Номер 11.43, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 11. Понятие квадратного корня из неотрицательного числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 11.43, страница 66.

Условие.

11.43 Докажите, что:

а) $ \sqrt[3]{1000} = 10; $

б) $ \sqrt[3]{3,375} = \frac{3}{2}; $

в) $ \sqrt[3]{0,001} = 0,1; $

г) $ \sqrt[3]{7^{12}} = 7^4. $

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для доказательства равенства $\sqrt[3]{1000} = 10$ необходимо, по определению кубического корня, показать, что правая часть равенства, возведенная в куб, равна подкоренному выражению.
Выполним возведение в степень: $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$.
Так как $10^3 = 1000$, исходное равенство верно.
Ответ: Равенство $\sqrt[3]{1000} = 10$ доказано.

б) Для доказательства равенства $\sqrt[3]{3,375} = \frac{3}{2}$ необходимо показать, что $(\frac{3}{2})^3 = 3,375$.
Сначала преобразуем обыкновенную дробь в десятичную: $\frac{3}{2} = 1,5$.
Теперь возведем $1,5$ в куб: $(1,5)^3 = 1,5 \cdot 1,5 \cdot 1,5 = 2,25 \cdot 1,5 = 3,375$.
Поскольку $(\frac{3}{2})^3$ действительно равно $3,375$, исходное равенство верно.
Ответ: Равенство $\sqrt[3]{3,375} = \frac{3}{2}$ доказано.

в) Для доказательства равенства $\sqrt[3]{0,001} = 0,1$ необходимо проверить, что $(0,1)^3 = 0,001$, согласно определению кубического корня.
Выполним возведение в степень: $(0,1)^3 = 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 = 0,001$.
Так как $(0,1)^3 = 0,001$, исходное равенство верно.
Ответ: Равенство $\sqrt[3]{0,001} = 0,1$ доказано.

г) Для доказательства равенства $\sqrt[3]{7^{12}} = 7^4$ воспользуемся свойством корня $n$-ой степени, которое можно записать как $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.
Применим это свойство к левой части равенства:
$\sqrt[3]{7^{12}} = 7^{\frac{12}{3}} = 7^4$.
Левая часть равна правой, следовательно, равенство доказано.
Ответ: Равенство $\sqrt[3]{7^{12}} = 7^4$ доказано.