Номер 16.2, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.2, страница 81.

Условие.

16.2 a) $\sqrt{\frac{2}{25}};$

б) $\sqrt{\frac{121}{10}};$

в) $\sqrt{\frac{6}{49}};$

г) $\sqrt{\frac{225}{2}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Для вычисления значения выражения $\sqrt{\frac{2}{25}}$ воспользуемся свойством квадратного корня из дроби, которое гласит, что корень из дроби равен дроби из корней числителя и знаменателя: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (при $a \ge 0, b > 0$).

Применим это свойство к нашему выражению:

$\sqrt{\frac{2}{25}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{25}}$

Теперь вычислим значения корней в числителе и знаменателе. Корень из 2, $\sqrt{2}$, является иррациональным числом, поэтому мы оставляем его в таком виде. Корень из 25 равен 5, так как $5^2 = 25$.

Подставим вычисленное значение в знаменатель:

$\frac{\sqrt{2}}{5}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{5}$

б)

Чтобы упростить выражение $\sqrt{\frac{121}{10}}$, применим свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:

$\sqrt{\frac{121}{10}} = \frac{\sqrt{121}}{\sqrt{10}}$

Вычислим корень в числителе: $\sqrt{121} = 11$, так как $11^2 = 121$.

Теперь выражение имеет вид:

$\frac{11}{\sqrt{10}}$

В знаменателе получилось иррациональное число. По правилам хорошего тона в математике принято избавляться от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{10}$:

$\frac{11}{\sqrt{10}} = \frac{11 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{11\sqrt{10}}{10}$

Ответ: $\frac{11\sqrt{10}}{10}$

в)

Для упрощения выражения $\sqrt{\frac{6}{49}}$ снова используем свойство корня из дроби: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

$\sqrt{\frac{6}{49}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{49}}$

Вычислим значение корня в знаменателе: $\sqrt{49} = 7$, так как $7^2 = 49$.

Корень из 6, $\sqrt{6}$, не может быть упрощен, так как число 6 не имеет множителей, являющихся точными квадратами (кроме 1). Таким образом, выражение принимает окончательный вид:

$\frac{\sqrt{6}}{7}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{7}$

г)

Упростим выражение $\sqrt{\frac{225}{2}}$, применив свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:

$\sqrt{\frac{225}{2}} = \frac{\sqrt{225}}{\sqrt{2}}$

Вычислим корень в числителе: $\sqrt{225} = 15$, так как $15^2 = 225$.

Получаем выражение с иррациональным знаменателем:

$\frac{15}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\frac{15}{\sqrt{2}} = \frac{15 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{15\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{15\sqrt{2}}{2}$