Номер 15.27, страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 15. Свойства квадратных корней. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 15.27, страница 79.

Условие.

15.27 Докажите, что:

a) $20 \sqrt{\frac{a}{400}} = \sqrt{a}$;

б) $\sqrt{b} = \frac{1}{13} \cdot \sqrt{169b}$;

в) $\sqrt{c} = \frac{1}{15} \cdot \sqrt{225c}$;

г) $12 \cdot \sqrt{\frac{d}{144}} = \sqrt{d}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы доказать равенство $20\sqrt{\frac{a}{400}} = \sqrt{a}$, преобразуем его левую часть. Заметим, что выражение имеет смысл при $a \ge 0$.

Используем свойство корня из частного $\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$:

$20\sqrt{\frac{a}{400}} = 20 \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{400}}$

Так как $\sqrt{400} = 20$, подставим это значение в выражение:

$20 \cdot \frac{\sqrt{a}}{20} = \sqrt{a}$

В результате преобразования левая часть стала равна правой части, следовательно, равенство верно.

Ответ: $20\sqrt{\frac{a}{400}} = 20 \cdot \frac{\sqrt{a}}{20} = \sqrt{a}$, что и требовалось доказать.

б) Чтобы доказать равенство $\sqrt{b} = \frac{1}{13}\sqrt{169b}$, преобразуем его правую часть. Заметим, что выражение имеет смысл при $b \ge 0$.

Используем свойство корня из произведения $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$:

$\frac{1}{13}\sqrt{169b} = \frac{1}{13} \cdot \sqrt{169} \cdot \sqrt{b}$

Так как $\sqrt{169} = 13$, подставим это значение в выражение:

$\frac{1}{13} \cdot 13 \cdot \sqrt{b} = \sqrt{b}$

В результате преобразования правая часть стала равна левой части, следовательно, равенство верно.

Ответ: $\frac{1}{13}\sqrt{169b} = \frac{1}{13} \cdot 13 \cdot \sqrt{b} = \sqrt{b}$, что и требовалось доказать.

в) Чтобы доказать равенство $\sqrt{c} = \frac{1}{15}\sqrt{225c}$, преобразуем его правую часть. Заметим, что выражение имеет смысл при $c \ge 0$.

Используем свойство корня из произведения $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$:

$\frac{1}{15}\sqrt{225c} = \frac{1}{15} \cdot \sqrt{225} \cdot \sqrt{c}$

Так как $\sqrt{225} = 15$, подставим это значение в выражение:

$\frac{1}{15} \cdot 15 \cdot \sqrt{c} = \sqrt{c}$

В результате преобразования правая часть стала равна левой части, следовательно, равенство верно.

Ответ: $\frac{1}{15}\sqrt{225c} = \frac{1}{15} \cdot 15 \cdot \sqrt{c} = \sqrt{c}$, что и требовалось доказать.

г) Чтобы доказать равенство $12\sqrt{\frac{d}{144}} = \sqrt{d}$, преобразуем его левую часть. Заметим, что выражение имеет смысл при $d \ge 0$.

Используем свойство корня из частного $\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$:

$12\sqrt{\frac{d}{144}} = 12 \cdot \frac{\sqrt{d}}{\sqrt{144}}$

Так как $\sqrt{144} = 12$, подставим это значение в выражение:

$12 \cdot \frac{\sqrt{d}}{12} = \sqrt{d}$

В результате преобразования левая часть стала равна правой части, следовательно, равенство верно.

Ответ: $12\sqrt{\frac{d}{144}} = 12 \cdot \frac{\sqrt{d}}{12} = \sqrt{d}$, что и требовалось доказать.