Страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Сформулируйте определение модуля действительного числа.

Модулем (или абсолютной величиной) действительного числа $a$ называется неотрицательное число, которое определяется следующим образом:

1. Если число $a$ является положительным или равным нулю ($a \ge 0$), то его модуль равен самому числу $a$.2. Если число $a$ является отрицательным ($a < 0$), то его модуль равен противоположному числу $-a$.

Модуль числа $a$ обозначается как $|a|$.

Таким образом, формальное определение модуля можно записать в виде кусочно-заданной функции:
$|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

Например:
$|8| = 8$, так как $8 > 0$.
$|-15| = -(-15) = 15$, так как $-15 < 0$.
$|0| = 0$, так как $0 \ge 0$.

С геометрической точки зрения, модуль действительного числа $a$ — это расстояние на координатной прямой от начала отсчета (точки 0) до точки, изображающей число $a$. Так как расстояние не может быть отрицательным, модуль любого числа всегда является неотрицательной величиной, то есть $|a| \ge 0$ для любого действительного числа $a$.

Ответ: Модулем действительного числа $a$, обозначаемым $|a|$, является само число $a$, если оно неотрицательно ($a \ge 0$), и противоположное ему число $-a$, если оно отрицательно ($a < 0$). Геометрически модуль числа — это расстояние от этого числа до нуля на числовой прямой.

3. Вычислите:

а) $ |5,2|; $

б) $ |-5,2|; $

в) $ |0|; $

г) $ |\pi - 4|; $

д) $ |5 - \pi|. $

а) Модуль (или абсолютная величина) числа — это расстояние от начала координат до точки, изображающей это число на координатной прямой. Модуль положительного числа равен самому числу. Так как число 5,2 является положительным, то его модуль равен 5,2.
$|5,2| = 5,2$.
Ответ: 5,2.

б) Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу. Так как число -5,2 является отрицательным, то его модуль равен числу, противоположному -5,2, то есть 5,2.
$|-5,2| = -(-5,2) = 5,2$.
Ответ: 5,2.

в) Модуль нуля равен нулю.
$|0| = 0$.
Ответ: 0.

г) Для вычисления модуля выражения $|\pi - 4|$ необходимо определить знак этого выражения. Число $\pi$ — это иррациональная константа, приблизительно равная 3,14159...
Сравним числа $\pi$ и 4. Поскольку $\pi \approx 3,14$, очевидно, что $\pi < 4$.
Следовательно, разность $\pi - 4$ является отрицательным числом.
По определению модуля, если выражение под знаком модуля отрицательно ($a < 0$), то $|a| = -a$.
Таким образом, $|\pi - 4| = -(\pi - 4) = 4 - \pi$.
Ответ: $4 - \pi$.

д) Для вычисления модуля выражения $|5 - \pi|$ необходимо определить знак этого выражения. Снова используем приближенное значение $\pi \approx 3,14$.
Сравним числа 5 и $\pi$. Поскольку $5 > \pi$ (так как $5 > 3,14...$), то разность $5 - \pi$ является положительным числом.
По определению модуля, если выражение под знаком модуля неотрицательно ($a \ge 0$), то $|a| = a$.
Таким образом, $|5 - \pi| = 5 - \pi$.
Ответ: $5 - \pi$.

5. В чём состоит геометрический смысл выражения $ |a - b| $?

б. Геометрический смысл выражения $|a - b|$ — это расстояние между точками с координатами $a$ и $b$ на координатной (числовой) прямой.
Чтобы понять это, представим себе числовую ось. Каждому действительному числу, например $a$ и $b$, соответствует определённая точка на этой оси. Обозначим эти точки как A и B. Таким образом, точка A имеет координату $a$, а точка B — координату $b$.
Расстояние между любыми двумя точками на прямой определяется как абсолютное значение (модуль) разности их координат. Это необходимо, поскольку расстояние не может быть отрицательным. Длина отрезка AB, или расстояние между точками A и B, обозначаемое как $\rho(A, B)$, вычисляется по формуле:
$\rho(A, B) = |a - b|$.
Эта формула верна независимо от того, какое из чисел больше, $a$ или $b$. Например, расстояние между точками с координатами 5 и 2 равно $|5 - 2| = |3| = 3$. Расстояние между точками 2 и 5 равно $|2 - 5| = |-3| = 3$.
Таким образом, выражение $|a - b|$ всегда представляет собой неотрицательную величину, равную длине отрезка, концами которого являются точки с координатами $a$ и $b$.

Ответ: Выражение $|a - b|$ — это расстояние между точками с координатами $a$ и $b$ на числовой прямой.

7. Верно ли, что $|ab| = |a| \cdot |b|$, а $\frac{|a|}{|b|} = \left|\frac{a}{b}\right|$ $(b \neq 0)$?

$|ab| = |a| \cdot |b|$

Да, данное равенство является верным. Это одно из фундаментальных свойств модуля (абсолютной величины). Чтобы доказать его, необходимо рассмотреть все возможные случаи, основанные на знаках чисел $a$ и $b$. Будем исходить из определения модуля: $|x| = x$, если $x \ge 0$, и $|x| = -x$, если $x < 0$.

1. Если оба числа неотрицательны: $a \ge 0$ и $b \ge 0$.
В этом случае их произведение $ab \ge 0$.
Левая часть равенства: $|ab| = ab$.
Правая часть равенства: $|a| \cdot |b| = a \cdot b$.
Равенство $ab = ab$ выполняется.

2. Если оба числа отрицательны: $a < 0$ и $b < 0$.
В этом случае их произведение $ab > 0$.
Левая часть равенства: $|ab| = ab$.
Правая часть равенства: $|a| \cdot |b| = (-a) \cdot (-b) = ab$.
Равенство $ab = ab$ выполняется.

3. Если числа имеют разные знаки (например, $a \ge 0$ и $b < 0$).
В этом случае их произведение $ab \le 0$.
Левая часть равенства: $|ab| = -(ab) = -ab$.
Правая часть равенства: $|a| \cdot |b| = a \cdot (-b) = -ab$.
Равенство $-ab = -ab$ выполняется. Случай, когда $a < 0$ и $b \ge 0$, рассматривается аналогично и приводит к тому же результату.

Поскольку равенство справедливо для всех возможных комбинаций знаков $a$ и $b$, оно является тождественно верным.

Ответ: Верно.

$|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}$ (при $b \neq 0$)

Да, это равенство также является верным при условии, что знаменатель $b$ не равен нулю (что отражено в условии $b \neq 0$, так как на ноль делить нельзя). Доказательство аналогично предыдущему и основано на рассмотрении всех возможных знаков $a$ и $b$.

1. Если $a \ge 0$ и $b > 0$.
В этом случае частное $\frac{a}{b} \ge 0$.
Левая часть равенства: $|\frac{a}{b}| = \frac{a}{b}$.
Правая часть равенства: $\frac{|a|}{|b|} = \frac{a}{b}$.
Равенство выполняется.

2. Если $a < 0$ и $b < 0$.
В этом случае частное $\frac{a}{b} > 0$.
Левая часть равенства: $|\frac{a}{b}| = \frac{a}{b}$.
Правая часть равенства: $\frac{|a|}{|b|} = \frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}$.
Равенство выполняется.

3. Если числа имеют разные знаки (например, $a \ge 0$ и $b < 0$).
В этом случае частное $\frac{a}{b} \le 0$.
Левая часть равенства: $|\frac{a}{b}| = -(\frac{a}{b}) = -\frac{a}{b}$.
Правая часть равенства: $\frac{|a|}{|b|} = \frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}$.
Равенство выполняется. Случай, когда $a < 0$ и $b > 0$, аналогичен.

Так как равенство выполняется для всех возможных комбинаций знаков $a$ и $b$ при $b \neq 0$, оно является верным.

Ответ: Верно.

9. Приведите пример, когда соотношение $|a| - |b| = |a - b|$ является верным, и пример, когда оно неверно.

Рассмотрим данное соотношение: $|a| - |b| = |a - b|$.

Это равенство является частным случаем неравенства треугольника, которое для любых чисел $x$ и $y$ записывается как $|x| - |y| \le |x - y|$. Равенство достигается тогда и только тогда, когда числа $x$ и $y$ имеют одинаковый знак (или $y=0$), и при этом $|x| \ge |y|$.

В нашем случае, чтобы равенство $|a| - |b| = |a - b|$ было верным, необходимо выполнение двух условий одновременно:

1. Числа $a$ и $b$ должны иметь одинаковый знак, либо одно из них (или оба) должно быть равно нулю. Математически это записывается как $a \cdot b \ge 0$.
2. Модуль числа $a$ должен быть больше или равен модулю числа $b$. Математически: $|a| \ge |b|$.

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, соотношение будет неверным.

Пример, когда соотношение является верным

Выберем значения, которые удовлетворяют обоим условиям. Например, пусть $a = 8$ и $b = 3$.

Здесь $a \cdot b = 8 \cdot 3 = 24 > 0$ (знаки одинаковые) и $|8| \ge |3|$ (условие на модули выполняется).

Проверим равенство:

Левая часть: $|a| - |b| = |8| - |3| = 8 - 3 = 5$.

Правая часть: $|a - b| = |8 - 3| = |5| = 5$.

Поскольку $5 = 5$, для данных значений $a$ и $b$ соотношение является верным.

Ответ: например, $a = 8$ и $b = 3$.

Пример, когда оно неверно

Выберем значения, которые не удовлетворяют условиям. Например, пусть числа имеют разные знаки. Возьмем $a = 8$ и $b = -3$.

Здесь условие $a \cdot b \ge 0$ не выполняется, так как $8 \cdot (-3) = -24 < 0$.

Проверим равенство:

Левая часть: $|a| - |b| = |8| - |-3| = 8 - 3 = 5$.

Правая часть: $|a - b| = |8 - (-3)| = |8 + 3| = |11| = 11$.

Поскольку $5 \neq 11$, для данных значений $a$ и $b$ соотношение является неверным.

Ответ: например, $a = 8$ и $b = -3$.

11. Чему равно $y_{\text{наим}}$ и $y_{\text{наиб}}$ для функции $y = |x|$?

y_наим
Функция $y = |x|$ представляет собой модуль (абсолютную величину) числа $x$. По определению, модуль любого действительного числа является неотрицательной величиной. Это значит, что $y \ge 0$ для любого значения $x$. Наименьшее значение, которое может принять функция, равно нулю. Это значение достигается, когда выражение под знаком модуля равно нулю, то есть при $x=0$: $y(0) = |0| = 0$. Таким образом, наименьшее значение функции $y = |x|$ равно 0.
Ответ: $y_{наим} = 0$.

y_наиб
Областью определения функции $y = |x|$ является множество всех действительных чисел, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$. Рассмотрим, как ведет себя функция, когда $x$ принимает очень большие по модулю значения. Если $x$ стремится к плюс бесконечности ($x \to +\infty$), то $y = |x| = x$ также стремится к плюс бесконечности ($y \to +\infty$). Если $x$ стремится к минус бесконечности ($x \to -\infty$), то $y = |x| = -x$ также стремится к плюс бесконечности ($y \to +\infty$). Поскольку значения функции могут быть сколь угодно большими, она не ограничена сверху. Следовательно, наибольшего значения у функции $y = |x|$ не существует.
Ответ: $y_{наиб}$ не существует.

13. При каких значениях $a$ верно равенство:

a) $\sqrt{a^2} = a$;

б) $\sqrt{a^2} = -a$;

в) $\sqrt{a^2} = |a|$?

Для решения этой задачи необходимо использовать основное свойство арифметического квадратного корня. По определению, для любого действительного числа $a$ верно тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, где $|a|$ — это модуль (абсолютная величина) числа $a$.

Напомним определение модуля:

$|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

Используя это, проанализируем каждое из равенств.

а) Рассмотрим равенство $\sqrt{a^2} = a$.

Заменим в нем левую часть согласно основному тождеству $\sqrt{a^2} = |a|$. Получим эквивалентное равенство:

$|a| = a$

Исходя из определения модуля, это равенство выполняется только тогда, когда число $a$ является неотрицательным.

Ответ: $a \ge 0$.

б) Рассмотрим равенство $\sqrt{a^2} = -a$.

Аналогично пункту а), заменим $\sqrt{a^2}$ на $|a|$. Получим равенство:

$|a| = -a$

Исходя из определения модуля, это равенство выполняется только тогда, когда число $a$ является неположительным (включая ноль, так как $|0| = 0$ и $-0 = 0$).

Ответ: $a \le 0$.

в) Рассмотрим равенство $\sqrt{a^2} = |a|$.

Это равенство является основным тождеством для арифметического квадратного корня и, по определению, оно верно для всех действительных значений $a$.

Можно проверить это, рассмотрев два случая:

1. Если $a \ge 0$, то $|a|=a$. Равенство принимает вид $\sqrt{a^2} = a$, что верно для $a \ge 0$.

2. Если $a < 0$, то $|a|=-a$. Равенство принимает вид $\sqrt{a^2} = -a$, что верно для $a < 0$.

Поскольку эти два случая охватывают все действительные числа, равенство справедливо при любых $a$.

Ответ: $a$ — любое действительное число ($a \in \mathbb{R}$).

2. Запишите свойства модуля действительного числа на математическом языке.

Основные свойства модуля (абсолютной величины) $|a|$ для любого действительного числа $a \in \mathbb{R}$:

1. Неотрицательность. Модуль любого действительного числа является неотрицательным числом. Ответ: $|a| \ge 0$.

2. Равенство нулю. Модуль числа равен нулю тогда и только тогда, когда само число равно нулю. Ответ: $|a| = 0 \iff a = 0$.

3. Симметричность. Модули противоположных чисел равны. Ответ: $|a| = |-a|$.

4. Связь с квадратом числа. Квадрат модуля числа равен квадрату самого числа. Из этого следует, что модуль числа можно определить как арифметический квадратный корень из его квадрата. Ответ: $|a|^2 = a^2$ и $|a| = \sqrt{a^2}$.

5. Модуль произведения. Модуль произведения двух (или более) чисел равен произведению их модулей. Ответ: $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$.

6. Модуль частного. Модуль частного двух чисел равен частному их модулей, при условии, что делитель не равен нулю. Ответ: $|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}$ при $b \neq 0$.

7. Модуль степени. Модуль степени числа с целым показателем равен той же степени модуля этого числа. Ответ: $|a^n| = |a|^n$ для $n \in \mathbb{Z}$.

8. Неравенство треугольника (модуль суммы). Модуль суммы двух чисел не превосходит суммы их модулей. Ответ: $|a + b| \le |a| + |b|$.

9. Следствие из неравенства треугольника (модуль разности). Модуль разности двух чисел больше либо равен модулю разности их модулей. Ответ: $|a - b| \ge ||a| - |b||$.

4. В чём состоит геометрический смысл выражения $|a|$?

Геометрический смысл выражения $|a|$, которое называется модулем или абсолютной величиной числа $a$, заключается в его интерпретации на координатной прямой.

На координатной (или числовой) прямой каждому действительному числу $a$ соответствует определённая точка. Выражение $|a|$ геометрически представляет собой расстояние от точки с координатой $a$ до начала координат, то есть до точки с координатой 0.

Рассмотрим несколько примеров:

• Если $a = 5$, то $|5| = 5$. Это означает, что расстояние от точки с координатой 5 до точки 0 на числовой оси равно 5 единичным отрезкам.
• Если $a = -5$, то $|-5| = 5$. Это также означает, что расстояние от точки с координатой -5 до точки 0 на числовой оси равно 5 единичным отрезкам.
• Если $a = 0$, то $|0| = 0$. Точка совпадает с началом координат, и расстояние равно нулю.

Поскольку расстояние не может быть отрицательной величиной, модуль любого числа всегда является неотрицательным числом ($|a| \ge 0$).

Ответ: Геометрический смысл выражения $|a|$ — это расстояние на координатной прямой от точки, соответствующей числу $a$, до начала координат (точки 0).

6. Сколько можно отметить чисел $x$ на числовой прямой таких, что $|x| = 3$?

Данная задача сводится к решению уравнения с модулем: $|x| = 3$.

По определению, модуль числа, или его абсолютная величина, — это расстояние от этого числа до нуля на числовой прямой. Расстояние всегда является неотрицательной величиной.

Уравнение $|x| = 3$ означает, что мы ищем все числа x, которые находятся на расстоянии 3 единицы от нуля.

На числовой прямой существуют две точки, удовлетворяющие этому условию:

1. Точка, расположенная справа от нуля на расстоянии 3 единицы. Это число 3. Проверим: $|3| = 3$.

2. Точка, расположенная слева от нуля на расстоянии 3 единицы. Это число -3. Проверим: $|-3| = 3$.

Таким образом, уравнение $|x| = 3$ имеет два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Следовательно, на числовой прямой можно отметить два таких числа.

Ответ: 2.

8. Приведите пример, когда соотношение $|a + b| = |a| + |b|$ является верным, и пример, когда оно неверно.

Пример, когда соотношение является верным

Равенство $|a + b| = |a| + |b|$ справедливо в том случае, когда числа $a$ и $b$ имеют одинаковые знаки (то есть оба положительны или оба отрицательны) или когда хотя бы одно из них равно нулю. Общее условие можно записать как $a \cdot b \ge 0$.

Рассмотрим пример, где оба числа положительны. Пусть $a = 5$ и $b = 10$.

Подставим эти значения в левую часть соотношения:
$|a + b| = |5 + 10| = |15| = 15$.

Теперь подставим значения в правую часть:
$|a| + |b| = |5| + |10| = 5 + 10 = 15$.

Поскольку $15 = 15$, равенство выполняется.

Ответ: например, при $a = 5$ и $b = 10$.

Пример, когда оно неверно

Равенство $|a + b| = |a| + |b|$ не выполняется, когда числа $a$ и $b$ имеют разные знаки. В этом случае всегда будет выполняться строгое неравенство $|a + b| < |a| + |b|$. Общее условие для невыполнения равенства — $a \cdot b < 0$.

Рассмотрим пример, где числа имеют разные знаки. Пусть $a = 5$ и $b = -10$.

Подставим эти значения в левую часть соотношения:
$|a + b| = |5 + (-10)| = |-5| = 5$.

Теперь подставим значения в правую часть:
$|a| + |b| = |5| + |-10| = 5 + 10 = 15$.

Поскольку $5 \ne 15$, соотношение в данном случае неверно.

Ответ: например, при $a = 5$ и $b = -10$.

10. Что представляет собой график функции $y = |x|$?

График функции $y=|x|$ представляет собой объединение двух лучей, которые выходят из начала координат и образуют фигуру, известную как "уголок" или "галочка".

Чтобы построить данный график, необходимо рассмотреть определение модуля (абсолютной величины). Модуль числа $x$ равен самому числу $x$, если оно неотрицательное, и числу $-x$, если $x$ отрицательное. Функцию $y=|x|$ можно представить в виде кусочно-заданной функции: $y = |x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Таким образом, график функции $y=|x|$ состоит из двух частей. Для неотрицательных значений $x$ (при $x \ge 0$), функция принимает вид $y=x$. Графиком этой части является луч, который служит биссектрисой первого координатного угла и идет из точки $(0,0)$ вправо и вверх. Для отрицательных значений $x$ (при $x < 0$), функция принимает вид $y=-x$. Графиком этой части является луч, который служит биссектрисой второго координатного угла и идет из точки $(0,0)$ влево и вверх.

Объединение этих двух лучей в точке $(0,0)$ и образует итоговый график. Вершина этого "уголка" находится в начале координат. Весь график расположен в верхней полуплоскости (над осью $Ox$), так как модуль числа всегда неотрицателен. График симметричен относительно оси ординат ($Oy$), поскольку функция $y=|x|$ является чётной ($|-x|=|x|$ для любого $x$).

Ответ: График функции $y=|x|$ представляет собой два луча, выходящих из начала координат: луч $y=x$, расположенный в первой координатной четверти ($x \ge 0$), и луч $y=-x$, расположенный во второй координатной четверти ($x < 0$). Вместе они образуют V-образную фигуру ("уголок") с вершиной в точке $(0,0)$, симметричную относительно оси $Oy$.

12. Обладает ли график функции $y = |x|$ симметрией? Каков её характер?

Обладает ли график функции $y = |x|$ симметрией?

Да, график функции $y = f(x) = |x|$ обладает симметрией. Чтобы это доказать, проверим функцию на четность. Функция является четной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Область определения функции $y = |x|$ — все действительные числа.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = |-x|$
По определению модуля, $|-x| = |x|$.
Таким образом, $f(-x) = |x| = f(x)$.
Так как условие $f(-x) = f(x)$ выполняется, функция $y = |x|$ является четной, а график четной функции всегда симметричен.

Каков её характер?

Характер симметрии графика функции $y = |x|$ — осевая симметрия.
Поскольку функция является четной, ее график симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$). Это означает, что для любой точки с координатами $(x_0, y_0)$, принадлежащей графику, точка с координатами $(-x_0, y_0)$ также будет принадлежать этому графику. Визуально, часть графика, расположенная слева от оси $Oy$, является зеркальным отражением части, расположенной справа.

Ответ: Да, график функции $y = |x|$ обладает симметрией. Это осевая симметрия относительно оси ординат ($Oy$).

14. Вычислите:

а) $\sqrt{(\sqrt{2}-2)^2}$;

б) $\sqrt{(\pi-2)^2}$.

Для решения этой задачи используется основное свойство арифметического квадратного корня: для любого действительного числа $a$ справедливо равенство $\sqrt{a^2} = |a|$. Модуль (абсолютная величина) числа $|a|$ раскрывается в зависимости от знака $a$:

• если $a \geq 0$, то $|a| = a$;
• если $a < 0$, то $|a| = -a$.

Таким образом, для каждого случая нам необходимо сначала применить свойство корня, а затем определить знак выражения под модулем, чтобы правильно его раскрыть.

а) $\sqrt{(\sqrt{2} - 2)^2}$

Применяя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, где $a = \sqrt{2} - 2$, получаем:

$\sqrt{(\sqrt{2} - 2)^2} = |\sqrt{2} - 2|$

Далее определим знак выражения в скобках: $\sqrt{2} - 2$. Для этого сравним числа $\sqrt{2}$ и $2$. Поскольку оба числа положительны, мы можем сравнить их квадраты: $(\sqrt{2})^2 = 2$ и $2^2 = 4$. Так как $2 < 4$, то и $\sqrt{2} < \sqrt{4}$, что означает $\sqrt{2} < 2$.

Следовательно, разность $\sqrt{2} - 2$ является отрицательным числом.

По определению модуля для отрицательного числа ($|x| = -x$ при $x < 0$), имеем:

$|\sqrt{2} - 2| = -(\sqrt{2} - 2) = -\sqrt{2} + 2 = 2 - \sqrt{2}$.

Ответ: $2 - \sqrt{2}$

б) $\sqrt{(\pi - 2)^2}$

Используя то же свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, где $a = \pi - 2$, получаем:

$\sqrt{(\pi - 2)^2} = |\pi - 2|$

Теперь определим знак выражения $\pi - 2$. Число $\pi$ является иррациональным числом, приблизительно равным $3.14159...$. Поскольку $\pi > 2$, разность $\pi - 2$ является положительным числом.

По определению модуля для положительного числа ($|x| = x$ при $x \geq 0$), имеем:

$|\pi - 2| = \pi - 2$.

Ответ: $\pi - 2$

Внесите множитель под знак корня:

16.16 a) $2\sqrt{3}$;

б) $5\sqrt{2}$;

в) $11\sqrt{5}$;

г) $7\sqrt{6}$.

Чтобы внести положительный множитель под знак квадратного корня, необходимо возвести этот множитель в квадрат и результат умножить на подкоренное выражение. Всё выражение записывается под одним знаком корня. Общая формула для $a \ge 0$ выглядит так: $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$.

а) $2\sqrt{3}$
Чтобы внести множитель 2 под знак корня, представим его в виде корня, возведя в квадрат: $2 = \sqrt{2^2} = \sqrt{4}$.
Теперь, используя свойство $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{x \cdot y}$, объединим выражения под одним корнем:
$2\sqrt{3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$.
Ответ: $\sqrt{12}$.

б) $5\sqrt{2}$
Вносим множитель 5 под знак корня. Для этого возводим 5 в квадрат: $5^2 = 25$.
Затем умножаем полученный результат на подкоренное выражение:
$5\sqrt{2} = \sqrt{5^2 \cdot 2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}$.
Ответ: $\sqrt{50}$.

в) $11\sqrt{5}$
Вносим множитель 11 под знак корня, предварительно возведя его в квадрат: $11^2 = 121$.
Умножаем результат на число под корнем:
$11\sqrt{5} = \sqrt{11^2 \cdot 5} = \sqrt{121 \cdot 5} = \sqrt{605}$.
Ответ: $\sqrt{605}$.

г) $7\sqrt{6}$
Вносим множитель 7 под знак корня. Возводим 7 в квадрат: $7^2 = 49$.
Умножаем полученное число на подкоренное выражение:
$7\sqrt{6} = \sqrt{7^2 \cdot 6} = \sqrt{49 \cdot 6} = \sqrt{294}$.
Ответ: $\sqrt{294}$.

16.17 а) $-3\sqrt{8};$

б) $-11\sqrt{3};$

в) $-13\sqrt{5};$

г) $-6\sqrt{2}.$

а) Чтобы внести отрицательный множитель под знак корня, необходимо оставить знак "минус" перед корнем, а само число (без знака) внести под корень, возведя его в квадрат. Затем результат нужно умножить на имеющееся подкоренное выражение.
Для выражения $-3\sqrt{8}$ вносим под корень множитель $3$:
$-3\sqrt{8} = -\sqrt{3^2 \cdot 8} = -\sqrt{9 \cdot 8} = -\sqrt{72}$.
Ответ: $-\sqrt{72}$.

б) Для выражения $-11\sqrt{3}$ поступаем аналогично: оставляем знак "минус" перед корнем, а $11$ вносим под корень, возведя в квадрат.
$-11\sqrt{3} = -\sqrt{11^2 \cdot 3} = -\sqrt{121 \cdot 3} = -\sqrt{363}$.
Ответ: $-\sqrt{363}$.

в) В выражении $-13\sqrt{5}$ вносим под корень число $13$, возведенное в квадрат, а знак "минус" сохраняем перед корнем.
$-13\sqrt{5} = -\sqrt{13^2 \cdot 5} = -\sqrt{169 \cdot 5} = -\sqrt{845}$.
Ответ: $-\sqrt{845}$.

г) В выражении $-6\sqrt{2}$ вносим множитель $6$ под знак корня, возведя его в квадрат, и оставляем знак "минус" перед корнем.
$-6\sqrt{2} = -\sqrt{6^2 \cdot 2} = -\sqrt{36 \cdot 2} = -\sqrt{72}$.
Ответ: $-\sqrt{72}$.

16.18 a) $\frac{1}{4}\sqrt{32}$;

б) $-\frac{2}{3}\sqrt{15}$;

в) $-\frac{5}{2}\sqrt{8}$;

г) $\frac{4}{7}\sqrt{35}$.

Чтобы внести положительный множитель под знак квадратного корня, нужно возвести его во вторую степень (в квадрат) и полученное значение умножить на подкоренное выражение. В данном случае множитель $\frac{1}{4}$ является положительным.

$\frac{1}{4}\sqrt{32} = \sqrt{(\frac{1}{4})^2 \cdot 32} = \sqrt{\frac{1}{16} \cdot 32} = \sqrt{\frac{32}{16}} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.

При внесении отрицательного множителя под знак корня, знак "минус" остается перед корнем. Под корень вносится модуль этого множителя (его положительное значение), возведенный в квадрат, который затем умножается на подкоренное выражение.

$-\frac{2}{3}\sqrt{15} = -\sqrt{(\frac{2}{3})^2 \cdot 15} = -\sqrt{\frac{4}{9} \cdot 15} = -\sqrt{\frac{4 \cdot 15}{9}} = -\sqrt{\frac{60}{9}} = -\sqrt{\frac{20}{3}}$.

Ответ: $-\sqrt{\frac{20}{3}}$.

Так как множитель $-\frac{5}{2}$ отрицательный, знак "минус" остается перед корнем. Под корень вносим положительное значение множителя, то есть $\frac{5}{2}$, возведенное в квадрат, и умножаем на подкоренное число.

$-\frac{5}{2}\sqrt{8} = -\sqrt{(\frac{5}{2})^2 \cdot 8} = -\sqrt{\frac{25}{4} \cdot 8} = -\sqrt{\frac{25 \cdot 8}{4}} = -\sqrt{25 \cdot 2} = -\sqrt{50}$.

Ответ: $-\sqrt{50}$.

Вносим положительный множитель $\frac{4}{7}$ под знак корня. Для этого возводим его в квадрат и умножаем на подкоренное выражение $35$.

$\frac{4}{7}\sqrt{35} = \sqrt{(\frac{4}{7})^2 \cdot 35} = \sqrt{\frac{16}{49} \cdot 35} = \sqrt{\frac{16 \cdot 35}{49}} = \sqrt{\frac{16 \cdot 5 \cdot 7}{7 \cdot 7}} = \sqrt{\frac{80}{7}}$.

Ответ: $\sqrt{\frac{80}{7}}$.

16.19 а) $x\sqrt{12}$;

б) $y\sqrt{32}$;

в) $z\sqrt{5}$;

г) $t\sqrt{11}$.

а) Чтобы внести множитель под знак корня, его необходимо возвести в квадрат и умножить на подкоренное выражение. Это преобразование верно, если вносимый множитель неотрицателен. Будем считать, что переменная $x$ принимает неотрицательные значения, то есть $x \ge 0$.
В этом случае, мы можем записать $x$ как $\sqrt{x^2}$.
Подставим это в исходное выражение:
$x\sqrt{12} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{12}$
Теперь, используя свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$, объединим все под одним корнем:
$\sqrt{x^2 \cdot 12} = \sqrt{12x^2}$
Ответ: $\sqrt{12x^2}$

б) Аналогично предыдущему пункту, для внесения множителя $y$ под знак корня в выражении $y\sqrt{32}$, мы предполагаем, что $y \ge 0$.
При этом условии, $y$ можно представить в виде $\sqrt{y^2}$.
Выполним преобразование:
$y\sqrt{32} = \sqrt{y^2} \cdot \sqrt{32}$
Объединяем подкоренные выражения:
$\sqrt{y^2 \cdot 32} = \sqrt{32y^2}$
Ответ: $\sqrt{32y^2}$

в) Рассмотрим выражение $z\sqrt{5}$. Чтобы внести множитель $z$ под корень, мы должны возвести его в квадрат. Данная операция корректна, если $z$ — неотрицательное число ($z \ge 0$).
Представим $z$ в виде $\sqrt{z^2}$:
$z\sqrt{5} = \sqrt{z^2} \cdot \sqrt{5}$
Применяя свойство корней, получаем:
$\sqrt{z^2 \cdot 5} = \sqrt{5z^2}$
Ответ: $\sqrt{5z^2}$

г) В выражении $t\sqrt{11}$ внесем множитель $t$ под знак корня. Сделаем допущение, что $t \ge 0$.
Тогда, $t = \sqrt{t^2}$.
Преобразуем исходное выражение:
$t\sqrt{11} = \sqrt{t^2} \cdot \sqrt{11}$
Перемножим выражения под знаками корней:
$\sqrt{t^2 \cdot 11} = \sqrt{11t^2}$
Ответ: $\sqrt{11t^2}$

16.20 а) $a^2\sqrt{7}$;

б) $-b\sqrt{10}$;

в) $c^2\sqrt{11}$;

г) $-d\sqrt{3}$.

a) Чтобы внести множитель $a^2$ под знак корня в выражении $a^2\sqrt{7}$, необходимо возвести этот множитель в квадрат и умножить на подкоренное выражение. Множитель $a^2$ является неотрицательным при любом значении $a$ (то есть $a^2 \ge 0$). Поэтому мы можем внести его под знак корня по правилу $x\sqrt{y} = \sqrt{x^2y}$ для $x \ge 0$. Возводим множитель $a^2$ в квадрат: $(a^2)^2 = a^4$. Умножаем результат на подкоренное выражение: $a^4 \cdot 7 = 7a^4$. Записываем полученное выражение под знаком корня: $a^2\sqrt{7} = \sqrt{(a^2)^2 \cdot 7} = \sqrt{7a^4}$. Ответ: $\sqrt{7a^4}$.

б) Чтобы внести множитель в выражении $-b\sqrt{10}$ под знак корня, нужно рассмотреть знак переменной $b$. Стандартный подход заключается в сохранении знака минус перед корнем и внесении под корень переменной $b$, предполагая, что она неотрицательна ($b \ge 0$). При этом предположении $b$ можно внести под корень, возведя в квадрат. Знак минус остается перед корнем, чтобы сохранить знак всего выражения. Получаем: $-b\sqrt{10} = -(b\sqrt{10}) = -\sqrt{b^2 \cdot 10} = -\sqrt{10b^2}$. Если бы было задано условие $b < 0$, то множитель $-b$ был бы положительным, и его можно было бы внести под корень: $(-b)\sqrt{10} = \sqrt{(-b)^2 \cdot 10} = \sqrt{10b^2}$. В отсутствие уточнений, используется первый подход. Ответ: $-\sqrt{10b^2}$.

в) Чтобы внести множитель $c^2$ под знак корня в выражении $c^2\sqrt{11}$, мы возводим множитель в квадрат и умножаем на подкоренное выражение. Множитель $c^2$ всегда неотрицателен ($c^2 \ge 0$) для любого действительного значения $c$. Поэтому мы вносим его под корень по стандартному правилу для неотрицательных множителей. Возводим $c^2$ в квадрат: $(c^2)^2 = c^4$. Умножаем результат на подкоренное выражение $11$: $c^4 \cdot 11 = 11c^4$. Записываем итоговый результат: $c^2\sqrt{11} = \sqrt{(c^2)^2 \cdot 11} = \sqrt{11c^4}$. Ответ: $\sqrt{11c^4}$.

г) Задача для выражения $-d\sqrt{3}$ аналогична задаче б). Необходимо внести множитель под знак корня. Сохраняем знак минус перед корнем и вносим под корень переменную $d$, предполагая, что она неотрицательна ($d \ge 0$). При этом предположении, возводим $d$ в квадрат и умножаем на подкоренное выражение. Знак минус остается перед корнем, чтобы сохранить исходный знак выражения. Получаем: $-d\sqrt{3} = -(d\sqrt{3}) = -\sqrt{d^2 \cdot 3} = -\sqrt{3d^2}$. Этот подход является стандартным, когда знак переменной не определен. Ответ: $-\sqrt{3d^2}$.

16.21 a) $-3x^2 \sqrt{\frac{1}{3}};$

б) $4x^2y \sqrt{0.5xy};$

в) $-5m^6 \sqrt{5m};$

г) $\frac{1}{2} p \sqrt{\frac{20q}{p}}.$

а) Чтобы внести множитель $-3x^2$ под знак корня в выражении $-3x^2\sqrt{\frac{1}{3}}$, нужно учесть его знак. Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то множитель $-3x^2$ всегда неположителен ( $\le 0$ ). Согласно правилу, при внесении неположительного множителя под знак квадратного корня, знак "минус" остается перед корнем, а под корень вносится модуль этого множителя (то есть $3x^2$), возведенный в квадрат.
$-3x^2\sqrt{\frac{1}{3}} = -\sqrt{(3x^2)^2 \cdot \frac{1}{3}} = -\sqrt{9x^4 \cdot \frac{1}{3}} = -\sqrt{\frac{9x^4}{3}} = -\sqrt{3x^4}$.
Ответ: $-\sqrt{3x^4}$.

б) В выражении $4x^2y\sqrt{0,5xy}$ необходимо внести множитель $4x^2y$ под знак корня. Для этого множитель должен быть неотрицательным. Так как $x^2 \ge 0$, условие $4x^2y \ge 0$ выполняется при $y \ge 0$. Подкоренное выражение $0,5xy$ также должно быть неотрицательным ($xy \ge 0$), что при $y \ge 0$ требует $x \ge 0$.
При выполнении этих условий ($x \ge 0, y \ge 0$) вносим множитель под корень, возведя его в квадрат:
$4x^2y\sqrt{0,5xy} = \sqrt{(4x^2y)^2 \cdot 0,5xy} = \sqrt{16x^4y^2 \cdot 0,5xy} = \sqrt{(16 \cdot 0,5) \cdot (x^4 \cdot x) \cdot (y^2 \cdot y)} = \sqrt{8x^5y^3}$.
Ответ: $\sqrt{8x^5y^3}$.

в) В выражении $-5m^6\sqrt{5m}$ необходимо внести множитель $-5m^6$ под знак корня.
Во-первых, определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем $5m$ должно быть неотрицательным: $5m \ge 0$, откуда $m \ge 0$.
Во-вторых, определим знак множителя $-5m^6$. При $m \ge 0$ степень $m^6$ также неотрицательна, поэтому весь множитель $-5m^6$ является неположительным ( $\le 0$ ).
Поэтому, знак "минус" остается перед корнем, а под корень вносится положительное выражение $5m^6$, возведенное в квадрат:
$-5m^6\sqrt{5m} = -\sqrt{(5m^6)^2 \cdot 5m} = -\sqrt{25m^{12} \cdot 5m} = -\sqrt{(25 \cdot 5) \cdot (m^{12} \cdot m)} = -\sqrt{125m^{13}}$.
Ответ: $-\sqrt{125m^{13}}$.

г) В выражении $\frac{1}{2}p\sqrt{\frac{20q}{p}}$ вносим множитель $\frac{1}{2}p$ под знак корня.
Подкоренное выражение $\frac{20q}{p}$ должно быть неотрицательным, то есть $\frac{q}{p} \ge 0$, и $p \ne 0$. Это значит, что $p$ и $q$ должны быть одного знака.
Чтобы внести множитель $\frac{1}{2}p$ под корень, он должен быть неотрицательным. Это условие выполняется при $p \ge 0$. Учитывая, что $p \ne 0$, получаем $p > 0$. При $p > 0$ из условия $\frac{q}{p} \ge 0$ следует, что $q \ge 0$.
При $p > 0$ и $q \ge 0$ вносим множитель под корень, возводя его в квадрат:
$\frac{1}{2}p\sqrt{\frac{20q}{p}} = \sqrt{(\frac{1}{2}p)^2 \cdot \frac{20q}{p}} = \sqrt{\frac{1}{4}p^2 \cdot \frac{20q}{p}} = \sqrt{\frac{20p^2q}{4p}} = \sqrt{5pq}$.
Ответ: $\sqrt{5pq}$.

16.22 Расположите в порядке возрастания числа:

а) $6, 2\sqrt{8}, 5, \sqrt{26}$;

б) $2, \sqrt{7}, 2\sqrt{3}, 3$;

в) $4, 3\sqrt{2}, 4\frac{1}{2}, \sqrt{19}$;

г) $1, \frac{\sqrt{7}}{3}, \frac{1}{2}\sqrt{3}, 0,7$.

Чтобы расположить числа в порядке возрастания, мы можем сравнить их значения. Удобнее всего это сделать, если привести все числа к одному виду. Так как в каждом наборе есть иррациональные числа (квадратные корни), самым простым способом сравнения будет возведение каждого числа в квадрат. Для положительных чисел верно, что если $a > b$, то $a^2 > b^2$.

а) Даны числа: $6, 2\sqrt{8}, 5, \sqrt{26}$.

Возведем каждое число в квадрат:

• $6^2 = 36$
• $(2\sqrt{8})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{8})^2 = 4 \cdot 8 = 32$
• $5^2 = 25$
• $(\sqrt{26})^2 = 26$

Теперь расположим полученные квадраты в порядке возрастания: $25 < 26 < 32 < 36$.

Этому порядку соответствует следующая последовательность исходных чисел: $5 < \sqrt{26} < 2\sqrt{8} < 6$.

Ответ: $5, \sqrt{26}, 2\sqrt{8}, 6$.

б) Даны числа: $2, \sqrt{7}, 2\sqrt{3}, 3$.

Возведем их в квадрат:

• $2^2 = 4$
• $(\sqrt{7})^2 = 7$
• $(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$
• $3^2 = 9$

Расположим квадраты в порядке возрастания: $4 < 7 < 9 < 12$.

Следовательно, исходные числа в порядке возрастания располагаются так: $2 < \sqrt{7} < 3 < 2\sqrt{3}$.

Ответ: $2, \sqrt{7}, 3, 2\sqrt{3}$.

в) Даны числа: $4, 3\sqrt{2}, 4\frac{1}{2}, \sqrt{19}$.

Возведем все числа в квадрат:

• $4^2 = 16$
• $(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$
• $(4\frac{1}{2})^2 = (4.5)^2 = 20.25$
• $(\sqrt{19})^2 = 19$

Расположим квадраты в порядке возрастания: $16 < 18 < 19 < 20.25$.

Соответствующий порядок для исходных чисел: $4 < 3\sqrt{2} < \sqrt{19} < 4\frac{1}{2}$.

Ответ: $4, 3\sqrt{2}, \sqrt{19}, 4\frac{1}{2}$.

г) Даны числа: $1, \frac{\sqrt{7}}{3}, \frac{1}{2}\sqrt{3}, 0.7$.

Возведем их в квадрат:

• $1^2 = 1$
• $(\frac{\sqrt{7}}{3})^2 = \frac{7}{9}$
• $(\frac{1}{2}\sqrt{3})^2 = \frac{1}{4} \cdot 3 = \frac{3}{4}$
• $0.7^2 = 0.49 = \frac{49}{100}$

Теперь сравним полученные квадраты: $1, \frac{7}{9}, \frac{3}{4}, \frac{49}{100}$. Для удобства сравнения преобразуем дроби в десятичные:

• $\frac{49}{100} = 0.49$
• $\frac{3}{4} = 0.75$
• $\frac{7}{9} \approx 0.777...$
• $1$

Располагая квадраты в порядке возрастания, получаем: $0.49 < 0.75 < \frac{7}{9} < 1$.

Следовательно, исходные числа в порядке возрастания: $0.7 < \frac{1}{2}\sqrt{3} < \frac{\sqrt{7}}{3} < 1$.

Ответ: $0.7, \frac{1}{2}\sqrt{3}, \frac{\sqrt{7}}{3}, 1$.

Упростите выражение:

16.23

а) $2\sqrt{x} + 3\sqrt{x} - 5\sqrt{x}$;

б) $5\sqrt{a} + 3\sqrt{b} - \sqrt{a} + 2\sqrt{b}$;

в) $\sqrt{z} - 3\sqrt{z} + 9\sqrt{z}$;

г) $8\sqrt{c} + \sqrt{d} - \sqrt{d} - 4\sqrt{c}$.

Чтобы упростить выражение, необходимо привести подобные слагаемые. Все члены выражения содержат общий множитель $ \sqrt{x} $, поэтому мы можем сложить их коэффициенты. Вынесем $ \sqrt{x} $ за скобки и выполним действия: $ 2\sqrt{x} + 3\sqrt{x} - 5\sqrt{x} = (2 + 3 - 5)\sqrt{x} = 0 \cdot \sqrt{x} = 0 $.
Ответ: $ 0 $.

В этом выражении есть две группы подобных слагаемых: одна группа содержит множитель $ \sqrt{a} $, а другая — $ \sqrt{b} $. Сгруппируем их и выполним действия для каждой группы отдельно: $ 5\sqrt{a} + 3\sqrt{b} - \sqrt{a} + 2\sqrt{b} = (5\sqrt{a} - \sqrt{a}) + (3\sqrt{b} + 2\sqrt{b}) $. Теперь сложим коэффициенты в каждой группе: $ (5 - 1)\sqrt{a} + (3 + 2)\sqrt{b} = 4\sqrt{a} + 5\sqrt{b} $.
Ответ: $ 4\sqrt{a} + 5\sqrt{b} $.

Все слагаемые в данном выражении являются подобными, так как содержат общий множитель $ \sqrt{z} $. Учтем, что коэффициент первого слагаемого $ \sqrt{z} $ равен 1. Вынесем $ \sqrt{z} $ за скобки и сложим коэффициенты: $ \sqrt{z} - 3\sqrt{z} + 9\sqrt{z} = (1 - 3 + 9)\sqrt{z} = 7\sqrt{z} $.
Ответ: $ 7\sqrt{z} $.

Сгруппируем подобные слагаемые: с множителем $ \sqrt{c} $ и с множителем $ \sqrt{d} $. $ 8\sqrt{c} + \sqrt{d} - \sqrt{d} - 4\sqrt{c} = (8\sqrt{c} - 4\sqrt{c}) + (\sqrt{d} - \sqrt{d}) $. Выполним вычисления в каждой группе. Слагаемые с $ \sqrt{d} $ взаимно уничтожаются: $ (8 - 4)\sqrt{c} + (1 - 1)\sqrt{d} = 4\sqrt{c} + 0 \cdot \sqrt{d} = 4\sqrt{c} $.
Ответ: $ 4\sqrt{c} $.

16.24 a) $\sqrt{216} - 2\sqrt{6}$;

б) $\sqrt{20} + \sqrt{125}$;

в) $\sqrt{125} + 7\sqrt{5}$;

г) $\sqrt{32} - \sqrt{128}$.

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt{216} - 2\sqrt{6}$, необходимо привести корни к одному виду. Для этого вынесем множитель из-под знака корня в члене $\sqrt{216}$.
Разложим подкоренное выражение 216 на множители так, чтобы один из них был наибольшим возможным квадратом целого числа. Заметим, что $216 = 36 \cdot 6$.
Тогда $\sqrt{216} = \sqrt{36 \cdot 6} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{6} = 6\sqrt{6}$.
Теперь подставим полученное значение обратно в исходное выражение:
$6\sqrt{6} - 2\sqrt{6}$.
Так как оба члена содержат одинаковый радикал $\sqrt{6}$, мы можем выполнить вычитание их коэффициентов:
$(6 - 2)\sqrt{6} = 4\sqrt{6}$.
Ответ: $4\sqrt{6}$.

б) В выражении $\sqrt{20} + \sqrt{125}$ необходимо упростить каждый из корней, вынеся множители из-под знака корня.
Упростим $\sqrt{20}$. Разложим 20 на множители: $20 = 4 \cdot 5$.
$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$.
Упростим $\sqrt{125}$. Разложим 125 на множители: $125 = 25 \cdot 5$.
$\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{5} = 5\sqrt{5}$.
Теперь сложим полученные выражения:
$2\sqrt{5} + 5\sqrt{5}$.
Складываем коэффициенты при одинаковом радикале $\sqrt{5}$:
$(2 + 5)\sqrt{5} = 7\sqrt{5}$.
Ответ: $7\sqrt{5}$.

в) В выражении $\sqrt{125} + 7\sqrt{5}$ нужно упростить первый член.
Вынесем множитель из-под знака корня в $\sqrt{125}$. Мы знаем, что $125 = 25 \cdot 5$.
Следовательно, $\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{5} = 5\sqrt{5}$.
Подставим упрощенный корень в исходное выражение:
$5\sqrt{5} + 7\sqrt{5}$.
Теперь сложим коэффициенты при одинаковом радикале $\sqrt{5}$:
$(5 + 7)\sqrt{5} = 12\sqrt{5}$.
Ответ: $12\sqrt{5}$.

г) Для решения выражения $\sqrt{32} - \sqrt{128}$ упростим каждый из корней.
Упростим $\sqrt{32}$. Разложим 32 на множители, выделив наибольший квадрат: $32 = 16 \cdot 2$.
$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.
Упростим $\sqrt{128}$. Разложим 128 на множители: $128 = 64 \cdot 2$.
$\sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{2} = 8\sqrt{2}$.
Подставим упрощенные значения в исходное выражение:
$4\sqrt{2} - 8\sqrt{2}$.
Выполним вычитание коэффициентов при одинаковом радикале $\sqrt{2}$:
$(4 - 8)\sqrt{2} = -4\sqrt{2}$.
Ответ: $-4\sqrt{2}$.

16.25 а) $5\sqrt{3} - \sqrt{300} - \sqrt{27}$;

б) $2\sqrt{125} + 2\sqrt{20} - \frac{1}{2}\sqrt{80}$;

в) $3\sqrt{5} + \sqrt{20} + \sqrt{80}$;

г) $3\sqrt{12} + 2\sqrt{3} - \frac{2}{3}\sqrt{27}$.

а) Чтобы упростить выражение $5\sqrt{3} - \sqrt{300} - \sqrt{27}$, необходимо привести все слагаемые к одному виду, вынеся множитель из-под знака корня. Общий радикал здесь будет $\sqrt{3}$.
Упростим корень из 300. Для этого разложим 300 на множители так, чтобы один из них был полным квадратом: $300 = 100 \cdot 3$.
$\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{3} = 10\sqrt{3}$.
Теперь упростим корень из 27. Разложим 27 на множители: $27 = 9 \cdot 3$.
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.
Подставим упрощенные значения в исходное выражение:
$5\sqrt{3} - 10\sqrt{3} - 3\sqrt{3}$.
Теперь, когда все слагаемые содержат $\sqrt{3}$, мы можем выполнить действия с их коэффициентами:
$(5 - 10 - 3)\sqrt{3} = (-5 - 3)\sqrt{3} = -8\sqrt{3}$.
Ответ: $-8\sqrt{3}$.

б) Упростим выражение $2\sqrt{125} + 2\sqrt{20} - \frac{1}{2}\sqrt{80}$. Для этого приведем все корни к одному виду. Заметим, что все подкоренные выражения делятся на 5.
Вынесем множители из-под знака корня для каждого слагаемого:
$2\sqrt{125} = 2\sqrt{25 \cdot 5} = 2 \cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{5} = 2 \cdot 5\sqrt{5} = 10\sqrt{5}$.
$2\sqrt{20} = 2\sqrt{4 \cdot 5} = 2 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2 \cdot 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$.
$-\frac{1}{2}\sqrt{80} = -\frac{1}{2}\sqrt{16 \cdot 5} = -\frac{1}{2} \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{5} = -\frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{5} = -2\sqrt{5}$.
Подставим упрощенные значения в выражение:
$10\sqrt{5} + 4\sqrt{5} - 2\sqrt{5}$.
Сгруппируем коэффициенты при $\sqrt{5}$:
$(10 + 4 - 2)\sqrt{5} = 12\sqrt{5}$.
Ответ: $12\sqrt{5}$.

в) Упростим выражение $3\sqrt{5} + \sqrt{20} + \sqrt{80}$. Приведем все слагаемые к общему радикалу $\sqrt{5}$.
Упростим $\sqrt{20}$ и $\sqrt{80}$:
$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$.
$\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{5} = 4\sqrt{5}$.
Подставим упрощенные значения в исходное выражение:
$3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} + 4\sqrt{5}$.
Сложим коэффициенты при $\sqrt{5}$:
$(3 + 2 + 4)\sqrt{5} = 9\sqrt{5}$.
Ответ: $9\sqrt{5}$.

г) Упростим выражение $3\sqrt{12} + 2\sqrt{3} - \frac{2}{3}\sqrt{27}$. Общим радикалом здесь будет $\sqrt{3}$.
Упростим первое и третье слагаемые:
$3\sqrt{12} = 3\sqrt{4 \cdot 3} = 3 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.
$-\frac{2}{3}\sqrt{27} = -\frac{2}{3}\sqrt{9 \cdot 3} = -\frac{2}{3} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = -\frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{3} = -2\sqrt{3}$.
Подставим упрощенные значения в выражение:
$6\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3}$.
Выполним действия с коэффициентами при $\sqrt{3}$:
$(6 + 2 - 2)\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.
Ответ: $6\sqrt{3}$.