Страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

13.22 На числовой прямой отмечены точки K, L и M (рис. 3).

Рис. 3

Укажите координаты каждой из отмеченных точек, если известно, что ими являются числа:

а) $-\sqrt{3}, -2, -\frac{\pi}{2}$;

б) $\sqrt{3}, \frac{1}{\sqrt{3}}, 1$;

в) $\sqrt{5}, 2,5, \frac{\sqrt{21}}{2}$;

г) $\sqrt{20}, 4,5, \frac{3\pi}{2}$.

а)

Для того чтобы сопоставить числа $ - \sqrt{3} $, $ -2 $ и $ - \frac{\pi}{2} $ с точками K, L и M на числовой прямой, необходимо сравнить их значения.

1. Оценим приблизительные значения чисел:

• $ -2 $ — целое число.
• Известно, что $ \sqrt{3} \approx 1,732 $, значит $ - \sqrt{3} \approx -1,732 $.
• Используя приближенное значение $ \pi \approx 3,14 $, получаем $ - \frac{\pi}{2} \approx - \frac{3,14}{2} = -1,57 $.

2. Расположим полученные значения в порядке возрастания:$ -2 < -1,732 < -1,57 $.

Следовательно, исходные числа в порядке возрастания располагаются так: $ -2 < - \sqrt{3} < - \frac{\pi}{2} $.

3. Точки на числовой прямой K, L, M расположены слева направо, то есть их координаты возрастают.Таким образом, координата точки K — наименьшее число, L — среднее, M — наибольшее.

Соответствие:

• K: $ -2 $
• L: $ - \sqrt{3} $
• M: $ - \frac{\pi}{2} $

Ответ: $ K(-2) $; $ L(-\sqrt{3}) $; $ M(-\frac{\pi}{2}) $.

б)

Сравним числа $ \sqrt{3} $, $ \frac{1}{\sqrt{3}} $ и $ 1 $.

1. Оценим их значения:

• $ \sqrt{3} \approx 1,732 $.
• $ \frac{1}{\sqrt{3}} $. Так как $ \sqrt{3} > 1 $, то $ 0 < \frac{1}{\sqrt{3}} < 1 $. Более точно, $ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx \frac{1,732}{3} \approx 0,577 $.
• $ 1 $ — целое число.

2. Расположим числа в порядке возрастания:$ \frac{1}{\sqrt{3}} < 1 < \sqrt{3} $.

3. Сопоставим числа с точками K, L, M.

Соответствие:

• K: $ \frac{1}{\sqrt{3}} $
• L: $ 1 $
• M: $ \sqrt{3} $

Ответ: $ K(\frac{1}{\sqrt{3}}) $; $ L(1) $; $ M(\sqrt{3}) $.

в)

Сравним числа $ \sqrt{5} $, $ 2,5 $ и $ \frac{\sqrt{21}}{2} $.

1. Все числа положительные, поэтому для сравнения их можно возвести в квадрат. Это позволит избавиться от корней.

• $ (\sqrt{5})^2 = 5 $
• $ (2,5)^2 = 6,25 $
• $ (\frac{\sqrt{21}}{2})^2 = \frac{21}{4} = 5,25 $

2. Сравним полученные квадраты:$ 5 < 5,25 < 6,25 $.

Поскольку исходные числа были положительными, порядок для них сохраняется:$ \sqrt{5} < \frac{\sqrt{21}}{2} < 2,5 $.

3. Сопоставим числа с точками K, L, M.

Соответствие:

• K: $ \sqrt{5} $
• L: $ \frac{\sqrt{21}}{2} $
• M: $ 2,5 $

Ответ: $ K(\sqrt{5}) $; $ L(\frac{\sqrt{21}}{2}) $; $ M(2,5) $.

г)

Сравним числа $ \sqrt{20} $, $ 4,5 $ и $ \frac{3\pi}{2} $.

1. Сравним $ \sqrt{20} $ и $ 4,5 $. Возведем оба положительных числа в квадрат:$ (\sqrt{20})^2 = 20 $.$ (4,5)^2 = 20,25 $.Так как $ 20 < 20,25 $, то $ \sqrt{20} < 4,5 $.

2. Сравним $ 4,5 $ и $ \frac{3\pi}{2} $.Используем приближенное значение $ \pi \approx 3,14 $:$ \frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \times 3,14}{2} = \frac{9,42}{2} = 4,71 $.Так как $ 4,5 < 4,71 $, то $ 4,5 < \frac{3\pi}{2} $.

3. Объединив результаты, получаем порядок чисел:$ \sqrt{20} < 4,5 < \frac{3\pi}{2} $.

4. Сопоставим числа с точками K, L, M.

Соответствие:

• K: $ \sqrt{20} $
• L: $ 4,5 $
• M: $ \frac{3\pi}{2} $

Ответ: $ K(\sqrt{20}) $; $ L(4,5) $; $ M(\frac{3\pi}{2}) $.

14.1 Постройте график функции $y = \sqrt{x}$.

С помощью графика найдите:

а) значения $y$ при $x = 4; 7; 16;

б) значения $x$, если $y = 0; 1; 3;

в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке $[0; 4];

г) при каких значениях $x$ график функции расположен выше прямой $y = 1$, ниже прямой $y = 1$.

Для построения графика функции $y = \sqrt{x}$ сначала определим её свойства. Область определения функции — все неотрицательные числа, то есть $x \ge 0$. Область значений функции — также все неотрицательные числа, $y \ge 0$. График начинается в точке $(0; 0)$.

Составим таблицу значений для нескольких ключевых точек, чтобы построить график. Удобно выбирать такие значения $x$, которые являются полными квадратами:

• Если $x=0$, то $y=\sqrt{0}=0$. Точка $(0; 0)$.
• Если $x=1$, то $y=\sqrt{1}=1$. Точка $(1; 1)$.
• Если $x=4$, то $y=\sqrt{4}=2$. Точка $(4; 2)$.
• Если $x=9$, то $y=\sqrt{9}=3$. Точка $(9; 3)$.
• Если $x=16$, то $y=\sqrt{16}=4$. Точка $(16; 4)$.

Соединив эти точки плавной линией, мы получим график функции $y = \sqrt{x}$, который представляет собой ветвь параболы, лежащую в первой координатной четверти.

Теперь, используя построенный график, ответим на вопросы.

а) значения у при x = 4; 7; 16;
Чтобы найти значение $y$ по известному $x$, нужно найти на оси абсцисс (горизонтальной) заданное значение $x$, подняться от него вертикально до пересечения с графиком, а затем провести горизонтальную линию до пересечения с осью ординат (вертикальной).

• При $x=4$, из точки $x=4$ на оси абсцисс поднимаемся к графику и видим, что соответствующее значение на оси ординат равно 2. Итак, $y=2$.
• При $x=7$, находим на оси абсцисс точку 7. Она находится между 4 и 9. Соответствующее значение $y$ будет находиться между $\sqrt{4}=2$ и $\sqrt{9}=3$. По графику можно определить примерное значение $y \approx 2.65$. Точное значение равно $y=\sqrt{7}$.
• При $x=16$, находим по графику, что соответствующее значение $y$ равно 4.

Ответ: при $x=4, y=2$; при $x=7, y=\sqrt{7}$; при $x=16, y=4$.

б) значения x, если y = 0; 1; 3;
Чтобы найти значение $x$ по известному $y$, нужно найти на оси ординат заданное значение $y$, провести горизонтальную линию до пересечения с графиком, а затем опуститься вертикально до пересечения с осью абсцисс.

• Если $y=0$, точка на графике — это начало координат $(0;0)$, следовательно, $x=0$.
• Если $y=1$, проводим прямую $y=1$ до пересечения с графиком. Точка пересечения — $(1;1)$, значит $x=1$.
• Если $y=3$, проводим прямую $y=3$ до пересечения с графиком. Точка пересечения — $(9;3)$, значит $x=9$.

Ответ: при $y=0, x=0$; при $y=1, x=1$; при $y=3, x=9$.

в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [0; 4];
Функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей на всей своей области определения. Это значит, что чем больше значение $x$, тем больше значение $y$. Следовательно, на отрезке $[0; 4]$ наименьшее значение функция примет в его начале (при $x=0$), а наибольшее — в его конце (при $x=4$).

• Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = \sqrt{0} = 0$.
• Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(4) = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[0; 4]$ равно 0, наибольшее значение равно 2.

г) при каких значениях x график функции расположен выше прямой y = 1, ниже прямой y = 1.
Проведем на графике горизонтальную прямую $y=1$. Она пересекает график функции $y=\sqrt{x}$ в точке $(1;1)$.

• График функции $y=\sqrt{x}$ расположен выше прямой $y=1$ там, где значения $y$ больше 1. Это происходит для всех точек графика, которые лежат правее точки пересечения, то есть при $x > 1$.
• График функции $y=\sqrt{x}$ расположен ниже прямой $y=1$ там, где значения $y$ меньше 1. Это происходит для всех точек графика, которые лежат левее точки пересечения. Учитывая область определения функции ($x \ge 0$), получаем интервал $0 \le x < 1$.

Ответ: график функции расположен выше прямой $y=1$ при $x \in (1; +\infty)$; ниже прямой $y=1$ при $x \in [0; 1)$.

14.2 Используя график функции $y = \sqrt{x}$, найдите:

а) значения $y$ при $x = 0; 1; 2\frac{1}{4}$;

б) значения $x$, если $y = 2; 2,5; 4$;

в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке $[1; 9];

г) при каких значениях $x$ график функции расположен выше прямой $y = 2$, ниже прямой $y = 2$.

а) Чтобы найти значения функции $y = \sqrt{x}$ при заданных значениях $x$, необходимо подставить эти значения в уравнение функции.
При $x = 0$, $y = \sqrt{0} = 0$.
При $x = 1$, $y = \sqrt{1} = 1$.
При $x = 2\frac{1}{4}$, преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$. Тогда $y = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2} = 1,5$.
Ответ: при $x=0$, $y=0$; при $x=1$, $y=1$; при $x=2\frac{1}{4}$, $y=1,5$.

б) Чтобы найти значения $x$, для которых функция принимает заданные значения $y$, нужно решить уравнение $y = \sqrt{x}$ относительно $x$. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат, получив $x = y^2$.
Если $y = 2$, то $x = 2^2 = 4$.
Если $y = 2,5$, то $x = (2,5)^2 = 6,25$.
Если $y = 4$, то $x = 4^2 = 16$.
Ответ: если $y=2$, то $x=4$; если $y=2,5$, то $x=6,25$; если $y=4$, то $x=16$.

в) Функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей на всей своей области определения ($x \ge 0$). Это означает, что для любых двух значений $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то $\sqrt{x_1} < \sqrt{x_2}$.
Следовательно, на отрезке $[1; 9]$ наименьшее значение функция принимает при наименьшем значении $x$, то есть при $x=1$, а наибольшее значение — при наибольшем значении $x$, то есть при $x=9$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = \sqrt{1} = 1$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = \sqrt{9} = 3$.
Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[1; 9]$ равно 1, а наибольшее — 3.

г) Для нахождения значений $x$, при которых график функции расположен выше или ниже прямой $y=2$, необходимо решить соответствующие неравенства.
1. График функции $y = \sqrt{x}$ расположен выше прямой $y = 2$. Это соответствует неравенству $y > 2$, или $\sqrt{x} > 2$. Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства: $(\sqrt{x})^2 > 2^2$ $x > 4$.
2. График функции $y = \sqrt{x}$ расположен ниже прямой $y = 2$. Это соответствует неравенству $y < 2$, или $\sqrt{x} < 2$. Область определения функции $y=\sqrt{x}$ — это $x \ge 0$. Возводим обе части неравенства $\sqrt{x} < 2$ в квадрат: $(\sqrt{x})^2 < 2^2$ $x < 4$. Учитывая область определения, получаем двойное неравенство: $0 \le x < 4$.
Ответ: график функции расположен выше прямой $y=2$ при $x > 4$; график расположен ниже прямой $y=2$ при $0 \le x < 4$.