Номер 15.35, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 15. Свойства квадратных корней. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 15.35, страница 80.

Условие.

15.35 Подберите две пары значений переменных, при которых заданное равенство верно, и две пары значений переменных, при которых заданное равенство неверно:

а) $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$;

б) $\sqrt{ab} = a\sqrt{b}$;

в) $\sqrt{a - b} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$;

г) $\sqrt{ab} = ab$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $ \sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b} $

Для того чтобы данное равенство имело смысл, переменные $a$ и $b$ должны быть неотрицательными ($a \ge 0, b \ge 0$). Возведем обе части равенства в квадрат:

$ (\sqrt{a+b})^2 = (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 $

$ a+b = (\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 $

$ a+b = a + 2\sqrt{ab} + b $

Вычтем из обеих частей $a+b$:

$ 0 = 2\sqrt{ab} $

Это уравнение выполняется только тогда, когда $ab=0$, то есть когда хотя бы одна из переменных равна нулю.

Пары значений, при которых равенство верно:

1. Пусть $a = 9, b = 0$. Тогда $ \sqrt{9+0} = \sqrt{9} = 3 $ и $ \sqrt{9} + \sqrt{0} = 3+0 = 3 $. Равенство $3=3$ верно.

2. Пусть $a = 0, b = 16$. Тогда $ \sqrt{0+16} = \sqrt{16} = 4 $ и $ \sqrt{0} + \sqrt{16} = 0+4 = 4 $. Равенство $4=4$ верно.

Пары значений, при которых равенство неверно:

Для этого достаточно выбрать любые два положительных числа.

1. Пусть $a = 1, b = 4$. Тогда $ \sqrt{1+4} = \sqrt{5} $ и $ \sqrt{1} + \sqrt{4} = 1+2 = 3 $. Равенство $\sqrt{5} = 3$ неверно.

2. Пусть $a = 9, b = 16$. Тогда $ \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 $ и $ \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3+4 = 7 $. Равенство $5=7$ неверно.

Ответ: Верно, например, при $a=9, b=0$ и $a=0, b=16$. Неверно, например, при $a=1, b=4$ и $a=9, b=16$.

б) $ \sqrt{ab} = a\sqrt{b} $

Область определения выражения требует, чтобы $ab \ge 0$ и $b \ge 0$. Если $b>0$, то для выполнения условия $ab \ge 0$ необходимо, чтобы $a \ge 0$. Если $b=0$, то $a$ может быть любым числом.

Рассмотрим два случая:

1. Если $b=0$, равенство принимает вид $ \sqrt{a \cdot 0} = a\sqrt{0} $, то есть $0=0$. Равенство верно для любого $a$.

2. Если $b>0$ (и, следовательно, $a \ge 0$), мы можем использовать свойство корня $ \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b} $. Равенство примет вид $ \sqrt{a}\sqrt{b} = a\sqrt{b} $. Так как $b>0$, то $\sqrt{b} \ne 0$, и мы можем разделить обе части на $ \sqrt{b} $, получив $ \sqrt{a} = a $. Это уравнение верно при $a=0$ или $a=1$.

Итак, равенство верно, если $b=0$, или $a=0$, или $a=1$ (при $b>0$).

Пары значений, при которых равенство верно:

1. Пусть $a = 1, b = 9$. Тогда $ \sqrt{1 \cdot 9} = \sqrt{9} = 3 $ и $ 1 \cdot \sqrt{9} = 1 \cdot 3 = 3 $. Равенство $3=3$ верно.

2. Пусть $a = 4, b = 0$. Тогда $ \sqrt{4 \cdot 0} = \sqrt{0} = 0 $ и $ 4 \cdot \sqrt{0} = 4 \cdot 0 = 0 $. Равенство $0=0$ верно.

Пары значений, при которых равенство неверно:

Для этого нужно взять $b>0$ и $a>0$, причем $a \ne 1$.

1. Пусть $a = 4, b = 9$. Тогда $ \sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6 $ и $ 4\sqrt{9} = 4 \cdot 3 = 12 $. Равенство $6=12$ неверно.

2. Пусть $a = 2, b = 1$. Тогда $ \sqrt{2 \cdot 1} = \sqrt{2} $ и $ 2\sqrt{1} = 2 \cdot 1 = 2 $. Равенство $\sqrt{2}=2$ неверно.

Ответ: Верно, например, при $a=1, b=9$ и $a=4, b=0$. Неверно, например, при $a=4, b=9$ и $a=2, b=1$.

в) $ \sqrt{a-b} = \sqrt{a} - \sqrt{b} $

Область определения: $a \ge 0, b \ge 0, a-b \ge 0$, то есть $a \ge b \ge 0$. Возведем обе части в квадрат:

$ (\sqrt{a-b})^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 $

$ a-b = a - 2\sqrt{ab} + b $

$ -b = -2\sqrt{ab} + b $

$ 2\sqrt{ab} = 2b $

$ \sqrt{ab} = b $

Возведем снова в квадрат (это возможно, т.к. $b \ge 0$): $ ab = b^2 $.

$ ab - b^2 = 0 \implies b(a-b)=0 $.

Это уравнение верно, если $b=0$ или $a=b$.

Пары значений, при которых равенство верно:

1. Пусть $a = 16, b = 0$. Тогда $ \sqrt{16-0} = \sqrt{16} = 4 $ и $ \sqrt{16} - \sqrt{0} = 4-0 = 4 $. Равенство $4=4$ верно.

2. Пусть $a = 25, b = 25$. Тогда $ \sqrt{25-25} = \sqrt{0} = 0 $ и $ \sqrt{25} - \sqrt{25} = 5-5 = 0 $. Равенство $0=0$ верно.

Пары значений, при которых равенство неверно:

Для этого нужно взять любые числа, где $a > b > 0$.

1. Пусть $a = 25, b = 9$. Тогда $ \sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4 $ и $ \sqrt{25} - \sqrt{9} = 5-3 = 2 $. Равенство $4=2$ неверно.

2. Пусть $a = 9, b = 4$. Тогда $ \sqrt{9-4} = \sqrt{5} $ и $ \sqrt{9} - \sqrt{4} = 3-2 = 1 $. Равенство $\sqrt{5}=1$ неверно.

Ответ: Верно, например, при $a=16, b=0$ и $a=25, b=25$. Неверно, например, при $a=25, b=9$ и $a=9, b=4$.

г) $ \sqrt{ab} = ab $

Область определения требует, чтобы $ab \ge 0$. Пусть $x = ab$. Тогда уравнение примет вид $ \sqrt{x} = x $. Возведем в квадрат обе части (это возможно, т.к. обе части неотрицательны):

$ (\sqrt{x})^2 = x^2 $

$ x = x^2 $

$ x^2 - x = 0 $

$ x(x-1) = 0 $

Решениями являются $x=0$ и $x=1$. Таким образом, исходное равенство верно, когда $ab=0$ или $ab=1$.

Пары значений, при которых равенство верно:

1. Для $ab=0$. Пусть $a=0, b=10$. Тогда $ \sqrt{0 \cdot 10} = \sqrt{0} = 0 $ и $ 0 \cdot 10 = 0 $. Равенство $0=0$ верно.

2. Для $ab=1$. Пусть $a=2, b=1/2$. Тогда $ \sqrt{2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1 $ и $ 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 $. Равенство $1=1$ верно.

Пары значений, при которых равенство неверно:

Для этого нужно выбрать $a$ и $b$ так, чтобы их произведение было положительным, но не равнялось 1.

1. Пусть $a=4, b=1$. Тогда $ab=4$. $ \sqrt{4} = 2 $. Равенство $2=4$ неверно.

2. Пусть $a=3, b=3$. Тогда $ab=9$. $ \sqrt{9} = 3 $. Равенство $3=9$ неверно.

Ответ: Верно, например, при $a=0, b=10$ и $a=2, b=1/2$. Неверно, например, при $a=4, b=1$ и $a=3, b=3$.