Номер 16.5, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.5, страница 81.

Условие.

16.5 а) $\sqrt{275}$;

б) $\sqrt{363}$;

в) $\sqrt{675}$;

г) $\sqrt{108}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{275}$, необходимо разложить подкоренное число 275 на множители так, чтобы один из них был точным квадратом.

Разложим 275 на простые множители. Число 275 оканчивается на 5, следовательно, оно делится на 5:
$275 = 5 \times 55$.

Число 55, в свою очередь, также делится на 5:
$55 = 5 \times 11$.

Таким образом, разложение числа 275 на множители выглядит так:
$275 = 5 \times 5 \times 11 = 5^2 \times 11 = 25 \times 11$.

Теперь подставим это разложение в исходное выражение:
$\sqrt{275} = \sqrt{25 \times 11}$.

Используя свойство корня $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$, получаем:
$\sqrt{25 \times 11} = \sqrt{25} \times \sqrt{11} = 5\sqrt{11}$.

Ответ: $5\sqrt{11}$.

б) Рассмотрим выражение $\sqrt{363}$. Разложим число 363 на множители, чтобы найти среди них точный квадрат.

Сумма цифр числа 363 равна $3 + 6 + 3 = 12$. Так как 12 делится на 3, то и само число 363 делится на 3:
$363 = 3 \times 121$.

Число 121 является полным квадратом числа 11: $121 = 11^2$.

Следовательно, мы можем представить 363 как произведение $3 \times 11^2$.

Подставим это в корень:
$\sqrt{363} = \sqrt{3 \times 121}$.

Выносим множитель из-под знака корня:
$\sqrt{3 \times 121} = \sqrt{3} \times \sqrt{121} = \sqrt{3} \times 11 = 11\sqrt{3}$.

Ответ: $11\sqrt{3}$.

в) Упростим выражение $\sqrt{675}$. Для этого разложим число 675 на множители.

Число 675 оканчивается на 5, значит, оно делится на 25 (поскольку $75$ делится на 25):
$675 = 25 \times 27$.

Число 27 не является точным квадратом, но его можно разложить на множители, один из которых — точный квадрат: $27 = 9 \times 3$.

Таким образом, полное разложение числа 675 на удобные для извлечения корня множители:
$675 = 25 \times 9 \times 3$.

Подставим это в корень:
$\sqrt{675} = \sqrt{25 \times 9 \times 3}$.

Используя свойство корней, получаем:
$\sqrt{25 \times 9 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{9} \times \sqrt{3} = 5 \times 3 \times \sqrt{3} = 15\sqrt{3}$.

Ответ: $15\sqrt{3}$.

г) Вынесем множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{108}$. Для этого найдем наибольший делитель числа 108, который является полным квадратом.

Переберем делители-квадраты: 4, 9, 16, 25, 36, ...

108 делится на 4: $108 = 4 \times 27$.
108 делится на 9: $108 = 9 \times 12$.
108 делится на 36: $108 = 36 \times 3$.

Наибольший квадрат, на который делится 108, это 36. Используем это разложение.

Представим подкоренное выражение в виде произведения:
$\sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3}$.

Теперь вынесем множитель из-под знака корня:
$\sqrt{36 \times 3} = \sqrt{36} \times \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.

Ответ: $6\sqrt{3}$.