Страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

15.22 а) $ \sqrt{0,05} \cdot \sqrt{45}; $

б) $ \sqrt{1,92} \cdot \sqrt{3}; $

в) $ \sqrt{2,7} \cdot \sqrt{1,2}; $

г) $ \sqrt{16,9} \cdot \sqrt{0,4}. $

а) Для вычисления значения выражения воспользуемся свойством произведения квадратных корней, согласно которому произведение корней равно корню из произведения: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ для неотрицательных $a$ и $b$.
$\sqrt{0,05} \cdot \sqrt{45} = \sqrt{0,05 \cdot 45}$
Выполним умножение подкоренных выражений:
$0,05 \cdot 45 = 2,25$
Теперь необходимо извлечь квадратный корень из полученного числа:
$\sqrt{2,25} = 1,5$
Проверка: $1,5^2 = 2,25$.
Ответ: 1,5

б) Применим то же свойство произведения квадратных корней:
$\sqrt{1,92} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{1,92 \cdot 3}$
Выполним умножение подкоренных выражений:
$1,92 \cdot 3 = 5,76$
Извлечем квадратный корень из результата:
$\sqrt{5,76} = 2,4$
Проверка: $2,4^2 = 5,76$.
Ответ: 2,4

в) Снова используем свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$:
$\sqrt{2,7} \cdot \sqrt{1,2} = \sqrt{2,7 \cdot 1,2}$
Вычислим произведение чисел под корнем:
$2,7 \cdot 1,2 = 3,24$
Теперь извлечем квадратный корень:
$\sqrt{3,24} = 1,8$
Проверка: $1,8^2 = 3,24$.
Ответ: 1,8

г) Используем свойство произведения корней для решения этого примера:
$\sqrt{16,9} \cdot \sqrt{0,4} = \sqrt{16,9 \cdot 0,4}$
Выполним умножение подкоренных выражений:
$16,9 \cdot 0,4 = 6,76$
Извлечем квадратный корень из полученного произведения:
$\sqrt{6,76} = 2,6$
Проверка: $2,6^2 = 6,76$.
Ответ: 2,6

15.23 a) $\frac{\sqrt{1000}}{\sqrt{160}};

б) $\frac{\sqrt{108}}{\sqrt{12}};

в) $\frac{\sqrt{117}}{\sqrt{52}};

г) $\frac{\sqrt{999}}{\sqrt{111}}.$

а) Чтобы найти значение выражения $\frac{\sqrt{1000}}{\sqrt{160}}$, воспользуемся свойством частного квадратных корней, которое гласит, что частное корней равно корню из частного: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ для $a \ge 0$ и $b > 0$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\frac{\sqrt{1000}}{\sqrt{160}} = \sqrt{\frac{1000}{160}}$

Теперь сократим дробь под знаком корня, разделив числитель и знаменатель на 10, а затем еще раз:

$\frac{1000}{160} = \frac{100}{16}$

Подставим упрощенную дробь обратно под корень и вычислим его значение, используя свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:

$\sqrt{\frac{100}{16}} = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{16}} = \frac{10}{4} = 2.5$

Ответ: 2.5

б) Для вычисления выражения $\frac{\sqrt{108}}{\sqrt{12}}$ применим то же свойство частного корней: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.

$\frac{\sqrt{108}}{\sqrt{12}} = \sqrt{\frac{108}{12}}$

Выполним деление под знаком корня:

$108 \div 12 = 9$

Теперь извлечем корень:

$\sqrt{9} = 3$

Ответ: 3

в) Найдем значение выражения $\frac{\sqrt{117}}{\sqrt{52}}$, используя свойство $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.

$\frac{\sqrt{117}}{\sqrt{52}} = \sqrt{\frac{117}{52}}$

Чтобы упростить дробь под корнем, разложим числитель и знаменатель на множители. Заметим, что оба числа делятся на 13:

$117 = 9 \cdot 13$

$52 = 4 \cdot 13$

Теперь сократим дробь:

$\frac{117}{52} = \frac{9 \cdot 13}{4 \cdot 13} = \frac{9}{4}$

Подставим результат под корень и вычислим:

$\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: 1.5

г) Для вычисления выражения $\frac{\sqrt{999}}{\sqrt{111}}$ снова воспользуемся свойством частного корней: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.

$\frac{\sqrt{999}}{\sqrt{111}} = \sqrt{\frac{999}{111}}$

Выполним деление чисел под знаком корня:

$\frac{999}{111} = 9$

Извлечем квадратный корень из результата:

$\sqrt{9} = 3$

Ответ: 3

15.24 a) $ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{50}} $;

б) $ \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{192}} $;

в) $ \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{242}} $;

г) $ \frac{\sqrt{147}}{\sqrt{27}} $.

а)

Для упрощения выражения $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{50}}$ можно воспользоваться свойством частного квадратных корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ при $a \ge 0$ и $b > 0$.

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{50}} = \sqrt{\frac{2}{50}}$

Сократим дробь под знаком корня:

$\sqrt{\frac{2}{50}} = \sqrt{\frac{1}{25}}$

Теперь извлечем квадратный корень:

$\sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}} = \frac{1}{5}$

Другой способ – упростить корень в знаменателе, вынеся множитель из-под знака корня:

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{\sqrt{2}}{5\sqrt{2}}$

Сократим $\sqrt{2}$ в числителе и знаменателе, и получим $\frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$

б)

Для упрощения выражения $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{192}}$ применим свойство $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$:

$\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{192}} = \sqrt{\frac{75}{192}}$

Сократим дробь под корнем. Числитель и знаменатель делятся на 3:

$75 = 3 \cdot 25$

$192 = 3 \cdot 64$

$\frac{75}{192} = \frac{3 \cdot 25}{3 \cdot 64} = \frac{25}{64}$

Извлечем корень из полученной дроби:

$\sqrt{\frac{25}{64}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{64}} = \frac{5}{8}$

Другой способ – вынести множители из-под знака корня в числителе и знаменателе:

$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$

$\sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$

Подставим упрощенные выражения в дробь:

$\frac{5\sqrt{3}}{8\sqrt{3}}$

Сократим общий множитель $\sqrt{3}$ и получим $\frac{5}{8}$.

Ответ: $\frac{5}{8}$

в)

Упростим выражение $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{242}}$, используя свойство $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$:

$\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{242}} = \sqrt{\frac{72}{242}}$

Сократим дробь под корнем. Числитель и знаменатель делятся на 2:

$\frac{72}{242} = \frac{36}{121}$

Теперь извлечем квадратный корень:

$\sqrt{\frac{36}{121}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{121}} = \frac{6}{11}$

Другой способ – вынести множители из-под знака корня:

$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$

$\sqrt{242} = \sqrt{121 \cdot 2} = 11\sqrt{2}$

Подставим в исходное выражение:

$\frac{6\sqrt{2}}{11\sqrt{2}}$

Сократим общий множитель $\sqrt{2}$ и получим $\frac{6}{11}$.

Ответ: $\frac{6}{11}$

г)

Упростим выражение $\frac{\sqrt{147}}{\sqrt{27}}$, используя свойство $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$:

$\frac{\sqrt{147}}{\sqrt{27}} = \sqrt{\frac{147}{27}}$

Сократим дробь под корнем. Числитель и знаменатель делятся на 3:

$\frac{147}{27} = \frac{49}{9}$

Извлечем квадратный корень:

$\sqrt{\frac{49}{9}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{9}} = \frac{7}{3}$

Другой способ – вынести множители из-под знака корня:

$\sqrt{147} = \sqrt{49 \cdot 3} = 7\sqrt{3}$

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$

Подставим в исходное выражение:

$\frac{7\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}$

Сократим общий множитель $\sqrt{3}$ и получим $\frac{7}{3}$.

Ответ: $\frac{7}{3}$

15.25 Вычислите:

а) $(\frac{1}{2})^2 + (\frac{2}{\sqrt{3}})^{-4} \cdot (3)^{-2}$;

б) $(\frac{\sqrt{2}}{3})^{-2} - (\frac{3}{\sqrt{2}})^{-4} : (3)^{-3}$;

в) $(\sqrt{6})^{-4} + (\frac{6}{\sqrt{2}})^{-2} \cdot (\frac{1}{2})^{-3}$;

г) $(\frac{3}{4})^{-1} \cdot (\sqrt{6})^2 - (\frac{1}{\sqrt{5}})^{-2}$.

а) $(\frac{1}{2})^2 + (\frac{2}{\sqrt{3}})^{-4} \cdot (3)^{-2}$

Для решения этого выражения будем придерживаться порядка действий: сначала возведение в степень, затем умножение, и в конце сложение. Будем использовать свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

1. Вычислим первый член: $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}$.

2. Теперь рассмотрим вторую часть выражения: $(\frac{2}{\sqrt{3}})^{-4} \cdot (3)^{-2}$.

Вычислим первый множитель: $(\frac{2}{\sqrt{3}})^{-4} = (\frac{\sqrt{3}}{2})^4 = \frac{(\sqrt{3})^4}{2^4} = \frac{((\sqrt{3})^2)^2}{16} = \frac{3^2}{16} = \frac{9}{16}$.

Вычислим второй множитель: $(3)^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.

3. Выполним умножение: $\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{9} = \frac{9 \cdot 1}{16 \cdot 9} = \frac{1}{16}$.

4. Выполним сложение: $\frac{1}{4} + \frac{1}{16}$. Приведем дроби к общему знаменателю 16: $\frac{1}{4} = \frac{4}{16}$.

$\frac{4}{16} + \frac{1}{16} = \frac{4+1}{16} = \frac{5}{16}$.

Ответ: $\frac{5}{16}$.

б) $(\frac{\sqrt{2}}{3})^{-2} - (\frac{3}{\sqrt{2}})^{-4} : (3)^{-3}$

Порядок действий: сначала возведение в степень, затем деление, и в конце вычитание.

1. Вычислим уменьшаемое: $(\frac{\sqrt{2}}{3})^{-2} = (\frac{3}{\sqrt{2}})^2 = \frac{3^2}{(\sqrt{2})^2} = \frac{9}{2}$.

2. Теперь рассмотрим вычитаемую часть: $(\frac{3}{\sqrt{2}})^{-4} : (3)^{-3}$.

Вычислим делимое: $(\frac{3}{\sqrt{2}})^{-4} = (\frac{\sqrt{2}}{3})^4 = \frac{(\sqrt{2})^4}{3^4} = \frac{4}{81}$.

Вычислим делитель: $(3)^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$.

3. Выполним деление: $\frac{4}{81} : \frac{1}{27} = \frac{4}{81} \cdot \frac{27}{1} = \frac{4 \cdot 27}{81}$. Сократим дробь на 27: $\frac{4}{3}$.

4. Выполним вычитание: $\frac{9}{2} - \frac{4}{3}$. Общий знаменатель 6.

$\frac{9 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{27}{6} - \frac{8}{6} = \frac{27-8}{6} = \frac{19}{6}$.

Ответ: $\frac{19}{6}$.

в) $(\sqrt{6})^{-4} + (\frac{6}{\sqrt{2}})^{-2} \cdot (\frac{1}{2})^{-3}$

Порядок действий: возведение в степень, умножение, сложение.

1. Вычислим первое слагаемое: $(\sqrt{6})^{-4} = \frac{1}{(\sqrt{6})^4} = \frac{1}{((\sqrt{6})^2)^2} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36}$.

2. Рассмотрим вторую часть выражения: $(\frac{6}{\sqrt{2}})^{-2} \cdot (\frac{1}{2})^{-3}$.

Вычислим первый множитель: $(\frac{6}{\sqrt{2}})^{-2} = (\frac{\sqrt{2}}{6})^2 = \frac{(\sqrt{2})^2}{6^2} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.

Вычислим второй множитель: $(\frac{1}{2})^{-3} = (2)^3 = 8$.

3. Выполним умножение: $\frac{1}{18} \cdot 8 = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$.

4. Выполним сложение: $\frac{1}{36} + \frac{4}{9}$. Общий знаменатель 36.

$\frac{1}{36} + \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{1}{36} + \frac{16}{36} = \frac{1+16}{36} = \frac{17}{36}$.

Ответ: $\frac{17}{36}$.

г) $(\frac{3}{4})^{-1} \cdot (\sqrt{6})^2 - (\frac{1}{\sqrt{5}})^{-2}$

Порядок действий: возведение в степень, умножение, вычитание.

1. Рассмотрим первую часть выражения: $(\frac{3}{4})^{-1} \cdot (\sqrt{6})^2$.

Вычислим первый множитель: $(\frac{3}{4})^{-1} = \frac{4}{3}$.

Вычислим второй множитель: $(\sqrt{6})^2 = 6$.

Выполним умножение: $\frac{4}{3} \cdot 6 = \frac{4 \cdot 6}{3} = 4 \cdot 2 = 8$.

2. Вычислим вычитаемое: $(\frac{1}{\sqrt{5}})^{-2} = (\frac{\sqrt{5}}{1})^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.

3. Выполним вычитание: $8 - 5 = 3$.

Ответ: $3$.

15.26 Найдите значение выражения наиболее рациональным способом:

a) $\sqrt{13^2 - 12^2};$

б) $\sqrt{25^2 - 24^2};$

в) $\sqrt{41^2 - 40^2};$

г) $\sqrt{85^2 - 84^2}.$

а) Чтобы найти значение выражения наиболее рациональным способом, воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Применим эту формулу к подкоренному выражению, где $a = 13$ и $b = 12$:
$\sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{(13 - 12)(13 + 12)} = \sqrt{1 \cdot 25} = \sqrt{25} = 5$.
Ответ: 5

б) Аналогично предыдущему пункту, используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ для выражения под корнем, где $a = 25$ и $b = 24$:
$\sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{(25 - 24)(25 + 24)} = \sqrt{1 \cdot 49} = \sqrt{49} = 7$.
Ответ: 7

в) Применяем тот же рациональный способ с использованием формулы разности квадратов. В данном случае $a = 41$ и $b = 40$:
$\sqrt{41^2 - 40^2} = \sqrt{(41 - 40)(41 + 40)} = \sqrt{1 \cdot 81} = \sqrt{81} = 9$.
Ответ: 9

г) Снова используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 85$ и $b = 84$:
$\sqrt{85^2 - 84^2} = \sqrt{(85 - 84)(85 + 84)} = \sqrt{1 \cdot 169} = \sqrt{169} = 13$.
Ответ: 13

15.27 Докажите, что:

a) $20 \sqrt{\frac{a}{400}} = \sqrt{a}$;

б) $\sqrt{b} = \frac{1}{13} \cdot \sqrt{169b}$;

в) $\sqrt{c} = \frac{1}{15} \cdot \sqrt{225c}$;

г) $12 \cdot \sqrt{\frac{d}{144}} = \sqrt{d}$.

а) Чтобы доказать равенство $20\sqrt{\frac{a}{400}} = \sqrt{a}$, преобразуем его левую часть. Заметим, что выражение имеет смысл при $a \ge 0$.

Используем свойство корня из частного $\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$:

$20\sqrt{\frac{a}{400}} = 20 \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{400}}$

Так как $\sqrt{400} = 20$, подставим это значение в выражение:

$20 \cdot \frac{\sqrt{a}}{20} = \sqrt{a}$

В результате преобразования левая часть стала равна правой части, следовательно, равенство верно.

Ответ: $20\sqrt{\frac{a}{400}} = 20 \cdot \frac{\sqrt{a}}{20} = \sqrt{a}$, что и требовалось доказать.

б) Чтобы доказать равенство $\sqrt{b} = \frac{1}{13}\sqrt{169b}$, преобразуем его правую часть. Заметим, что выражение имеет смысл при $b \ge 0$.

Используем свойство корня из произведения $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$:

$\frac{1}{13}\sqrt{169b} = \frac{1}{13} \cdot \sqrt{169} \cdot \sqrt{b}$

Так как $\sqrt{169} = 13$, подставим это значение в выражение:

$\frac{1}{13} \cdot 13 \cdot \sqrt{b} = \sqrt{b}$

В результате преобразования правая часть стала равна левой части, следовательно, равенство верно.

Ответ: $\frac{1}{13}\sqrt{169b} = \frac{1}{13} \cdot 13 \cdot \sqrt{b} = \sqrt{b}$, что и требовалось доказать.

в) Чтобы доказать равенство $\sqrt{c} = \frac{1}{15}\sqrt{225c}$, преобразуем его правую часть. Заметим, что выражение имеет смысл при $c \ge 0$.

Используем свойство корня из произведения $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$:

$\frac{1}{15}\sqrt{225c} = \frac{1}{15} \cdot \sqrt{225} \cdot \sqrt{c}$

Так как $\sqrt{225} = 15$, подставим это значение в выражение:

$\frac{1}{15} \cdot 15 \cdot \sqrt{c} = \sqrt{c}$

В результате преобразования правая часть стала равна левой части, следовательно, равенство верно.

Ответ: $\frac{1}{15}\sqrt{225c} = \frac{1}{15} \cdot 15 \cdot \sqrt{c} = \sqrt{c}$, что и требовалось доказать.

г) Чтобы доказать равенство $12\sqrt{\frac{d}{144}} = \sqrt{d}$, преобразуем его левую часть. Заметим, что выражение имеет смысл при $d \ge 0$.

Используем свойство корня из частного $\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$:

$12\sqrt{\frac{d}{144}} = 12 \cdot \frac{\sqrt{d}}{\sqrt{144}}$

Так как $\sqrt{144} = 12$, подставим это значение в выражение:

$12 \cdot \frac{\sqrt{d}}{12} = \sqrt{d}$

В результате преобразования левая часть стала равна правой части, следовательно, равенство верно.

Ответ: $12\sqrt{\frac{d}{144}} = 12 \cdot \frac{\sqrt{d}}{12} = \sqrt{d}$, что и требовалось доказать.

Найдите значение выражения:

15.28 a) $\sqrt{8^2 + 15^2}$;

б) $\sqrt{145^2 - 144^2}$;

в) $\sqrt{5^2 + 12^2}$;

г) $\sqrt{313^2 - 312^2}$.

а) $\sqrt{8^2 + 15^2}$

Чтобы найти значение выражения, сначала выполним действия под корнем. Возведем числа 8 и 15 в квадрат:

$8^2 = 64$

$15^2 = 225$

Теперь сложим полученные результаты:

$64 + 225 = 289$

Наконец, извлечем квадратный корень из 289:

$\sqrt{289} = 17$

Таким образом, $\sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$.

Ответ: 17

б) $\sqrt{145^2 - 144^2}$

Для решения этого примера удобно использовать формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Применим эту формулу для подкоренного выражения, где $a = 145$ и $b = 144$:

$145^2 - 144^2 = (145 - 144)(145 + 144)$

Вычислим значения в скобках:

$145 - 144 = 1$

$145 + 144 = 289$

Теперь подставим эти значения обратно в исходное выражение:

$\sqrt{(145 - 144)(145 + 144)} = \sqrt{1 \cdot 289} = \sqrt{289} = 17$

Ответ: 17

в) $\sqrt{5^2 + 12^2}$

Как и в пункте а), сначала выполним действия под корнем. Возведем в квадрат числа 5 и 12:

$5^2 = 25$

$12^2 = 144$

Сложим полученные значения:

$25 + 144 = 169$

Теперь извлечем квадратный корень из 169:

$\sqrt{169} = 13$

Следовательно, $\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

Ответ: 13

г) $\sqrt{313^2 - 312^2}$

Здесь также применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 313$ и $b = 312$.

$313^2 - 312^2 = (313 - 312)(313 + 312)$

Вычислим значения в каждой скобке:

$313 - 312 = 1$

$313 + 312 = 625$

Подставим результаты в выражение под корнем:

$\sqrt{(313 - 312)(313 + 312)} = \sqrt{1 \cdot 625} = \sqrt{625} = 25$

Ответ: 25

15.29 a) $\sqrt{72,5^2 - 71,5^2}$;

б) $\sqrt{6,8^2 - 3,2^2}$;

в) $\sqrt{98,5^2 - 97,5^2}$;

г) $\sqrt{21,8^2 - 18,2^2}$.

а) Для решения данного примера воспользуемся формулой сокращенного умножения, а именно разностью квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Применим эту формулу к выражению под корнем:
$\sqrt{72,5^2 - 71,5^2} = \sqrt{(72,5 - 71,5)(72,5 + 71,5)}$
Теперь выполним вычисления в скобках:
$72,5 - 71,5 = 1$
$72,5 + 71,5 = 144$
Подставим полученные значения обратно в выражение:
$\sqrt{1 \cdot 144} = \sqrt{144} = 12$
Ответ: 12

б) Аналогично предыдущему пункту, используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
$\sqrt{6,8^2 - 3,2^2} = \sqrt{(6,8 - 3,2)(6,8 + 3,2)}$
Вычислим значения в скобках:
$6,8 - 3,2 = 3,6$
$6,8 + 3,2 = 10$
Подставим результаты в выражение и вычислим корень:
$\sqrt{3,6 \cdot 10} = \sqrt{36} = 6$
Ответ: 6

в) Применим ту же формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
$\sqrt{98,5^2 - 97,5^2} = \sqrt{(98,5 - 97,5)(98,5 + 97,5)}$
Вычислим значения в скобках:
$98,5 - 97,5 = 1$
$98,5 + 97,5 = 196$
Подставим полученные значения в выражение:
$\sqrt{1 \cdot 196} = \sqrt{196} = 14$
Ответ: 14

г) Снова воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
$\sqrt{21,8^2 - 18,2^2} = \sqrt{(21,8 - 18,2)(21,8 + 18,2)}$
Вычислим значения в скобках:
$21,8 - 18,2 = 3,6$
$21,8 + 18,2 = 40$
Подставим результаты в выражение и вычислим корень:
$\sqrt{3,6 \cdot 40} = \sqrt{144} = 12$
Ответ: 12

15.30 а) $\sqrt{\frac{165^2 - 124^2}{164}}$;

б) $\sqrt{\frac{149^2 - 76^2}{457^2 - 384^2}}$;

в) $\sqrt{\frac{98}{176^2 - 112^2}}$;

г) $\sqrt{\frac{145,5^2 - 96,5^2}{193,5^2 - 31,5^2}}$.

a) Чтобы решить данное выражение $ \sqrt{\frac{165^2 - 124^2}{164}} $, воспользуемся формулой разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $ для числителя.
$ 165^2 - 124^2 = (165 - 124)(165 + 124) = 41 \cdot 289 $.
Подставим это значение в исходное выражение: $ \sqrt{\frac{41 \cdot 289}{164}} $.
Заметим, что знаменатель $ 164 $ делится на $ 41 $: $ 164 = 4 \cdot 41 $.
Сократим дробь: $ \sqrt{\frac{41 \cdot 289}{4 \cdot 41}} = \sqrt{\frac{289}{4}} $.
Теперь извлечем квадратный корень: $ \frac{\sqrt{289}}{\sqrt{4}} = \frac{17}{2} = 8,5 $.
Ответ: $ 8,5 $.

б) В выражении $ \sqrt{\frac{149^2 - 76^2}{457^2 - 384^2}} $ применим формулу разности квадратов как для числителя, так и для знаменателя.
Числитель: $ 149^2 - 76^2 = (149 - 76)(149 + 76) = 73 \cdot 225 $.
Знаменатель: $ 457^2 - 384^2 = (457 - 384)(457 + 384) = 73 \cdot 841 $.
Подставим полученные значения в дробь под корнем: $ \sqrt{\frac{73 \cdot 225}{73 \cdot 841}} $.
Сократим общий множитель $ 73 $: $ \sqrt{\frac{225}{841}} $.
Извлечем квадратный корень из числителя и знаменателя: $ \frac{\sqrt{225}}{\sqrt{841}} = \frac{15}{29} $ (поскольку $ 29^2 = 841 $).
Ответ: $ \frac{15}{29} $.

в) Рассмотрим выражение $ \sqrt{\frac{98}{176^2 - 112^2}} $. Применим формулу разности квадратов для знаменателя.
$ 176^2 - 112^2 = (176 - 112)(176 + 112) = 64 \cdot 288 $.
Подставим это в исходное выражение: $ \sqrt{\frac{98}{64 \cdot 288}} $.
Упростим дробь под корнем. Разложим $ 98 $ на множители $ 2 \cdot 49 $, а $ 288 $ на $ 2 \cdot 144 $: $ \sqrt{\frac{2 \cdot 49}{64 \cdot (2 \cdot 144)}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 49}{64 \cdot 2 \cdot 144}} $.
Сократим общий множитель $ 2 $: $ \sqrt{\frac{49}{64 \cdot 144}} $.
Извлечем квадратный корень: $ \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{64} \cdot \sqrt{144}} = \frac{7}{8 \cdot 12} = \frac{7}{96} $.
Ответ: $ \frac{7}{96} $.

г) В выражении $ \sqrt{\frac{145,5^2 - 96,5^2}{193,5^2 - 31,5^2}} $ снова воспользуемся формулой разности квадратов для числителя и знаменателя.
Числитель: $ 145,5^2 - 96,5^2 = (145,5 - 96,5)(145,5 + 96,5) = 49 \cdot 242 $.
Знаменатель: $ 193,5^2 - 31,5^2 = (193,5 - 31,5)(193,5 + 31,5) = 162 \cdot 225 $.
Подставим в выражение: $ \sqrt{\frac{49 \cdot 242}{162 \cdot 225}} $.
Упростим дробь. Разложим $ 242 = 2 \cdot 121 $ и $ 162 = 2 \cdot 81 $: $ \sqrt{\frac{49 \cdot (2 \cdot 121)}{(2 \cdot 81) \cdot 225}} = \sqrt{\frac{49 \cdot 2 \cdot 121}{2 \cdot 81 \cdot 225}} $.
Сократим $ 2 $: $ \sqrt{\frac{49 \cdot 121}{81 \cdot 225}} $.
Извлечем корень: $ \frac{\sqrt{49} \cdot \sqrt{121}}{\sqrt{81} \cdot \sqrt{225}} = \frac{7 \cdot 11}{9 \cdot 15} = \frac{77}{135} $.
Ответ: $ \frac{77}{135} $.