Номер 11.40, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 11. Понятие квадратного корня из неотрицательного числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 11.40, страница 66.

Условие.

11.40 a) $\sqrt{289 - x^2} = 8;$

б) $\sqrt{x^2 + 144} = 13;$

в) $\sqrt{25 - x^2} = 0;$

г) $\sqrt{x^2 - 144} = 5.$

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Решим уравнение $\sqrt{289 - x^2} = 8$.

Для того чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат. При этом необходимо учесть, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $289 - x^2 \ge 0$. Правая часть уравнения ($8$) неотрицательна, поэтому возведение в квадрат является равносильным преобразованием при выполнении условия на подкоренное выражение.

Возводим обе части в квадрат:

$(\sqrt{289 - x^2})^2 = 8^2$

$289 - x^2 = 64$

Теперь выразим $x^2$:

$x^2 = 289 - 64$

$x^2 = 225$

Находим значения $x$, извлекая квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{225}$

$x_1 = 15$, $x_2 = -15$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $289 - x^2 \ge 0$.

Для $x = 15$: $289 - 15^2 = 289 - 225 = 64 \ge 0$. Корень подходит.

Для $x = -15$: $289 - (-15)^2 = 289 - 225 = 64 \ge 0$. Корень подходит.

Ответ: $15; -15$.

б) Решим уравнение $\sqrt{x^2 + 144} = 13$.

Подкоренное выражение $x^2 + 144$ всегда положительно, так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, а значит $x^2 + 144 \ge 144 > 0$. Правая часть уравнения ($13$) положительна. Следовательно, можно без дополнительных условий возвести обе части уравнения в квадрат.

$(\sqrt{x^2 + 144})^2 = 13^2$

$x^2 + 144 = 169$

Выразим $x^2$:

$x^2 = 169 - 144$

$x^2 = 25$

Находим значения $x$:

$x = \pm\sqrt{25}$

$x_1 = 5$, $x_2 = -5$

Ответ: $5; -5$.

в) Решим уравнение $\sqrt{25 - x^2} = 0$.

Квадратный корень из выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само подкоренное выражение равно нулю. Поэтому уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 25 - x^2 = 0 \\ 25 - x^2 \ge 0\end{cases}$

Решаем уравнение $25 - x^2 = 0$.

$x^2 = 25$

Находим значения $x$:

$x = \pm\sqrt{25}$

$x_1 = 5$, $x_2 = -5$

Оба корня удовлетворяют условию $25 - x^2 = 0$, а значит и условию $25 - x^2 \ge 0$.

Ответ: $5; -5$.

г) Решим уравнение $\sqrt{x^2 - 144} = 5$.

Возводим обе части уравнения в квадрат. Условие неотрицательности подкоренного выражения: $x^2 - 144 \ge 0$, то есть $x^2 \ge 144$. Правая часть уравнения ($5$) положительна.

$(\sqrt{x^2 - 144})^2 = 5^2$

$x^2 - 144 = 25$

Выразим $x^2$:

$x^2 = 25 + 144$

$x^2 = 169$

Находим значения $x$:

$x = \pm\sqrt{169}$

$x_1 = 13$, $x_2 = -13$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x^2 \ge 144$.

Для $x = 13$: $13^2 = 169 \ge 144$. Корень подходит.

Для $x = -13$: $(-13)^2 = 169 \ge 144$. Корень подходит.

Ответ: $13; -13$.