Номер 16.9, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.9, страница 81.

Условие.

16.9 Сравните значения выражений:

а) $A = 3\sqrt{50}, B = 2\sqrt{98};$

б) $A = 3\sqrt{\frac{8}{9}}, B = \frac{1}{2}\sqrt{48};$

в) $A = 4\sqrt{48}, B = 5\sqrt{27};$

г) $A = \frac{1}{7}\sqrt{80}, B = 2\sqrt{\frac{24}{49}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы сравнить значения выражений $A = 3\sqrt{50}$ и $B = 2\sqrt{98}$, необходимо привести их к одинаковому подкоренному выражению. Для этого вынесем множитель из-под знака корня.
Упростим выражение A:
$A = 3\sqrt{50} = 3\sqrt{25 \cdot 2} = 3 \cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot 5\sqrt{2} = 15\sqrt{2}$.
Упростим выражение B:
$B = 2\sqrt{98} = 2\sqrt{49 \cdot 2} = 2 \cdot \sqrt{49} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 7\sqrt{2} = 14\sqrt{2}$.
Теперь сравним полученные результаты: $15\sqrt{2}$ и $14\sqrt{2}$.
Поскольку оба выражения имеют одинаковый множитель $\sqrt{2}$, а $15 > 14$, то $15\sqrt{2} > 14\sqrt{2}$.
Следовательно, $A > B$.
Ответ: $A > B$.

б) Сравним значения выражений $A = 3\sqrt{\frac{8}{9}}$ и $B = \frac{1}{2}\sqrt{48}$.
Упростим выражение A:
$A = 3\sqrt{\frac{8}{9}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{4 \cdot 2}}{3} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.
Упростим выражение B:
$B = \frac{1}{2}\sqrt{48} = \frac{1}{2}\sqrt{16 \cdot 3} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.
Теперь сравним полученные результаты: $2\sqrt{2}$ и $2\sqrt{3}$.
Коэффициенты перед корнями одинаковы и равны 2. Сравним подкоренные выражения: $2 < 3$, следовательно $\sqrt{2} < \sqrt{3}$.
Таким образом, $2\sqrt{2} < 2\sqrt{3}$, что означает $A < B$.
Ответ: $A < B$.

в) Сравним значения выражений $A = 4\sqrt{48}$ и $B = 5\sqrt{27}$.
Упростим каждое выражение, вынеся множитель из-под знака корня.
Упростим выражение A:
$A = 4\sqrt{48} = 4\sqrt{16 \cdot 3} = 4 \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$.
Упростим выражение B:
$B = 5\sqrt{27} = 5\sqrt{9 \cdot 3} = 5 \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 5 \cdot 3\sqrt{3} = 15\sqrt{3}$.
Теперь сравним полученные результаты: $16\sqrt{3}$ и $15\sqrt{3}$.
Поскольку $\sqrt{3}$ является общим множителем, а $16 > 15$, то $16\sqrt{3} > 15\sqrt{3}$.
Следовательно, $A > B$.
Ответ: $A > B$.

г) Сравним значения выражений $A = \frac{1}{7}\sqrt{80}$ и $B = 2\sqrt{\frac{24}{49}}$.
Упростим каждое выражение.
Упростим выражение A:
$A = \frac{1}{7}\sqrt{80} = \frac{1}{7}\sqrt{16 \cdot 5} = \frac{1}{7} \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{5} = \frac{1}{7} \cdot 4\sqrt{5} = \frac{4\sqrt{5}}{7}$.
Упростим выражение B:
$B = 2\sqrt{\frac{24}{49}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{49}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{4 \cdot 6}}{7} = 2 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{7} = \frac{4\sqrt{6}}{7}$.
Теперь сравним полученные результаты: $\frac{4\sqrt{5}}{7}$ и $\frac{4\sqrt{6}}{7}$.
Оба выражения имеют одинаковый множитель $\frac{4}{7}$. Сравним оставшиеся множители $\sqrt{5}$ и $\sqrt{6}$. Так как $5 < 6$, то $\sqrt{5} < \sqrt{6}$.
Следовательно, $\frac{4\sqrt{5}}{7} < \frac{4\sqrt{6}}{7}$, что означает $A < B$.
Ответ: $A < B$.