Номер 16.7, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.7, страница 81.

Условие.

16.7 a) $ \sqrt{\frac{8}{27}}; $

б) $ \sqrt{\frac{40}{63}}; $

в) $ \sqrt{\frac{54}{125}}; $

г) $ \sqrt{\frac{243}{128}}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы упростить выражение $\sqrt{\frac{8}{27}}$, воспользуемся свойством корня из дроби, которое гласит, что корень из дроби равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

$\sqrt{\frac{8}{27}} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{27}}$

Теперь упростим каждый корень, вынося множитель из-под знака корня. Для этого разложим подкоренные выражения на множители так, чтобы один из них был полным квадратом.

Числитель: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

Знаменатель: $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$

Подставим упрощенные значения обратно в дробь:

$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{27}} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:

$\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2 \cdot 3}}{3 \cdot (\sqrt{3})^2} = \frac{2\sqrt{6}}{3 \cdot 3} = \frac{2\sqrt{6}}{9}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{6}}{9}$

б)

Упростим выражение $\sqrt{\frac{40}{63}}$, используя свойство корня из дроби:

$\sqrt{\frac{40}{63}} = \frac{\sqrt{40}}{\sqrt{63}}$

Вынесем множители из-под знака корня в числителе и знаменателе:

Числитель: $\sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{10} = 2\sqrt{10}$

Знаменатель: $\sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{7} = 3\sqrt{7}$

Получаем дробь:

$\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{63}} = \frac{2\sqrt{10}}{3\sqrt{7}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{7}$:

$\frac{2\sqrt{10}}{3\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{10} \cdot \sqrt{7}}{3\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{10 \cdot 7}}{3 \cdot (\sqrt{7})^2} = \frac{2\sqrt{70}}{3 \cdot 7} = \frac{2\sqrt{70}}{21}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{70}}{21}$

в)

Упростим выражение $\sqrt{\frac{54}{125}}$, используя свойство корня из дроби:

$\sqrt{\frac{54}{125}} = \frac{\sqrt{54}}{\sqrt{125}}$

Вынесем множители из-под знака корня:

Числитель: $\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{6} = 3\sqrt{6}$

Знаменатель: $\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{5} = 5\sqrt{5}$

Подставим упрощенные значения в дробь:

$\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{125}} = \frac{3\sqrt{6}}{5\sqrt{5}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$\frac{3\sqrt{6}}{5\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{6} \cdot \sqrt{5}}{5\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{6 \cdot 5}}{5 \cdot (\sqrt{5})^2} = \frac{3\sqrt{30}}{5 \cdot 5} = \frac{3\sqrt{30}}{25}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{30}}{25}$

г)

Упростим выражение $\sqrt{\frac{243}{128}}$, используя свойство корня из дроби:

$\sqrt{\frac{243}{128}} = \frac{\sqrt{243}}{\sqrt{128}}$

Вынесем множители из-под знака корня:

Числитель: $\sqrt{243} = \sqrt{81 \cdot 3} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{3} = 9\sqrt{3}$

Знаменатель: $\sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{2} = 8\sqrt{2}$

Получаем дробь:

$\frac{\sqrt{243}}{\sqrt{128}} = \frac{9\sqrt{3}}{8\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\frac{9\sqrt{3}}{8\sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{8\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{3 \cdot 2}}{8 \cdot (\sqrt{2})^2} = \frac{9\sqrt{6}}{8 \cdot 2} = \frac{9\sqrt{6}}{16}$

Ответ: $\frac{9\sqrt{6}}{16}$