Номер 16.11, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.11, страница 81.

Условие.

16.11 a) $\sqrt{a^3}$;

б) $\sqrt{b^5}$;

в) $\sqrt{c^7}$;

г) $\sqrt{d^{11}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{a^3}$, необходимо представить подкоренное выражение $a^3$ в виде произведения, где один из множителей является полным квадратом. Поскольку показатель степени 3 — нечетное число, мы можем разложить его на сумму ближайшего четного числа и единицы: $3 = 2 + 1$.
Следовательно, $a^3 = a^{2+1} = a^2 \cdot a$.
Теперь подставим это в исходное выражение: $\sqrt{a^3} = \sqrt{a^2 \cdot a}$.
Используя свойство корня из произведения $\sqrt{xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$ (при $x \ge 0, y \ge 0$), получаем: $\sqrt{a^2 \cdot a} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{a}$.
Так как $\sqrt{a^2} = a$ (при условии, что $a \ge 0$, что необходимо для существования корня $\sqrt{a^3}$ в действительных числах), то окончательное упрощенное выражение выглядит так: $a\sqrt{a}$.

Ответ: $a\sqrt{a}$

б) В выражении $\sqrt{b^5}$ нужно вынести множитель из-под знака корня. Показатель степени 5 — нечетное число. Представим его как сумму ближайшего четного числа и единицы: $5 = 4 + 1$.
Тогда $b^5 = b^{4+1} = b^4 \cdot b$.
Подставим это в корень: $\sqrt{b^5} = \sqrt{b^4 \cdot b}$.
Применим свойство корня из произведения: $\sqrt{b^4 \cdot b} = \sqrt{b^4} \cdot \sqrt{b}$.
Упростим корень из четной степени: $\sqrt{b^4} = \sqrt{(b^2)^2} = b^2$ (при $b \ge 0$).
В результате получаем: $b^2\sqrt{b}$.

Ответ: $b^2\sqrt{b}$

в) Рассмотрим выражение $\sqrt{c^7}$. Чтобы вынести множитель из-под знака корня, разложим подкоренное выражение $c^7$ на множители. Показатель степени 7 — нечетный. Разложим его на сумму четного числа и единицы: $7 = 6 + 1$.
Следовательно, $c^7 = c^{6+1} = c^6 \cdot c$.
Исходное выражение примет вид: $\sqrt{c^7} = \sqrt{c^6 \cdot c}$.
Используем свойство корня от произведения: $\sqrt{c^6 \cdot c} = \sqrt{c^6} \cdot \sqrt{c}$.
Вычислим корень из множителя с четной степенью: $\sqrt{c^6} = \sqrt{(c^3)^2} = c^3$ (при $c \ge 0$).
Окончательный результат: $c^3\sqrt{c}$.

Ответ: $c^3\sqrt{c}$

г) В выражении $\sqrt{d^{11}}$ вынесем множитель из-под знака корня. Показатель степени 11 — нечетное число. Представим его как $11 = 10 + 1$.
Тогда $d^{11} = d^{10+1} = d^{10} \cdot d$.
Подставим в исходное выражение: $\sqrt{d^{11}} = \sqrt{d^{10} \cdot d}$.
Применим свойство корня из произведения: $\sqrt{d^{10} \cdot d} = \sqrt{d^{10}} \cdot \sqrt{d}$.
Упростим корень из четной степени: $\sqrt{d^{10}} = \sqrt{(d^5)^2} = d^5$ (при $d \ge 0$).
Таким образом, мы получаем: $d^5\sqrt{d}$.

Ответ: $d^5\sqrt{d}$