Номер 15.36, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 15. Свойства квадратных корней. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 15.36, страница 80.

Условие.

15.36 Известно, что $f(x) = -\sqrt{x}$. Докажите, что:

a) $f(4x) = 2f(x);$

б) $f(x^4) = -(f(x))^4;$

в) $f(0,01x) = 0,1f(x);$

г) $f(x^5) = x^2f(x).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Дана функция $f(x) = -\sqrt{x}$. Докажем предложенные тождества. Область определения функции — $x \ge 0$. Все преобразования выполняются с учётом этого условия.

а) Докажем тождество $f(4x) = 2f(x)$.

Сначала преобразуем левую часть равенства. Для этого подставим $4x$ в качестве аргумента в функцию $f(x)$:

$f(4x) = -\sqrt{4x}$

Используя свойство корня $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$, получаем:

$-\sqrt{4x} = -\sqrt{4} \cdot \sqrt{x} = -2\sqrt{x}$.

Теперь преобразуем правую часть равенства, подставив в неё определение функции $f(x)$:

$2f(x) = 2 \cdot (-\sqrt{x}) = -2\sqrt{x}$.

Левая и правая части равенства равны: $-2\sqrt{x} = -2\sqrt{x}$. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Доказано.

б) Докажем тождество $f(x^4) = -(f(x))^4$.

Преобразуем левую часть, подставив $x^4$ в функцию $f(x)$:

$f(x^4) = -\sqrt{x^4}$

Так как $x^4 = (x^2)^2$ и $x^2 \ge 0$, то $\sqrt{x^4} = x^2$.

$f(x^4) = -x^2$.

Теперь преобразуем правую часть:

$-(f(x))^4 = -(-\sqrt{x})^4$.

При возведении в чётную степень знак минус исчезает: $(-\sqrt{x})^4 = (\sqrt{x})^4 = ((\sqrt{x})^2)^2 = x^2$.

$-(f(x))^4 = -x^2$.

Левая и правая части равны: $-x^2 = -x^2$. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Доказано.

в) Докажем тождество $f(0,01x) = 0,1f(x)$.

Преобразуем левую часть равенства, подставив $0,01x$ в функцию $f(x)$:

$f(0,01x) = -\sqrt{0,01x} = -\sqrt{0,01}\sqrt{x} = -0,1\sqrt{x}$.

Преобразуем правую часть равенства:

$0,1f(x) = 0,1 \cdot (-\sqrt{x}) = -0,1\sqrt{x}$.

Левая и правая части равны: $-0,1\sqrt{x} = -0,1\sqrt{x}$. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Доказано.

г) Докажем тождество $f(x^5) = x^2f(x)$.

Преобразуем левую часть, подставив $x^5$ в функцию $f(x)$. Отметим, что для существования $f(x^5)$, необходимо $x^5 \ge 0$, что равносильно $x \ge 0$.

$f(x^5) = -\sqrt{x^5}$

Представим подкоренное выражение как $x^5 = x^4 \cdot x$:

$-\sqrt{x^5} = -\sqrt{x^4 \cdot x} = -\sqrt{x^4}\sqrt{x} = -x^2\sqrt{x}$.

Теперь преобразуем правую часть равенства:

$x^2f(x) = x^2 \cdot (-\sqrt{x}) = -x^2\sqrt{x}$.

Левая и правая части равны: $-x^2\sqrt{x} = -x^2\sqrt{x}$. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Доказано.