Номер 15.34, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 15. Свойства квадратных корней. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 15.34, страница 80.

Условие.

15.34 Представьте в виде произведения квадратных корней выражение $\sqrt{xy}$, если:

а) $x > 0, y > 0$;

б) $x < 0, y < 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

По условию дано, что $x > 0$ и $y > 0$.
Для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ справедливо свойство арифметического квадратного корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.
Поскольку $x$ и $y$ являются положительными числами, они удовлетворяют условиям $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Следовательно, мы можем напрямую применить это свойство к выражению $\sqrt{xy}$.
Таким образом, получаем:
$\sqrt{xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$.

Ответ: $\sqrt{x}\sqrt{y}$

б)

По условию дано, что $x < 0$ и $y < 0$.
Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом, поэтому подкоренное выражение $xy$ будет положительным ($xy > 0$), и корень $\sqrt{xy}$ определен в множестве действительных чисел.
Однако, в данном случае нельзя напрямую применять свойство $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$, так как выражения $\sqrt{x}$ и $\sqrt{y}$ не определены для отрицательных $x$ и $y$ в действительных числах.
Чтобы представить $\sqrt{xy}$ в виде произведения корней, необходимо преобразовать подкоренное выражение так, чтобы оно состояло из неотрицательных множителей.
Если $x < 0$, то число $-x$ будет положительным ($-x > 0$).
Если $y < 0$, то число $-y$ будет положительным ($-y > 0$).
Мы можем представить произведение $xy$ следующим образом: $xy = (-1) \cdot (-x) \cdot (-1) \cdot (-y) = (-x)(-y)$.
Подставим это преобразованное произведение в исходное выражение:
$\sqrt{xy} = \sqrt{(-x)(-y)}$.
Теперь подкоренное выражение представляет собой произведение двух положительных чисел ($-x$ и $-y$), и мы можем применить свойство корня из произведения:
$\sqrt{(-x)(-y)} = \sqrt{-x} \cdot \sqrt{-y}$.

Ответ: $\sqrt{-x}\sqrt{-y}$