab = (9\sqrt{ab})^2$. Разложим знаменатель на множители по формуле $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$:
$16c - 81ab = (4\sqrt{c})^2 - (9\sqrt{ab})^2 = (4\sqrt{c} - 9\sqrt{ab})(4\sqrt{c} + 9\sqrt{ab})$.
Подставим разложение в дробь:
$\frac{9\sqrt{ab} - 4\sqrt{c}}{(4\sqrt{c} - 9\sqrt{ab})(4\sqrt{c} + 9\sqrt{ab})}$.
Вынесем знак минус из числителя: $9\sqrt{ab} - 4\sqrt{c} = -(4\sqrt{c} - 9\sqrt{ab})$. Дробь примет вид:
$\frac{-(4\sqrt{c} - 9\sqrt{ab})}{(4\sqrt{c} - 9\sqrt{ab})(4\sqrt{c} + 9\sqrt{ab})}$.
Сократим общий множитель $(4\sqrt{c} - 9\sqrt{ab})$:
$\frac{-1}{4\sqrt{c} + 9\sqrt{ab}}$.
Ответ: $-\frac{1}{9\sqrt{ab} + 4\sqrt{c}}$.

16.62 a) $\frac{1 - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{6}}$;

б) $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{1 + \sqrt{3}}$;

в) $\frac{1 - \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$;

г) $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} + 1}$.

a) Чтобы упростить выражение $\frac{1 - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{6}}$, преобразуем знаменатель, вынеся за скобки общий множитель. Заметим, что $\sqrt{6} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}$.
$\sqrt{3} - \sqrt{6} = \sqrt{3} - \sqrt{3}\sqrt{2} = \sqrt{3}(1 - \sqrt{2})$.
Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь:
$\frac{1 - \sqrt{2}}{\sqrt{3}(1 - \sqrt{2})}$.
Сократим дробь на общий множитель $(1 - \sqrt{2})$:
$\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$\frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

б) Чтобы упростить выражение $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{1 + \sqrt{3}}$, преобразуем числитель, вынеся за скобки общий множитель. Заметим, что $\sqrt{6} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}$.
$\sqrt{2} + \sqrt{6} = \sqrt{2} + \sqrt{2}\sqrt{3} = \sqrt{2}(1 + \sqrt{3})$.
Подставим полученное выражение в дробь:
$\frac{\sqrt{2}(1 + \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3}}$.
Сократим дробь на общий множитель $(1 + \sqrt{3})$:
$\sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$.

в) Чтобы упростить выражение $\frac{1 - \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$, преобразуем знаменатель, вынеся за скобки общий множитель. Заметим, что $\sqrt{6} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}$.
$\sqrt{2} - \sqrt{6} = \sqrt{2} - \sqrt{2}\sqrt{3} = \sqrt{2}(1 - \sqrt{3})$.
Подставим полученное выражение в дробь:
$\frac{1 - \sqrt{3}}{\sqrt{2}(1 - \sqrt{3})}$.
Сократим дробь на общий множитель $(1 - \sqrt{3})$:
$\frac{1}{\sqrt{2}}$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

г) Чтобы упростить выражение $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} + 1}$, преобразуем числитель, вынеся за скобки общий множитель. Заметим, что $\sqrt{6} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}$.
$\sqrt{6} + \sqrt{3} = \sqrt{3}\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{3}(\sqrt{2} + 1)$.
Подставим полученное выражение в дробь:
$\frac{\sqrt{3}(\sqrt{2} + 1)}{\sqrt{2} + 1}$.
Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{2} + 1)$:
$\sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

16.63 a) $\frac{\sqrt{10} - \sqrt{6}}{\sqrt{15} - 3}$

б) $\frac{\sqrt{15} + \sqrt{10}}{\sqrt{21} + \sqrt{14}}$

в) $\frac{\sqrt{15} - \sqrt{6}}{5 - \sqrt{10}}$

г) $\frac{\sqrt{18} + \sqrt{12}}{\sqrt{15} + \sqrt{10}}$

а) Для упрощения выражения $\frac{\sqrt{10} - \sqrt{6}}{\sqrt{15} - 3}$ необходимо разложить подкоренные выражения на множители и вынести общие множители за скобки в числителе и знаменателе.

1. Преобразуем числитель: $\sqrt{10} - \sqrt{6} = \sqrt{2 \cdot 5} - \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{2}(\sqrt{5} - \sqrt{3})$.

2. Преобразуем знаменатель, представив 3 как $\sqrt{9}$: $\sqrt{15} - 3 = \sqrt{15} - \sqrt{9} = \sqrt{3 \cdot 5} - \sqrt{3 \cdot 3} = \sqrt{3}(\sqrt{5} - \sqrt{3})$.

3. Подставим преобразованные выражения в исходную дробь:

$\frac{\sqrt{2}(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{\sqrt{3}(\sqrt{5} - \sqrt{3})}$

4. Сократим общий множитель $(\sqrt{5} - \sqrt{3})$:

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

5. Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

б) Для упрощения выражения $\frac{\sqrt{15} + \sqrt{10}}{\sqrt{21} + \sqrt{14}}$ вынесем общие множители в числителе и знаменателе.

1. В числителе вынесем за скобки $\sqrt{5}$: $\sqrt{15} + \sqrt{10} = \sqrt{5 \cdot 3} + \sqrt{5 \cdot 2} = \sqrt{5}(\sqrt{3} + \sqrt{2})$.

2. В знаменателе вынесем за скобки $\sqrt{7}$: $\sqrt{21} + \sqrt{14} = \sqrt{7 \cdot 3} + \sqrt{7 \cdot 2} = \sqrt{7}(\sqrt{3} + \sqrt{2})$.

3. Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{\sqrt{5}(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{\sqrt{7}(\sqrt{3} + \sqrt{2})}$

4. Сократим общий множитель $(\sqrt{3} + \sqrt{2})$:

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$

5. Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{35}}{7}$

Ответ: $\frac{\sqrt{35}}{7}$

в) Для упрощения выражения $\frac{\sqrt{15} - \sqrt{6}}{5 - \sqrt{10}}$ вынесем общие множители.

1. В числителе вынесем за скобки $\sqrt{3}$: $\sqrt{15} - \sqrt{6} = \sqrt{3 \cdot 5} - \sqrt{3 \cdot 2} = \sqrt{3}(\sqrt{5} - \sqrt{2})$.

2. В знаменателе представим 5 как $\sqrt{25}$ и вынесем за скобки $\sqrt{5}$: $5 - \sqrt{10} = \sqrt{25} - \sqrt{10} = \sqrt{5 \cdot 5} - \sqrt{5 \cdot 2} = \sqrt{5}(\sqrt{5} - \sqrt{2})$.

3. Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{\sqrt{3}(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{\sqrt{5}(\sqrt{5} - \sqrt{2})}$

4. Сократим общий множитель $(\sqrt{5} - \sqrt{2})$:

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$

5. Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$

Ответ: $\frac{\sqrt{15}}{5}$

г) Для упрощения выражения $\frac{\sqrt{18} + \sqrt{12}}{\sqrt{15} + \sqrt{10}}$ вынесем общие множители.

1. В числителе вынесем за скобки $\sqrt{6}$: $\sqrt{18} + \sqrt{12} = \sqrt{6 \cdot 3} + \sqrt{6 \cdot 2} = \sqrt{6}(\sqrt{3} + \sqrt{2})$.

2. В знаменателе вынесем за скобки $\sqrt{5}$: $\sqrt{15} + \sqrt{10} = \sqrt{5 \cdot 3} + \sqrt{5 \cdot 2} = \sqrt{5}(\sqrt{3} + \sqrt{2})$.

3. Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{\sqrt{6}(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{\sqrt{5}(\sqrt{3} + \sqrt{2})}$

4. Сократим общий множитель $(\sqrt{3} + \sqrt{2})$:

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$

5. Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{30}}{5}$

Ответ: $\frac{\sqrt{30}}{5}$

16.64 a) $\frac{4a + 4\sqrt{3}}{3 - a^2};$

б) $\frac{x - y}{\sqrt{5y} - \sqrt{5x}};$

в) $\frac{x - 25}{3\sqrt{x} + 15};$

г) $\frac{\sqrt{mn} + n}{m - n}.$

а)

Дана дробь $\frac{4a + 4\sqrt{3}}{3 - a^2}$.

1. Разложим числитель на множители, вынеся общий множитель 4 за скобки:

$4a + 4\sqrt{3} = 4(a + \sqrt{3})$.

2. Разложим знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. Для этого представим 3 как $(\sqrt{3})^2$:

$3 - a^2 = (\sqrt{3})^2 - a^2 = (\sqrt{3} - a)(\sqrt{3} + a)$.

3. Подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{4(a + \sqrt{3})}{(\sqrt{3} - a)(\sqrt{3} + a)}$.

4. Сократим дробь на общий множитель $(a + \sqrt{3})$, так как $(a + \sqrt{3}) = (\sqrt{3} + a)$:

$\frac{4\cancel{(a + \sqrt{3})}}{(\sqrt{3} - a)\cancel{(\sqrt{3} + a)}} = \frac{4}{\sqrt{3} - a}$.

Ответ: $\frac{4}{\sqrt{3} - a}$.

б)

Дана дробь $\frac{x - y}{\sqrt{5y} - \sqrt{5x}}$.

1. Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов, представив $x = (\sqrt{x})^2$ и $y = (\sqrt{y})^2$:

$x - y = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$.

2. В знаменателе вынесем общий множитель $\sqrt{5}$ за скобки:

$\sqrt{5y} - \sqrt{5x} = \sqrt{5}(\sqrt{y} - \sqrt{x})$.

3. Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{5}(\sqrt{y} - \sqrt{x})}$.

4. Заметим, что множители в числителе и знаменателе отличаются знаком: $(\sqrt{y} - \sqrt{x}) = -(\sqrt{x} - \sqrt{y})$. Вынесем минус в знаменателе:

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{-\sqrt{5}(\sqrt{x} - \sqrt{y})}$.

5. Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{x} - \sqrt{y})$:

$\frac{\cancel{(\sqrt{x} - \sqrt{y})}(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{-\sqrt{5}\cancel{(\sqrt{x} - \sqrt{y})}} = -\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{5}}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{5}}$.

в)

Дана дробь $\frac{x - 25}{3\sqrt{x} + 15}$.

1. Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов, представив $x = (\sqrt{x})^2$ и $25 = 5^2$:

$x - 25 = (\sqrt{x})^2 - 5^2 = (\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 5)$.

2. В знаменателе вынесем общий множитель 3 за скобки:

$3\sqrt{x} + 15 = 3(\sqrt{x} + 5)$.

3. Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 5)}{3(\sqrt{x} + 5)}$.

4. Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{x} + 5)$:

$\frac{(\sqrt{x} - 5)\cancel{(\sqrt{x} + 5)}}{3\cancel{(\sqrt{x} + 5)}} = \frac{\sqrt{x} - 5}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{x} - 5}{3}$.

г)

Дана дробь $\frac{\sqrt{mn} + n}{m - n}$.

1. В числителе представим $n$ как $(\sqrt{n})^2$ и вынесем общий множитель $\sqrt{n}$ за скобки:

$\sqrt{mn} + n = \sqrt{m}\sqrt{n} + (\sqrt{n})^2 = \sqrt{n}(\sqrt{m} + \sqrt{n})$.

2. Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов, представив $m = (\sqrt{m})^2$ и $n = (\sqrt{n})^2$:

$m - n = (\sqrt{m})^2 - (\sqrt{n})^2 = (\sqrt{m} - \sqrt{n})(\sqrt{m} + \sqrt{n})$.

3. Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{\sqrt{n}(\sqrt{m} + \sqrt{n})}{(\sqrt{m} - \sqrt{n})(\sqrt{m} + \sqrt{n})}$.

4. Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{m} + \sqrt{n})$:

$\frac{\sqrt{n}\cancel{(\sqrt{m} + \sqrt{n})}}{(\sqrt{m} - \sqrt{n})\cancel{(\sqrt{m} + \sqrt{n})}} = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m} - \sqrt{n}}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m} - \sqrt{n}}$.

16.65 а) $\frac{x + 2\sqrt{xy} + y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$;

б) $\frac{x^2 - 6x\sqrt{y} + 9y}{3\sqrt{y} - x}$;

в) $\frac{\sqrt{s} - \sqrt{r}}{r - 2\sqrt{rs} + s}$;

г) $\frac{\sqrt{3a} + \sqrt{5b}}{3a + 5b + \sqrt{60ab}}$.

а)

Чтобы упростить выражение $\frac{x + 2\sqrt{xy} + y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$, заметим, что числитель $x + 2\sqrt{xy} + y$ является полным квадратом суммы. Используем формулу сокращенного умножения $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$. Тогда $a^2 = (\sqrt{x})^2 = x$, $b^2 = (\sqrt{y})^2 = y$, а $2ab = 2\sqrt{x}\sqrt{y} = 2\sqrt{xy}$.

Следовательно, числитель можно представить в виде $(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2$.

Подставим полученное выражение в исходную дробь:

$\frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$

Теперь можно сократить дробь на общий множитель $(\sqrt{x} + \sqrt{y})$ (при условии, что $x$ и $y$ не равны нулю одновременно, что следует из области определения выражения).

В результате получаем: $\sqrt{x} + \sqrt{y}$.

Ответ: $\sqrt{x} + \sqrt{y}$.

б)

Упростим выражение $\frac{x^2 - 6x\sqrt{y} + 9y}{3\sqrt{y} - x}$.

Числитель $x^2 - 6x\sqrt{y} + 9y$ представляет собой полный квадрат разности, который раскладывается по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Пусть $a = x$ и $b = 3\sqrt{y}$. Тогда $a^2 = x^2$, $b^2 = (3\sqrt{y})^2 = 9y$, а $2ab = 2 \cdot x \cdot 3\sqrt{y} = 6x\sqrt{y}$.

Таким образом, числитель равен $(x - 3\sqrt{y})^2$.

Подставим это в дробь:

$\frac{(x - 3\sqrt{y})^2}{3\sqrt{y} - x}$

Заметим, что выражение в знаменателе $3\sqrt{y} - x$ является противоположным выражению в скобках числителя: $3\sqrt{y} - x = -(x - 3\sqrt{y})$.

Перепишем дробь, вынеся минус в знаменателе за скобки:

$\frac{(x - 3\sqrt{y})^2}{-(x - 3\sqrt{y})}$

Сократим дробь на $(x - 3\sqrt{y})$:

$-(x - 3\sqrt{y}) = 3\sqrt{y} - x$.

Ответ: $3\sqrt{y} - x$.

в)

Упростим выражение $\frac{\sqrt{s} - \sqrt{r}}{r - 2\sqrt{rs} + s}$.

Знаменатель $r - 2\sqrt{rs} + s$ является полным квадратом разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Пусть $a = \sqrt{r}$ и $b = \sqrt{s}$. Тогда $a^2 = r$, $b^2 = s$ и $2ab = 2\sqrt{rs}$.

Таким образом, знаменатель равен $(\sqrt{r} - \sqrt{s})^2$.

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{\sqrt{s} - \sqrt{r}}{(\sqrt{r} - \sqrt{s})^2}$

Так как $(\sqrt{r} - \sqrt{s})^2 = (-( \sqrt{s} - \sqrt{r}))^2 = (\sqrt{s} - \sqrt{r})^2$, мы можем переписать знаменатель, чтобы он содержал такое же выражение, как и в числителе.

$\frac{\sqrt{s} - \sqrt{r}}{(\sqrt{s} - \sqrt{r})^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{s} - \sqrt{r})$:

$\frac{1}{\sqrt{s} - \sqrt{r}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{s} - \sqrt{r}}$.

г)

Упростим выражение $\frac{\sqrt{3a} + \sqrt{5b}}{3a + 5b + \sqrt{60ab}}$.

Для начала преобразуем корень в знаменателе: $\sqrt{60ab} = \sqrt{4 \cdot 15ab} = \sqrt{4}\sqrt{15ab} = 2\sqrt{15ab}$.

Теперь знаменатель имеет вид $3a + 5b + 2\sqrt{15ab}$.

Это выражение является полным квадратом суммы, который соответствует формуле $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Пусть $x = \sqrt{3a}$ и $y = \sqrt{5b}$. Тогда $x^2 = (\sqrt{3a})^2 = 3a$, $y^2 = (\sqrt{5b})^2 = 5b$, а $2xy = 2\sqrt{3a}\sqrt{5b} = 2\sqrt{15ab}$.

Следовательно, знаменатель равен $(\sqrt{3a} + \sqrt{5b})^2$.

Подставим это в исходную дробь:

$\frac{\sqrt{3a} + \sqrt{5b}}{(\sqrt{3a} + \sqrt{5b})^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{3a} + \sqrt{5b})$:

$\frac{1}{\sqrt{3a} + \sqrt{5b}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{3a} + \sqrt{5b}}$.

16.66 a) $\frac{x + 4\sqrt{xy} + 4y}{x - 4y}$;

б) $\frac{2a + 6\sqrt{2ab} + 9b}{6a - 27b}$;

в) $\frac{x^2 - 25y}{x^2 + 5y - x\sqrt{20y}}$;

г) $\frac{6x^2y - 2xy^2}{3x + y - \sqrt{12xy}}$.

а)

Для упрощения дроби $\frac{x + 4\sqrt{xy} + 4y}{x - 4y}$ разложим на множители числитель и знаменатель. Числитель $x + 4\sqrt{xy} + 4y$ можно представить как полный квадрат суммы. Заметив, что $x = (\sqrt{x})^2$, $4y = (2\sqrt{y})^2$ и $4\sqrt{xy} = 2 \cdot \sqrt{x} \cdot 2\sqrt{y}$, получаем $(\sqrt{x})^2 + 2(\sqrt{x})(2\sqrt{y}) + (2\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x} + 2\sqrt{y})^2$. Знаменатель $x - 4y$ является разностью квадратов: $(\sqrt{x})^2 - (2\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x} - 2\sqrt{y})(\sqrt{x} + 2\sqrt{y})$. Исходная дробь принимает вид $\frac{(\sqrt{x} + 2\sqrt{y})^2}{(\sqrt{x} - 2\sqrt{y})(\sqrt{x} + 2\sqrt{y})}$. После сокращения на общий множитель $(\sqrt{x} + 2\sqrt{y})$ получаем итоговый результат.

Ответ: $\frac{\sqrt{x} + 2\sqrt{y}}{\sqrt{x} - 2\sqrt{y}}$

б)

Для упрощения дроби $\frac{2a + 6\sqrt{2ab} + 9b}{6a - 27b}$ разложим на множители числитель и знаменатель. Числитель $2a + 6\sqrt{2ab} + 9b$ является полным квадратом суммы, так как $2a = (\sqrt{2a})^2$, $9b = (3\sqrt{b})^2$ и $6\sqrt{2ab} = 2 \cdot \sqrt{2a} \cdot 3\sqrt{b}$. Таким образом, числитель равен $(\sqrt{2a} + 3\sqrt{b})^2$. В знаменателе $6a - 27b$ вынесем общий множитель 3 за скобки: $3(2a - 9b)$. Выражение в скобках $2a - 9b$ является разностью квадратов: $(\sqrt{2a})^2 - (3\sqrt{b})^2 = (\sqrt{2a} - 3\sqrt{b})(\sqrt{2a} + 3\sqrt{b})$. Дробь принимает вид $\frac{(\sqrt{2a} + 3\sqrt{b})^2}{3(\sqrt{2a} - 3\sqrt{b})(\sqrt{2a} + 3\sqrt{b})}$. Сократив на $(\sqrt{2a} + 3\sqrt{b})$, получаем результат.

Ответ: $\frac{\sqrt{2a} + 3\sqrt{b}}{3(\sqrt{2a} - 3\sqrt{b})}$

в)

Рассмотрим выражение $\frac{x^2 - 25y}{x^2 + 5y - x\sqrt{20y}}$. Упростим знаменатель: $x^2 + 5y - x\sqrt{20y} = x^2 + 5y - x\sqrt{4 \cdot 5y} = x^2 - 2x\sqrt{5y} + 5y$. Это выражение является полным квадратом разности: $(x - \sqrt{5y})^2$. Числитель $x^2 - 25y$ можно разложить как разность квадратов $(x - 5\sqrt{y})(x + 5\sqrt{y})$. В таком виде дробь $\frac{(x - 5\sqrt{y})(x + 5\sqrt{y})}{(x - \sqrt{5y})^2}$ не сокращается. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Наиболее вероятная опечатка — в числителе, где вместо $x^2 - 25y$ должно быть $x^2 - 5y$. Если принять это исправление, то решение будет следующим: числитель $x^2 - 5y = (x - \sqrt{5y})(x + \sqrt{5y})$. Тогда дробь принимает вид $\frac{(x - \sqrt{5y})(x + \sqrt{5y})}{(x - \sqrt{5y})^2}$. После сокращения на $(x - \sqrt{5y})$ получаем ответ.

Ответ: (при условии, что в числителе $x^2 - 5y$) $\frac{x + \sqrt{5y}}{x - \sqrt{5y}}$

г)

Для упрощения дроби $\frac{6x^2y - 2xy^2}{3x + y - \sqrt{12xy}}$ разложим на множители числитель и знаменатель. В числителе $6x^2y - 2xy^2$ вынесем общий множитель $2xy$: $2xy(3x - y)$. Выражение в скобках $3x - y$ разложим как разность квадратов: $(\sqrt{3x})^2 - (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{3x} - \sqrt{y})(\sqrt{3x} + \sqrt{y})$. Таким образом, числитель равен $2xy(\sqrt{3x} - \sqrt{y})(\sqrt{3x} + \sqrt{y})$. В знаменателе $3x + y - \sqrt{12xy}$ упростим корень: $\sqrt{12xy} = 2\sqrt{3xy}$. Знаменатель примет вид $3x - 2\sqrt{3xy} + y$, что является полным квадратом разности $(\sqrt{3x} - \sqrt{y})^2$. Дробь имеет вид $\frac{2xy(\sqrt{3x} - \sqrt{y})(\sqrt{3x} + \sqrt{y})}{(\sqrt{3x} - \sqrt{y})^2}$. Сократив на общий множитель $(\sqrt{3x} - \sqrt{y})$, получим окончательный ответ.

Ответ: $\frac{2xy(\sqrt{3x} + \sqrt{y})}{\sqrt{3x} - \sqrt{y}}$