Номер 16.13, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.13, страница 81.

Условие.

16.13 a) $\sqrt{100x^3}$;

б) $\sqrt{32y^4}$;

в) $\sqrt{96z^5}$;

г) $\sqrt{50t^{10}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

a) Для того чтобы упростить выражение $ \sqrt{100x^3} $, нужно вынести множитель из-под знака корня. Область допустимых значений для данного выражения определяется условием $ 100x^3 \ge 0 $, что означает $ x^3 \ge 0 $, и, следовательно, $ x \ge 0 $.

Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, из которых можно извлечь квадратный корень. Мы ищем множители, являющиеся полными квадратами.

$ \sqrt{100x^3} = \sqrt{100 \cdot x^2 \cdot x} $

Используем свойство корня из произведения $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $ (для $ a \ge 0, b \ge 0 $):

$ \sqrt{100 \cdot x^2 \cdot x} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{x} $

Теперь извлечем корни из множителей, которые являются полными квадратами:

$ \sqrt{100} = 10 $

$ \sqrt{x^2} = x $ (поскольку из области допустимых значений мы знаем, что $ x \ge 0 $)

Собираем полученные множители:

$ 10 \cdot x \cdot \sqrt{x} = 10x\sqrt{x} $

Ответ: $ 10x\sqrt{x} $

б) Упростим выражение $ \sqrt{32y^4} $. Подкоренное выражение $ 32y^4 $ всегда неотрицательно, так как $ y^4 \ge 0 $ для любого действительного значения $ y $. Поэтому выражение определено для всех $ y $.

Разложим число 32 на множители так, чтобы выделить наибольший возможный полный квадрат:

$ 32 = 16 \cdot 2 = 4^2 \cdot 2 $

Степень переменной $ y^4 $ уже является полным квадратом, так как $ y^4 = (y^2)^2 $.

Перепишем исходное выражение:

$ \sqrt{32y^4} = \sqrt{16 \cdot 2 \cdot y^4} $

Используя свойство корня из произведения, вынесем множители из-под корня:

$ \sqrt{16 \cdot y^4 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{y^4} \cdot \sqrt{2} $

Извлекаем корни:

$ \sqrt{16} = 4 $

$ \sqrt{y^4} = \sqrt{(y^2)^2} = y^2 $ (результат $ y^2 $ всегда неотрицателен, поэтому модуль не требуется)

Объединяем результаты:

$ 4 \cdot y^2 \cdot \sqrt{2} = 4y^2\sqrt{2} $

Ответ: $ 4y^2\sqrt{2} $

в) Упростим выражение $ \sqrt{96z^5} $. Область допустимых значений определяется условием $ 96z^5 \ge 0 $, что означает $ z^5 \ge 0 $, следовательно, $ z \ge 0 $.

Разложим число 96 и переменную $ z^5 $ на множители, выделяя полные квадраты:

$ 96 = 16 \cdot 6 = 4^2 \cdot 6 $

$ z^5 = z^4 \cdot z = (z^2)^2 \cdot z $

Перепишем исходное выражение, сгруппировав полные квадраты:

$ \sqrt{96z^5} = \sqrt{16 \cdot z^4 \cdot 6z} $

Используем свойство корня из произведения:

$ \sqrt{16} \cdot \sqrt{z^4} \cdot \sqrt{6z} $

Извлекаем корни:

$ \sqrt{16} = 4 $

$ \sqrt{z^4} = \sqrt{(z^2)^2} = z^2 $

Собираем все вместе:

$ 4 \cdot z^2 \cdot \sqrt{6z} = 4z^2\sqrt{6z} $

Ответ: $ 4z^2\sqrt{6z} $

г) Упростим выражение $ \sqrt{50t^{10}} $. Подкоренное выражение $ 50t^{10} $ всегда неотрицательно, так как $ t^{10} = (t^5)^2 \ge 0 $ для любого действительного значения $ t $. Выражение определено для всех $ t $.

Разложим подкоренное выражение на множители, выделяя полные квадраты:

$ 50 = 25 \cdot 2 = 5^2 \cdot 2 $

$ t^{10} = (t^5)^2 $

Перепишем исходное выражение:

$ \sqrt{50t^{10}} = \sqrt{25 \cdot t^{10} \cdot 2} $

Используем свойство корня из произведения:

$ \sqrt{25} \cdot \sqrt{t^{10}} \cdot \sqrt{2} $

Извлекаем корни:

$ \sqrt{25} = 5 $

$ \sqrt{t^{10}} = \sqrt{(t^5)^2} = |t^5| $. Необходимо использовать знак модуля, так как переменная $ t $ может принимать отрицательные значения. В этом случае $ t^5 $ будет отрицательным, но результат извлечения корня $ \sqrt{t^{10}} $ должен быть неотрицательным.

Объединяем результаты:

$ 5 \cdot |t^5| \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}|t^5| $

Ответ: $ 5\sqrt{2}|t^5| $