Номер 16.15, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.15, страница 81.

Условие.

16.15 а) $\sqrt{\frac{50m^4 n^3}{9r^4}}$;

б) $\sqrt{\frac{9x^2y}{4z^2}}$;

в) $\sqrt{\frac{72a^6b^7}{49y^8}}$;

г) $\sqrt{\frac{27x^{11}y^{13}}{25w^6}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы упростить выражение $ \sqrt{\frac{50m^4n^3}{9r^4}} $, воспользуемся свойством корня из дроби $ \sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} $ (при $ A \ge 0, B > 0 $).

$ \sqrt{\frac{50m^4n^3}{9r^4}} = \frac{\sqrt{50m^4n^3}}{\sqrt{9r^4}} $.

Упростим числитель: $ \sqrt{50m^4n^3} $. Разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы можно было извлечь корень из части из них.

$ 50 = 25 \cdot 2 = 5^2 \cdot 2 $

$ m^4 = (m^2)^2 $

$ n^3 = n^2 \cdot n $

Тогда $ \sqrt{50m^4n^3} = \sqrt{25 \cdot 2 \cdot m^4 \cdot n^2 \cdot n} = \sqrt{25 \cdot (m^2)^2 \cdot n^2 \cdot 2n} $.

Вынесем множители из-под знака корня: $ \sqrt{25}\sqrt{(m^2)^2}\sqrt{n^2}\sqrt{2n} = 5m^2|n|\sqrt{2n} $.

Так как под корнем стоит $ n^3 $, то $ n^3 \ge 0 $, что означает $ n \ge 0 $. Следовательно, $ |n| = n $.

Числитель равен $ 5m^2n\sqrt{2n} $.

Упростим знаменатель: $ \sqrt{9r^4} = \sqrt{9 \cdot (r^2)^2} = \sqrt{9}\sqrt{(r^2)^2} = 3r^2 $.

Объединяем числитель и знаменатель: $ \frac{5m^2n\sqrt{2n}}{3r^2} $.

Ответ: $ \frac{5m^2n\sqrt{2n}}{3r^2} $

б) Упростим выражение $ \sqrt{\frac{9x^2y}{4z^2}} $.

$ \sqrt{\frac{9x^2y}{4z^2}} = \frac{\sqrt{9x^2y}}{\sqrt{4z^2}} $.

Упростим числитель: $ \sqrt{9x^2y} = \sqrt{9 \cdot x^2 \cdot y} = \sqrt{9}\sqrt{x^2}\sqrt{y} = 3|x|\sqrt{y} $.

Подкоренное выражение $ \frac{9x^2y}{4z^2} $ должно быть неотрицательным. Так как $ 9x^2 \ge 0 $ и $ 4z^2 > 0 $, это требует, чтобы $ y \ge 0 $. Это согласуется с наличием $ \sqrt{y} $ в результате.

Упростим знаменатель: $ \sqrt{4z^2} = \sqrt{4 \cdot z^2} = \sqrt{4}\sqrt{z^2} = 2|z| $.

Объединяем числитель и знаменатель: $ \frac{3|x|\sqrt{y}}{2|z|} $.

Ответ: $ \frac{3|x|\sqrt{y}}{2|z|} $

в) Упростим выражение $ \sqrt{\frac{72a^6b^7}{49y^8}} $.

$ \sqrt{\frac{72a^6b^7}{49y^8}} = \frac{\sqrt{72a^6b^7}}{\sqrt{49y^8}} $.

Упростим числитель: $ \sqrt{72a^6b^7} $. Разложим на множители.

$ 72 = 36 \cdot 2 = 6^2 \cdot 2 $

$ a^6 = (a^3)^2 $

$ b^7 = b^6 \cdot b = (b^3)^2 \cdot b $

$ \sqrt{72a^6b^7} = \sqrt{36 \cdot 2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^3)^2 \cdot b} = \sqrt{36}\sqrt{(a^3)^2}\sqrt{(b^3)^2}\sqrt{2b} = 6|a^3||b^3|\sqrt{2b} $.

Из условия, что $ b^7 $ стоит под корнем, следует $ b^7 \ge 0 $, то есть $ b \ge 0 $. Тогда $ b^3 \ge 0 $ и $ |b^3| = b^3 $.

Числитель равен $ 6|a^3|b^3\sqrt{2b} $.

Упростим знаменатель: $ \sqrt{49y^8} = \sqrt{49 \cdot (y^4)^2} = \sqrt{49}\sqrt{(y^4)^2} = 7y^4 $ (поскольку $ y^4 \ge 0 $).

Объединяем: $ \frac{6|a^3|b^3\sqrt{2b}}{7y^4} $.

Ответ: $ \frac{6|a^3|b^3\sqrt{2b}}{7y^4} $

г) Упростим выражение $ \sqrt{\frac{27x^{11}y^{13}}{25w^6}} $.

$ \sqrt{\frac{27x^{11}y^{13}}{25w^6}} = \frac{\sqrt{27x^{11}y^{13}}}{\sqrt{25w^6}} $.

Упростим числитель: $ \sqrt{27x^{11}y^{13}} $. Разложим на множители.

$ 27 = 9 \cdot 3 = 3^2 \cdot 3 $

$ x^{11} = x^{10} \cdot x = (x^5)^2 \cdot x $

$ y^{13} = y^{12} \cdot y = (y^6)^2 \cdot y $

$ \sqrt{27x^{11}y^{13}} = \sqrt{9 \cdot 3 \cdot (x^5)^2 \cdot x \cdot (y^6)^2 \cdot y} = \sqrt{9}\sqrt{(x^5)^2}\sqrt{(y^6)^2}\sqrt{3xy} = 3|x^5|y^6\sqrt{3xy} $.

Здесь $ \sqrt{(y^6)^2} = |y^6| = y^6 $, так как $ y^6 \ge 0 $ для любого $ y $.

Подкоренное выражение $ \frac{27x^{11}y^{13}}{25w^6} $ должно быть неотрицательным. Это означает, что $ x^{11}y^{13} \ge 0 $, что равносильно $ xy \ge 0 $. Это условие обеспечивает, что выражение $ \sqrt{3xy} $ определено.

Упростим знаменатель: $ \sqrt{25w^6} = \sqrt{25 \cdot (w^3)^2} = \sqrt{25}\sqrt{(w^3)^2} = 5|w^3| $.

Объединяем: $ \frac{3|x^5|y^6\sqrt{3xy}}{5|w^3|} $.

Ответ: $ \frac{3|x^5|y^6\sqrt{3xy}}{5|w^3|} $