Номер 16.21, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.21, страница 82.

Условие.

16.21 a) $-3x^2 \sqrt{\frac{1}{3}};$

б) $4x^2y \sqrt{0.5xy};$

в) $-5m^6 \sqrt{5m};$

г) $\frac{1}{2} p \sqrt{\frac{20q}{p}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы внести множитель $-3x^2$ под знак корня в выражении $-3x^2\sqrt{\frac{1}{3}}$, нужно учесть его знак. Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то множитель $-3x^2$ всегда неположителен ( $\le 0$ ). Согласно правилу, при внесении неположительного множителя под знак квадратного корня, знак "минус" остается перед корнем, а под корень вносится модуль этого множителя (то есть $3x^2$), возведенный в квадрат.
$-3x^2\sqrt{\frac{1}{3}} = -\sqrt{(3x^2)^2 \cdot \frac{1}{3}} = -\sqrt{9x^4 \cdot \frac{1}{3}} = -\sqrt{\frac{9x^4}{3}} = -\sqrt{3x^4}$.
Ответ: $-\sqrt{3x^4}$.

б) В выражении $4x^2y\sqrt{0,5xy}$ необходимо внести множитель $4x^2y$ под знак корня. Для этого множитель должен быть неотрицательным. Так как $x^2 \ge 0$, условие $4x^2y \ge 0$ выполняется при $y \ge 0$. Подкоренное выражение $0,5xy$ также должно быть неотрицательным ($xy \ge 0$), что при $y \ge 0$ требует $x \ge 0$.
При выполнении этих условий ($x \ge 0, y \ge 0$) вносим множитель под корень, возведя его в квадрат:
$4x^2y\sqrt{0,5xy} = \sqrt{(4x^2y)^2 \cdot 0,5xy} = \sqrt{16x^4y^2 \cdot 0,5xy} = \sqrt{(16 \cdot 0,5) \cdot (x^4 \cdot x) \cdot (y^2 \cdot y)} = \sqrt{8x^5y^3}$.
Ответ: $\sqrt{8x^5y^3}$.

в) В выражении $-5m^6\sqrt{5m}$ необходимо внести множитель $-5m^6$ под знак корня.
Во-первых, определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем $5m$ должно быть неотрицательным: $5m \ge 0$, откуда $m \ge 0$.
Во-вторых, определим знак множителя $-5m^6$. При $m \ge 0$ степень $m^6$ также неотрицательна, поэтому весь множитель $-5m^6$ является неположительным ( $\le 0$ ).
Поэтому, знак "минус" остается перед корнем, а под корень вносится положительное выражение $5m^6$, возведенное в квадрат:
$-5m^6\sqrt{5m} = -\sqrt{(5m^6)^2 \cdot 5m} = -\sqrt{25m^{12} \cdot 5m} = -\sqrt{(25 \cdot 5) \cdot (m^{12} \cdot m)} = -\sqrt{125m^{13}}$.
Ответ: $-\sqrt{125m^{13}}$.

г) В выражении $\frac{1}{2}p\sqrt{\frac{20q}{p}}$ вносим множитель $\frac{1}{2}p$ под знак корня.
Подкоренное выражение $\frac{20q}{p}$ должно быть неотрицательным, то есть $\frac{q}{p} \ge 0$, и $p \ne 0$. Это значит, что $p$ и $q$ должны быть одного знака.
Чтобы внести множитель $\frac{1}{2}p$ под корень, он должен быть неотрицательным. Это условие выполняется при $p \ge 0$. Учитывая, что $p \ne 0$, получаем $p > 0$. При $p > 0$ из условия $\frac{q}{p} \ge 0$ следует, что $q \ge 0$.
При $p > 0$ и $q \ge 0$ вносим множитель под корень, возводя его в квадрат:
$\frac{1}{2}p\sqrt{\frac{20q}{p}} = \sqrt{(\frac{1}{2}p)^2 \cdot \frac{20q}{p}} = \sqrt{\frac{1}{4}p^2 \cdot \frac{20q}{p}} = \sqrt{\frac{20p^2q}{4p}} = \sqrt{5pq}$.
Ответ: $\sqrt{5pq}$.