Страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

2. Какова область значений функции $y = \sqrt{x}$?

2.

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать зависимая переменная $y$ при всех допустимых значениях аргумента $x$. Для функции $y = \sqrt{x}$ необходимо определить все возможные значения $y$.

Данная функция представляет собой арифметический квадратный корень. По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$ из числа $x$ — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен $x$.

Из самого определения следует, что результат вычисления корня, то есть значение $y$, не может быть отрицательным. Это означает, что для любого допустимого значения $x$ (а область определения для данной функции — это $x \ge 0$), выполняется неравенство: $y \ge 0$.

Теперь необходимо доказать, что функция действительно может принимать любое неотрицательное значение.

1. Проверим, достигается ли значение $y=0$. Да, при $x = 0$ (что входит в область определения), мы получаем $y = \sqrt{0} = 0$. Таким образом, число 0 входит в область значений функции.

2. Проверим, достигается ли любое положительное значение. Пусть $k$ — это любое положительное число ($k > 0$). Попробуем найти такое значение $x$, при котором $y=k$. Для этого решим уравнение: $\sqrt{x} = k$ Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим: $x = k^2$ Поскольку $k$ — положительное число, то $x = k^2$ также будет положительным, а значит, входит в область определения функции. Это доказывает, что функция может принимать любое положительное значение.

Объединяя оба пункта, мы приходим к выводу, что область значений функции $y = \sqrt{x}$ включает в себя 0 и все положительные числа. Это множество всех неотрицательных действительных чисел.

Ответ: $[0; +\infty)$.

4. Как по графику функции установить, является ли она выпуклой вверх? выпуклой вниз?

Определить выпуклость функции по её графику можно, проанализировав взаимное расположение графика и его касательных или хорд на рассматриваемом интервале.

Выпуклой вверх

Функция называется выпуклой вверх (или вогнутой) на некотором интервале, если её график на этом интервале "изгибается вниз", напоминая по форме холм. Чтобы это установить графически, можно использовать один из двух методов:

1. Метод касательной: Нужно мысленно или фактически провести касательную к графику в любой точке рассматриваемого интервала. Если весь этот участок графика (за исключением точки касания) лежит ниже проведённой касательной, то функция выпукла вверх. Это свойство должно выполняться для любой точки интервала.

2. Метод хорды: Нужно соединить любые две точки на рассматриваемом участке графика прямым отрезком (хордой). Если часть графика, заключённая между этими двумя точками, лежит выше построенной хорды, то функция выпукла вверх. Это должно быть справедливо для любой пары точек на интервале.

В терминах математического анализа для дважды дифференцируемой функции это означает, что её вторая производная на данном интервале не положительна: $f''(x) \le 0$.

Ответ: Функция является выпуклой вверх на интервале, если её график на этом интервале расположен ниже любой своей касательной или выше любой своей хорды.

Выпуклой вниз

Функция называется выпуклой вниз (или просто выпуклой) на некотором интервале, если её график на этом интервале "изгибается вверх", напоминая по форме чашу. Критерии определения здесь противоположны:

1. Метод касательной: Нужно провести касательную к графику в любой точке рассматриваемого интервала. Если весь этот участок графика (за исключением точки касания) лежит выше проведённой касательной, то функция выпукла вниз.

2. Метод хорды: Нужно соединить любые две точки на рассматриваемом участке графика хордой. Если часть графика между этими точками лежит ниже построенной хорды, то функция выпукла вниз.

Для дважды дифференцируемой функции это означает, что её вторая производная на данном интервале не отрицательна: $f''(x) \ge 0$.

Ответ: Функция является выпуклой вниз на интервале, если её график на этом интервале расположен выше любой своей касательной или ниже любой своей хорды.

1. Какова область определения функции $y = \sqrt{x}$?

1. Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл, то есть может быть вычислена. Область определения часто обозначается как $D(y)$ или $D(f)$.

В задаче дана функция $y = \sqrt{x}$. Эта функция содержит арифметический квадратный корень.

По определению, арифметический квадратный корень из числа $a$ — это такое неотрицательное число $b$, что $b^2 = a$. Это определение имеет смысл в области действительных чисел только для неотрицательных значений $a$.

Следовательно, выражение, стоящее под знаком корня (подкоренное выражение), должно быть неотрицательным. В нашем случае подкоренное выражение — это $x$. Поэтому для функции $y = \sqrt{x}$ должно выполняться следующее условие:

$x \ge 0$

Это неравенство и задает область определения данной функции. Множество всех неотрицательных чисел можно записать в виде числового промежутка от 0 (включительно) до плюс бесконечности.

Ответ: Область определения функции $y = \sqrt{x}$ — это луч $[0, +\infty)$, то есть все значения $x$, удовлетворяющие неравенству $x \ge 0$.

3. Является ли функция $y = \sqrt{x}$ возрастающей; убывающей; монотонной; немонотонной?

Для анализа функции $y = \sqrt{x}$ необходимо сначала определить ее область определения. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Таким образом, область определения функции — это промежуток $[0, +\infty)$.

Далее исследуем функцию на монотонность на всей области ее определения.

возрастающей

Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.

Возьмем две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из области определения $[0, +\infty)$ так, чтобы выполнялось условие $x_2 > x_1$.

Сравним значения функции $y_1 = \sqrt{x_1}$ и $y_2 = \sqrt{x_2}$. Для этого рассмотрим их разность:

$y_2 - y_1 = \sqrt{x_2} - \sqrt{x_1}$

Чтобы определить знак этой разности, умножим и разделим ее на сопряженное выражение $(\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1})$:

$\sqrt{x_2} - \sqrt{x_1} = \frac{(\sqrt{x_2} - \sqrt{x_1})(\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1})}{\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1}} = \frac{x_2 - x_1}{\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1}}$

Проанализируем полученную дробь. По нашему выбору, $x_2 > x_1$, следовательно, числитель $(x_2 - x_1)$ является положительным числом. Знаменатель $(\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1})$ является суммой двух неотрицательных чисел (причем хотя бы одно из них, $\sqrt{x_2}$, строго положительно, так как $x_2 > x_1 \ge 0$), поэтому знаменатель также всегда положителен.

Отношение двух положительных чисел есть число положительное, поэтому $\frac{x_2 - x_1}{\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1}} > 0$.

Отсюда следует, что $y_2 - y_1 > 0$, или $y_2 > y_1$. Так как для любого $x_2 > x_1$ из области определения выполняется $f(x_2) > f(x_1)$, функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей на всей своей области определения.

Ответ: да, функция является возрастающей.

убывающей

Функция называется убывающей, если для любых $x_2 > x_1$ из области определения выполняется неравенство $f(x_2) < f(x_1)$.

Как было доказано выше, функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей. Это означает, что она не может быть убывающей, так как условия возрастания и убывания на одном и том же промежутке взаимоисключающие.

Ответ: нет, функция не является убывающей.

монотонной

Функция называется монотонной на некотором промежутке, если она на этом промежутке является только возрастающей или только убывающей.

Поскольку функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей на всей своей области определения $[0, +\infty)$, она, по определению, является монотонной функцией.

Ответ: да, функция является монотонной.

немонотонной

Функция называется немонотонной, если на ее области определения существуют промежутки как возрастания, так и убывания.

Мы установили, что функция $y = \sqrt{x}$ является монотонной (а именно, строго возрастающей) на всей своей области определения. Следовательно, она не является немонотонной.

Ответ: нет, функция не является немонотонной.

5. Как расположены друг относительно друга графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = -\sqrt{x}$?

Чтобы определить взаимное расположение графиков функций $y = \sqrt{x}$ и $y = -\sqrt{x}$, проанализируем их свойства и сравним их значения при одинаковых значениях аргумента $x$.

1. Область определения. Для обеих функций выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Следовательно, области определения у этих функций совпадают: $D(y) = [0; +\infty)$.

2. Сравнение значений функций. Возьмем любое допустимое значение аргумента, например, $x_0 \ge 0$. Для первой функции $y_1 = \sqrt{x}$ значение в этой точке будет $y_1(x_0) = \sqrt{x_0}$. Для второй функции $y_2 = -\sqrt{x}$ значение в этой точке будет $y_2(x_0) = -\sqrt{x_0}$.

Таким образом, для любого $x_0$ из области определения, точка $(x_0, \sqrt{x_0})$ принадлежит графику первой функции, а точка $(x_0, -\sqrt{x_0})$ принадлежит графику второй функции.

3. Геометрическая интерпретация. Точки с координатами $(x, y)$ и $(x, -y)$ симметричны относительно оси абсцисс (оси Ox). Поскольку для любого $x_0 \ge 0$ ординаты соответствующих точек на графиках ($y_1 = \sqrt{x_0}$ и $y_2 = -\sqrt{x_0}$) равны по модулю и противоположны по знаку, то каждая точка второго графика симметрична соответствующей точке первого графика относительно оси Ox.

Это означает, что график функции $y = -\sqrt{x}$ является зеркальным отражением графика функции $y = \sqrt{x}$ относительно оси абсцисс.

Ответ: Графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = -\sqrt{x}$ симметричны друг другу относительно оси абсцисс (оси Ox).

Подберите два последовательных целых числа, между которыми заключено число:

11.34 a) $\sqrt{14}$;

б) $\sqrt{48}$;

в) $\sqrt{0,8}$;

г) $-\sqrt{28}$.

а) $\sqrt{14}$

Чтобы найти два последовательных целых числа, между которыми заключено число $\sqrt{14}$, нам нужно найти целое число $n$ такое, что выполняется двойное неравенство $n < \sqrt{14} < n+1$.

Поскольку все части неравенства положительны, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знаков неравенства: $n^2 < (\sqrt{14})^2 < (n+1)^2$ $n^2 < 14 < (n+1)^2$

Теперь нам нужно найти два последовательных квадрата целых чисел, между которыми находится число 14. Рассмотрим квадраты целых чисел: $3^2 = 9$ $4^2 = 16$

Мы видим, что $9 < 14 < 16$. Следовательно, $3^2 < 14 < 4^2$.

Извлекая квадратный корень из всех частей этого неравенства, мы возвращаемся к исходному: $\sqrt{3^2} < \sqrt{14} < \sqrt{4^2}$ $3 < \sqrt{14} < 4$

Таким образом, число $\sqrt{14}$ заключено между последовательными целыми числами 3 и 4.

Ответ: 3 и 4.

б) $\sqrt{48}$

Аналогично предыдущему пункту, ищем целое число $n$, для которого верно неравенство $n < \sqrt{48} < n+1$.

Возводим в квадрат: $n^2 < 48 < (n+1)^2$.

Ищем квадраты последовательных целых чисел, между которыми находится 48. Рассмотрим квадраты: $6^2 = 36$ $7^2 = 49$

Мы получили, что $36 < 48 < 49$, или $6^2 < 48 < 7^2$.

Извлекая квадратный корень, получаем: $6 < \sqrt{48} < 7$

Следовательно, число $\sqrt{48}$ заключено между последовательными целыми числами 6 и 7.

Ответ: 6 и 7.

в) $\sqrt{0,8}$

Нам нужно найти целое число $n$, удовлетворяющее неравенству $n < \sqrt{0,8} < n+1$.

Возводим в квадрат: $n^2 < 0,8 < (n+1)^2$.

Найдем квадраты целых чисел, между которыми находится 0,8. $0^2 = 0$ $1^2 = 1$

Мы видим, что $0 < 0,8 < 1$, что соответствует $0^2 < 0,8 < 1^2$.

Извлекая квадратный корень, получаем: $0 < \sqrt{0,8} < 1$

Таким образом, число $\sqrt{0,8}$ заключено между последовательными целыми числами 0 и 1.

Ответ: 0 и 1.

г) $-\sqrt{28}$

Чтобы найти целые числа для отрицательного корня, сначала определим, между какими целыми числами находится положительный корень $\sqrt{28}$. Ищем $n$ такое, что $n < \sqrt{28} < n+1$.

Возводим в квадрат: $n^2 < 28 < (n+1)^2$.

Ищем квадраты последовательных целых чисел, между которыми находится 28. $5^2 = 25$ $6^2 = 36$

Получаем неравенство $25 < 28 < 36$, или $5^2 < 28 < 6^2$. Извлекая корень, получаем $5 < \sqrt{28} < 6$.

Теперь рассмотрим число $-\sqrt{28}$. Для этого умножим все части неравенства $5 < \sqrt{28} < 6$ на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: $-5 > -\sqrt{28} > -6$

Запишем полученное неравенство в порядке возрастания: $-6 < -\sqrt{28} < -5$

Следовательно, число $-\sqrt{28}$ заключено между последовательными целыми числами -6 и -5.

Ответ: -6 и -5.

11.35 a) $-\sqrt{0,3}$;

б) $\sqrt{325}$;

в) $\sqrt{105}$;

г) $-\sqrt{238}$.

Задача состоит в том, чтобы вынести множитель из-под знака корня, то есть упростить данные выражения.

а)

Рассмотрим выражение $-\sqrt{0,3}$. Для того чтобы вынести множитель, представим десятичную дробь в виде обыкновенной:

$0,3 = \frac{3}{10}$

Таким образом, выражение принимает вид:

$-\sqrt{0,3} = -\sqrt{\frac{3}{10}}$

Чтобы вынести множитель из-под корня, нужно, чтобы в знаменателе был полный квадрат. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби под корнем на 10:

$-\sqrt{\frac{3 \cdot 10}{10 \cdot 10}} = -\sqrt{\frac{30}{100}}$

Теперь, используя свойство корня $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$, извлекаем корень из знаменателя:

$-\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{100}} = -\frac{\sqrt{30}}{10}$

Это выражение также можно записать в виде $-0,1\sqrt{30}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{30}}{10}$.

б)

Рассмотрим выражение $\sqrt{325}$. Чтобы вынести множитель, разложим число 325 на простые множители. Поскольку число заканчивается на 5, оно делится на 5:

$325 = 5 \cdot 65$

Продолжаем разложение:

$65 = 5 \cdot 13$

Таким образом, полное разложение числа 325:

$325 = 5 \cdot 5 \cdot 13 = 5^2 \cdot 13$

Теперь подставим это разложение обратно под знак корня:

$\sqrt{325} = \sqrt{5^2 \cdot 13}$

Используя свойство корня $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, выносим множитель:

$\sqrt{5^2} \cdot \sqrt{13} = 5\sqrt{13}$

Ответ: $5\sqrt{13}$.

в)

Рассмотрим выражение $\sqrt{105}$. Разложим число 105 на простые множители, чтобы найти множители, являющиеся полными квадратами.

$105 = 5 \cdot 21 = 3 \cdot 5 \cdot 7$

В разложении числа 105 на простые множители ($3, 5, 7$) нет повторяющихся множителей. Это означает, что у числа 105 нет делителей (кроме 1), которые являются полными квадратами. Следовательно, вынести целочисленный множитель из-под знака корня невозможно.

Ответ: $\sqrt{105}$.

г)

Рассмотрим выражение $-\sqrt{238}$. Разложим число 238 на простые множители.

Число 238 четное, поэтому делится на 2:

$238 = 2 \cdot 119$

Проверим делимость числа 119 на простые числа. Оно не делится на 3 (сумма цифр $1+1+9=11$) и на 5. Проверим деление на 7:

$119 \div 7 = 17$

Так как 17 – простое число, разложение завершено:

$238 = 2 \cdot 7 \cdot 17$

В разложении числа 238 на простые множители нет повторяющихся множителей, а значит, нет и множителей, являющихся полными квадратами. Следовательно, вынести целочисленный множитель из-под знака корня невозможно.

Ответ: $-\sqrt{238}$.

11.36 Найдите наибольшее целое число, которое удовлетворяет неравенству:

а) $x \le \sqrt{5};$

б) $2x < \sqrt{7};$

в) $x < \sqrt{3};$

г) $3x \le \sqrt{2}.$

а) Дано неравенство $x \le \sqrt{5}$. Чтобы найти наибольшее целое число $x$, удовлетворяющее этому неравенству, оценим значение $\sqrt{5}$. Мы знаем, что $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$. Поскольку $4 < 5 < 9$, то $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$, что означает $2 < \sqrt{5} < 3$. Таким образом, $\sqrt{5}$ является числом, которое немного больше 2 (приблизительно 2,236). Неравенство можно записать как $x \le 2,236...$ Целые числа, которые удовлетворяют этому условию: ..., 0, 1, 2. Наибольшее из них — 2.
Ответ: 2

б) Дано неравенство $2x < \sqrt{7}$. Сначала выразим $x$, разделив обе части неравенства на 2: $x < \frac{\sqrt{7}}{2}$. Теперь оценим значение $\frac{\sqrt{7}}{2}$. Мы знаем, что $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$. Так как $4 < 7 < 9$, то $2 < \sqrt{7} < 3$. Разделим все части этого двойного неравенства на 2: $\frac{2}{2} < \frac{\sqrt{7}}{2} < \frac{3}{2}$, что равносильно $1 < \frac{\sqrt{7}}{2} < 1,5$. Итак, мы имеем неравенство $x < 1,...$ (где-то между 1 и 1,5, точнее $\approx 1,32$). Целые числа, которые удовлетворяют этому условию: ..., 0, 1. Наибольшее из них — 1.
Ответ: 1

в) Дано неравенство $x < \sqrt{3}$. Оценим значение $\sqrt{3}$. Мы знаем, что $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$. Поскольку $1 < 3 < 4$, то $\sqrt{1} < \sqrt{3} < \sqrt{4}$, что означает $1 < \sqrt{3} < 2$. Таким образом, $\sqrt{3}$ является числом между 1 и 2 (приблизительно 1,732). Неравенство можно записать как $x < 1,732...$ Целые числа, которые удовлетворяют этому условию: ..., 0, 1. Наибольшее из них — 1.
Ответ: 1

г) Дано неравенство $3x \le \sqrt{2}$. Выразим $x$, разделив обе части неравенства на 3: $x \le \frac{\sqrt{2}}{3}$. Оценим значение $\frac{\sqrt{2}}{3}$. Мы знаем, что $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$. Так как $1 < 2 < 4$, то $1 < \sqrt{2} < 2$. Разделим все части этого двойного неравенства на 3: $\frac{1}{3} < \frac{\sqrt{2}}{3} < \frac{2}{3}$. Значение $\frac{\sqrt{2}}{3}$ находится между 0 и 1 (приблизительно 0,471). Итак, мы имеем неравенство $x \le 0,471...$ Целые числа, которые удовлетворяют этому условию: ..., -1, 0. Наибольшее из них — 0.
Ответ: 0

11.37 Найдите наименьшее целое число, которое больше числа:

а) $\sqrt{7}$;

б) $\sqrt{10}$;

в) $\sqrt{62}$;

г) $\sqrt{103}$.

а) Чтобы найти наименьшее целое число, которое больше, чем $\sqrt{7}$, нам нужно определить, между какими двумя последовательными целыми числами находится число $\sqrt{7}$. Для этого найдем два последовательных полных квадрата, между которыми находится число 7.

Рассмотрим квадраты целых чисел:

$2^2 = 4$

$3^2 = 9$

Так как $4 < 7 < 9$, то мы можем записать двойное неравенство: $2^2 < 7 < 3^2$.

Извлекая квадратный корень из каждой части неравенства, получаем:

$\sqrt{2^2} < \sqrt{7} < \sqrt{3^2}$

$2 < \sqrt{7} < 3$

Это означает, что число $\sqrt{7}$ находится на числовой прямой между целыми числами 2 и 3. Следовательно, наименьшее целое число, которое больше $\sqrt{7}$, — это 3.

Ответ: 3

б) Чтобы найти наименьшее целое число, которое больше, чем $\sqrt{10}$, найдем два последовательных полных квадрата, между которыми находится число 10.

Рассмотрим квадраты целых чисел:

$3^2 = 9$

$4^2 = 16$

Так как $9 < 10 < 16$, то верно неравенство: $3^2 < 10 < 4^2$.

Извлекая квадратный корень, получаем:

$\sqrt{3^2} < \sqrt{10} < \sqrt{4^2}$

$3 < \sqrt{10} < 4$

Число $\sqrt{10}$ находится между целыми числами 3 и 4. Наименьшее целое число, которое больше $\sqrt{10}$, — это 4.

Ответ: 4

в) Чтобы найти наименьшее целое число, которое больше, чем $\sqrt{62}$, найдем два последовательных полных квадрата, между которыми находится число 62.

Рассмотрим квадраты целых чисел:

$7^2 = 49$

$8^2 = 64$

Так как $49 < 62 < 64$, то верно неравенство: $7^2 < 62 < 8^2$.

Извлекая квадратный корень, получаем:

$\sqrt{7^2} < \sqrt{62} < \sqrt{8^2}$

$7 < \sqrt{62} < 8$

Число $\sqrt{62}$ находится между целыми числами 7 и 8. Наименьшее целое число, которое больше $\sqrt{62}$, — это 8.

Ответ: 8

г) Чтобы найти наименьшее целое число, которое больше, чем $\sqrt{103}$, найдем два последовательных полных квадрата, между которыми находится число 103.

Рассмотрим квадраты целых чисел:

$10^2 = 100$

$11^2 = 121$

Так как $100 < 103 < 121$, то верно неравенство: $10^2 < 103 < 11^2$.

Извлекая квадратный корень, получаем:

$\sqrt{10^2} < \sqrt{103} < \sqrt{11^2}$

$10 < \sqrt{103} < 11$

Число $\sqrt{103}$ находится между целыми числами 10 и 11. Наименьшее целое число, которое больше $\sqrt{103}$, — это 11.

Ответ: 11

11.38 Сколько целых чисел принадлежит промежутку:

а) $[1; \sqrt{5}]$;

б) $(-\sqrt{2}; \sqrt{3})$;

в) $[-\sqrt{3}; \sqrt{6}]$;

г) $(\sqrt{7}; 7)?$

а) Чтобы найти количество целых чисел, принадлежащих промежутку $[1; \sqrt{5}]$, необходимо оценить значение $\sqrt{5}$. Мы знаем, что $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$, следовательно, $2 < \sqrt{5} < 3$. Таким образом, мы ищем целые числа $x$ в промежутке $[1; \sqrt{5}]$. Это числа, удовлетворяющие двойному неравенству $1 \le x \le \sqrt{5}$.
Проверим целые числа, начиная с 1:
• $x = 1$: $1 \le 1 \le \sqrt{5}$. Верно, так как $1$ — левая граница, которая включена.
• $x = 2$: $1 \le 2 \le \sqrt{5}$. Чтобы проверить $2 \le \sqrt{5}$, возведем обе части в квадрат: $2^2 \le (\sqrt{5})^2$, что дает $4 \le 5$. Верно.
• $x = 3$: $1 \le 3 \le \sqrt{5}$. Проверяем $3 \le \sqrt{5}$. Возводим в квадрат: $3^2 \le (\sqrt{5})^2$, что дает $9 \le 5$. Неверно.
Таким образом, в промежуток входят целые числа 1 и 2.
Ответ: 2

б) Рассмотрим промежуток $(-\sqrt{2}; \sqrt{3})$. Это открытый промежуток, поэтому его концы не включаются. Оценим значения границ:
• $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$, поэтому $1 < \sqrt{2} < 2$. Следовательно, $-2 < -\sqrt{2} < -1$. Примерное значение $-\sqrt{2} \approx -1,414$.
• $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$, поэтому $1 < \sqrt{3} < 2$. Примерное значение $\sqrt{3} \approx 1,732$.
Мы ищем целые числа $x$, удовлетворяющие неравенству $-\sqrt{2} < x < \sqrt{3}$ (или примерно $-1,414 < x < 1,732$).
Целые числа в этом диапазоне: -1, 0, 1.
• $x = -1$: $-\sqrt{2} < -1 < \sqrt{3}$. Верно.
• $x = 0$: $-\sqrt{2} < 0 < \sqrt{3}$. Верно.
• $x = 1$: $-\sqrt{2} < 1 < \sqrt{3}$. Верно, так как $1 < \sqrt{3}$ ($1^2 < (\sqrt{3})^2$ или $1 < 3$).
• $x = 2$: $2 > \sqrt{3}$, поэтому не входит. $x = -2$: $-2 < -\sqrt{2}$, поэтому не входит.
Таким образом, в промежуток входят целые числа -1, 0, 1.
Ответ: 3

в) Рассмотрим промежуток $[-\sqrt{3}; \sqrt{6}]$. Это замкнутый промежуток, концы включаются. Оценим значения границ:
• $1 < \sqrt{3} < 2$, поэтому $-2 < -\sqrt{3} < -1$. Примерное значение $-\sqrt{3} \approx -1,732$.
• $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$, поэтому $2 < \sqrt{6} < 3$. Примерное значение $\sqrt{6} \approx 2,449$.
Мы ищем целые числа $x$, удовлетворяющие неравенству $-\sqrt{3} \le x \le \sqrt{6}$ (или примерно $-1,732 \le x \le 2,449$).
Целые числа в этом диапазоне:
• $x = -1$: $-\sqrt{3} \le -1 \le \sqrt{6}$. Верно.
• $x = 0$: $-\sqrt{3} \le 0 \le \sqrt{6}$. Верно.
• $x = 1$: $-\sqrt{3} \le 1 \le \sqrt{6}$. Верно.
• $x = 2$: $-\sqrt{3} \le 2 \le \sqrt{6}$. Верно, так как $2 \le \sqrt{6}$ ($2^2 \le (\sqrt{6})^2$ или $4 \le 6$).
• $x = 3$: $3 > \sqrt{6}$, не входит.
Таким образом, в промежуток входят целые числа -1, 0, 1, 2.
Ответ: 4

г) Рассмотрим промежуток $(\sqrt{7}; 7)$. Это открытый промежуток. Оценим значение левой границы:
• $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$, поэтому $2 < \sqrt{7} < 3$. Примерное значение $\sqrt{7} \approx 2,645$.
Мы ищем целые числа $x$, удовлетворяющие неравенству $\sqrt{7} < x < 7$ (или примерно $2,645 < x < 7$).
Первое целое число, которое больше $\sqrt{7}$, это 3. Последнее целое число, которое меньше 7, это 6, так как правая граница не включается.
Целые числа в этом диапазоне: 3, 4, 5, 6.
Таким образом, в промежуток входят 4 целых числа.
Ответ: 4

Используя определение квадратного корня, решите уравнение:

11.39 а) $\sqrt{x - 1} = 3;$

б) $\sqrt{4x + 1} = 7;$

в) $\sqrt{x + 2} = 5;$

г) $\sqrt{7x - 1} = 1.$

а) $ \sqrt{x-1} = 3 $

Согласно определению арифметического квадратного корня, если $ \sqrt{A} = B $, то это равносильно системе $ A = B^2 $ и $ B \ge 0 $. В данном уравнении $ B = 3 $, и это условие ($ 3 \ge 0 $) выполняется. Следовательно, мы можем возвести обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня.

$ (\sqrt{x-1})^2 = 3^2 $

$ x-1 = 9 $

Теперь решим полученное линейное уравнение. Перенесем $-1$ в правую часть с противоположным знаком:

$ x = 9 + 1 $

$ x = 10 $

Проверка: подставим найденное значение $x$ в исходное уравнение. $ \sqrt{10-1} = \sqrt{9} = 3 $. Равенство $ 3 = 3 $ верное.

Ответ: $ x = 10 $

б) $ \sqrt{4x+1} = 7 $

Правая часть уравнения ($7$) является неотрицательным числом. Используя определение квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$ (\sqrt{4x+1})^2 = 7^2 $

$ 4x+1 = 49 $

Решим полученное уравнение:

$ 4x = 49 - 1 $

$ 4x = 48 $

$ x = \frac{48}{4} $

$ x = 12 $

Проверка: подставим $ x = 12 $ в исходное уравнение. $ \sqrt{4 \cdot 12 + 1} = \sqrt{48+1} = \sqrt{49} = 7 $. Равенство $ 7 = 7 $ верное.

Ответ: $ x = 12 $

в) $ \sqrt{x+2} = 5 $

Так как правая часть уравнения ($5$) — неотрицательное число, мы можем, согласно определению квадратного корня, возвести обе части в квадрат:

$ (\sqrt{x+2})^2 = 5^2 $

$ x+2 = 25 $

Решим полученное линейное уравнение:

$ x = 25 - 2 $

$ x = 23 $

Проверка: подставим $ x = 23 $ в исходное уравнение. $ \sqrt{23+2} = \sqrt{25} = 5 $. Равенство $ 5 = 5 $ верное.

Ответ: $ x = 23 $

г) $ \sqrt{7x-1} = 1 $

Правая часть уравнения ($1$) — неотрицательное число. По определению квадратного корня, возводим обе части уравнения в квадрат:

$ (\sqrt{7x-1})^2 = 1^2 $

$ 7x-1 = 1 $

Решим полученное уравнение:

$ 7x = 1 + 1 $

$ 7x = 2 $

$ x = \frac{2}{7} $

Проверка: подставим $ x = \frac{2}{7} $ в исходное уравнение. $ \sqrt{7 \cdot \frac{2}{7} - 1} = \sqrt{2-1} = \sqrt{1} = 1 $. Равенство $ 1 = 1 $ верное.

Ответ: $ x = \frac{2}{7} $

11.40 a) $\sqrt{289 - x^2} = 8;$

б) $\sqrt{x^2 + 144} = 13;$

в) $\sqrt{25 - x^2} = 0;$

г) $\sqrt{x^2 - 144} = 5.$

а) Решим уравнение $\sqrt{289 - x^2} = 8$.

Для того чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат. При этом необходимо учесть, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $289 - x^2 \ge 0$. Правая часть уравнения ($8$) неотрицательна, поэтому возведение в квадрат является равносильным преобразованием при выполнении условия на подкоренное выражение.

Возводим обе части в квадрат:

$(\sqrt{289 - x^2})^2 = 8^2$

$289 - x^2 = 64$

Теперь выразим $x^2$:

$x^2 = 289 - 64$

$x^2 = 225$

Находим значения $x$, извлекая квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{225}$

$x_1 = 15$, $x_2 = -15$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $289 - x^2 \ge 0$.

Для $x = 15$: $289 - 15^2 = 289 - 225 = 64 \ge 0$. Корень подходит.

Для $x = -15$: $289 - (-15)^2 = 289 - 225 = 64 \ge 0$. Корень подходит.

Ответ: $15; -15$.

б) Решим уравнение $\sqrt{x^2 + 144} = 13$.

Подкоренное выражение $x^2 + 144$ всегда положительно, так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, а значит $x^2 + 144 \ge 144 > 0$. Правая часть уравнения ($13$) положительна. Следовательно, можно без дополнительных условий возвести обе части уравнения в квадрат.

$(\sqrt{x^2 + 144})^2 = 13^2$

$x^2 + 144 = 169$

Выразим $x^2$:

$x^2 = 169 - 144$

$x^2 = 25$

Находим значения $x$:

$x = \pm\sqrt{25}$

$x_1 = 5$, $x_2 = -5$

Ответ: $5; -5$.

в) Решим уравнение $\sqrt{25 - x^2} = 0$.

Квадратный корень из выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само подкоренное выражение равно нулю. Поэтому уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 25 - x^2 = 0 \\ 25 - x^2 \ge 0\end{cases}$

Решаем уравнение $25 - x^2 = 0$.

$x^2 = 25$

Находим значения $x$:

$x = \pm\sqrt{25}$

$x_1 = 5$, $x_2 = -5$

Оба корня удовлетворяют условию $25 - x^2 = 0$, а значит и условию $25 - x^2 \ge 0$.

Ответ: $5; -5$.

г) Решим уравнение $\sqrt{x^2 - 144} = 5$.

Возводим обе части уравнения в квадрат. Условие неотрицательности подкоренного выражения: $x^2 - 144 \ge 0$, то есть $x^2 \ge 144$. Правая часть уравнения ($5$) положительна.

$(\sqrt{x^2 - 144})^2 = 5^2$

$x^2 - 144 = 25$

Выразим $x^2$:

$x^2 = 25 + 144$

$x^2 = 169$

Находим значения $x$:

$x = \pm\sqrt{169}$

$x_1 = 13$, $x_2 = -13$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x^2 \ge 144$.

Для $x = 13$: $13^2 = 169 \ge 144$. Корень подходит.

Для $x = -13$: $(-13)^2 = 169 \ge 144$. Корень подходит.

Ответ: $13; -13$.

11.41 Докажите, что значение квадратного корня не является целым числом:

а) $\sqrt{8467}$;

б) $\sqrt{2215}$;

в) $\sqrt{2113}$;

г) $\sqrt{1228}$.

Для того чтобы доказать, что значение квадратного корня из некоторого натурального числа не является целым, достаточно показать, что это число не является полным квадратом, то есть квадратом какого-либо целого числа. Один из самых простых признаков, позволяющих это определить, — анализ последней цифры числа.

Последняя цифра квадрата любого целого числа определяется последней цифрой самого числа. Рассмотрим, на какие цифры могут оканчиваться квадраты целых чисел:

• $0^2 = 0$
• $1^2 = 1$
• $2^2 = 4$
• $3^2 = 9$
• $4^2 = 16$ (оканчивается на 6)
• $5^2 = 25$ (оканчивается на 5)
• $6^2 = 36$ (оканчивается на 6)
• $7^2 = 49$ (оканчивается на 9)
• $8^2 = 64$ (оканчивается на 4)
• $9^2 = 81$ (оканчивается на 1)

Таким образом, полный квадрат целого числа может оканчиваться только на одну из цифр: 0, 1, 4, 5, 6, 9. Если число оканчивается на 2, 3, 7 или 8, оно не может быть полным квадратом.

а)

Рассмотрим число под корнем в выражении $\sqrt{8467}$, то есть 8467. Это число оканчивается на цифру 7. Согласно свойству, приведённому выше, квадрат целого числа не может оканчиваться на 7. Следовательно, 8467 не является полным квадратом, и его корень не может быть целым числом.

Ответ: Значение $\sqrt{8467}$ не является целым числом.

б)

Рассмотрим число под корнем в выражении $\sqrt{2215}$, то есть 2215. Это число оканчивается на 5. Хотя 5 входит в список возможных последних цифр полного квадрата, для чисел, оканчивающихся на 5, есть более строгое правило. Если целое число оканчивается на 5, то его квадрат должен оканчиваться на 25. Это следует из того, что любое число, оканчивающееся на 5, можно представить в виде $10k+5$. Тогда его квадрат равен $(10k+5)^2 = 100k^2 + 100k + 25 = 100k(k+1) + 25$. Число 2215 оканчивается на 15, а не на 25, следовательно, оно не является полным квадратом, и его корень не является целым числом.

Ответ: Значение $\sqrt{2215}$ не является целым числом.

в)

Рассмотрим число под корнем в выражении $\sqrt{2113}$, то есть 2113. Это число оканчивается на цифру 3. Квадрат целого числа не может оканчиваться на 3. Следовательно, 2113 не является полным квадратом, и его корень не является целым числом.

Ответ: Значение $\sqrt{2113}$ не является целым числом.

г)

Рассмотрим число под корнем в выражении $\sqrt{1228}$, то есть 1228. Это число оканчивается на цифру 8. Квадрат целого числа не может оканчиваться на 8. Следовательно, 1228 не является полным квадратом, и его корень не является целым числом.

Ответ: Значение $\sqrt{1228}$ не является целым числом.

11.42 Вычислите:

а) $\sqrt[3]{27};$

б) $\sqrt[3]{64};$

в) $\sqrt[3]{216};$

г) $\sqrt[3]{125}.$

а) Чтобы вычислить кубический корень из 27, $\sqrt[3]{27}$, необходимо найти число, которое при возведении в третью степень (в куб) даст 27. Мы знаем, что $3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$. Следовательно, $\sqrt[3]{27} = 3$.
Ответ: 3

б) Чтобы вычислить кубический корень из 64, $\sqrt[3]{64}$, ищем число, которое в третьей степени равно 64. Проверим число 4: $4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$. Таким образом, $\sqrt[3]{64} = 4$.
Ответ: 4

в) Для вычисления кубического корня из 216, $\sqrt[3]{216}$, нужно найти число, третья степень которого равна 216. Проверим число 6: $6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 36 \times 6 = 216$. Значит, $\sqrt[3]{216} = 6$.
Ответ: 6

г) Чтобы найти кубический корень из 125, $\sqrt[3]{125}$, определим число, которое при возведении в куб дает 125. Проверим число 5: $5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 25 \times 5 = 125$. Следовательно, $\sqrt[3]{125} = 5$.
Ответ: 5

11.43 Докажите, что:

а) $ \sqrt[3]{1000} = 10; $

б) $ \sqrt[3]{3,375} = \frac{3}{2}; $

в) $ \sqrt[3]{0,001} = 0,1; $

г) $ \sqrt[3]{7^{12}} = 7^4. $

а) Для доказательства равенства $\sqrt[3]{1000} = 10$ необходимо, по определению кубического корня, показать, что правая часть равенства, возведенная в куб, равна подкоренному выражению.
Выполним возведение в степень: $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$.
Так как $10^3 = 1000$, исходное равенство верно.
Ответ: Равенство $\sqrt[3]{1000} = 10$ доказано.

б) Для доказательства равенства $\sqrt[3]{3,375} = \frac{3}{2}$ необходимо показать, что $(\frac{3}{2})^3 = 3,375$.
Сначала преобразуем обыкновенную дробь в десятичную: $\frac{3}{2} = 1,5$.
Теперь возведем $1,5$ в куб: $(1,5)^3 = 1,5 \cdot 1,5 \cdot 1,5 = 2,25 \cdot 1,5 = 3,375$.
Поскольку $(\frac{3}{2})^3$ действительно равно $3,375$, исходное равенство верно.
Ответ: Равенство $\sqrt[3]{3,375} = \frac{3}{2}$ доказано.

в) Для доказательства равенства $\sqrt[3]{0,001} = 0,1$ необходимо проверить, что $(0,1)^3 = 0,001$, согласно определению кубического корня.
Выполним возведение в степень: $(0,1)^3 = 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 = 0,001$.
Так как $(0,1)^3 = 0,001$, исходное равенство верно.
Ответ: Равенство $\sqrt[3]{0,001} = 0,1$ доказано.

г) Для доказательства равенства $\sqrt[3]{7^{12}} = 7^4$ воспользуемся свойством корня $n$-ой степени, которое можно записать как $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.
Применим это свойство к левой части равенства:
$\sqrt[3]{7^{12}} = 7^{\frac{12}{3}} = 7^4$.
Левая часть равна правой, следовательно, равенство доказано.
Ответ: Равенство $\sqrt[3]{7^{12}} = 7^4$ доказано.