Номер 16.8, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.8, страница 81.

Условие.

16.8 а) $\sqrt{1\frac{1}{12}};$

б) $\sqrt{10\frac{1}{8}};$

в) $\sqrt{1\frac{13}{32}};$

г) $\sqrt{1\frac{17}{81}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы упростить выражение $\sqrt{1\frac{1}{12}}$, сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.
$1\frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 12 + 1}{12} = \frac{13}{12}$
Теперь извлечем корень из этой дроби, используя свойство корня из частного $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:
$\sqrt{1\frac{1}{12}} = \sqrt{\frac{13}{12}} = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{12}}$
Упростим знаменатель, вынеся множитель из-под знака корня:
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$
Подставим упрощенный знаменатель обратно в выражение:
$\frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{3}}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:
$\frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{13 \cdot 3}}{2 \cdot (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{39}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{39}}{6}$
Ответ: $\frac{\sqrt{39}}{6}$

б)

Чтобы упростить выражение $\sqrt{10\frac{1}{8}}$, преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$10\frac{1}{8} = \frac{10 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{81}{8}$
Теперь извлечем корень из полученной дроби:
$\sqrt{10\frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{81}{8}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{8}}$
Упростим числитель и знаменатель:
$\sqrt{81} = 9$
$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$
Подставим полученные значения в дробь:
$\frac{9}{2\sqrt{2}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$\frac{9}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{9\sqrt{2}}{4}$
Ответ: $\frac{9\sqrt{2}}{4}$

в)

Упростим выражение $\sqrt{1\frac{13}{32}}$. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$1\frac{13}{32} = \frac{1 \cdot 32 + 13}{32} = \frac{45}{32}$
Теперь извлечем корень:
$\sqrt{1\frac{13}{32}} = \sqrt{\frac{45}{32}} = \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{32}}$
Упростим числитель и знаменатель, вынося множители из-под знака корня:
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$
$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$
Подставим упрощенные значения в дробь:
$\frac{3\sqrt{5}}{4\sqrt{2}}$
Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:
$\frac{3\sqrt{5}}{4\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{5 \cdot 2}}{4 \cdot 2} = \frac{3\sqrt{10}}{8}$
Ответ: $\frac{3\sqrt{10}}{8}$

г)

Упростим выражение $\sqrt{1\frac{17}{81}}$. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$1\frac{17}{81} = \frac{1 \cdot 81 + 17}{81} = \frac{98}{81}$
Извлечем корень из дроби:
$\sqrt{1\frac{17}{81}} = \sqrt{\frac{98}{81}} = \frac{\sqrt{98}}{\sqrt{81}}$
Знаменатель является полным квадратом: $\sqrt{81} = 9$.
Упростим числитель, вынеся множитель из-под знака корня:
$\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}$
Запишем итоговое выражение:
$\frac{7\sqrt{2}}{9}$
Ответ: $\frac{7\sqrt{2}}{9}$