Номер 11.41, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 11. Понятие квадратного корня из неотрицательного числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 11.41, страница 66.

Условие.

11.41 Докажите, что значение квадратного корня не является целым числом:

а) $\sqrt{8467}$;

б) $\sqrt{2215}$;

в) $\sqrt{2113}$;

г) $\sqrt{1228}$.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для того чтобы доказать, что значение квадратного корня из некоторого натурального числа не является целым, достаточно показать, что это число не является полным квадратом, то есть квадратом какого-либо целого числа. Один из самых простых признаков, позволяющих это определить, — анализ последней цифры числа.

Последняя цифра квадрата любого целого числа определяется последней цифрой самого числа. Рассмотрим, на какие цифры могут оканчиваться квадраты целых чисел:

• $0^2 = 0$
• $1^2 = 1$
• $2^2 = 4$
• $3^2 = 9$
• $4^2 = 16$ (оканчивается на 6)
• $5^2 = 25$ (оканчивается на 5)
• $6^2 = 36$ (оканчивается на 6)
• $7^2 = 49$ (оканчивается на 9)
• $8^2 = 64$ (оканчивается на 4)
• $9^2 = 81$ (оканчивается на 1)

Таким образом, полный квадрат целого числа может оканчиваться только на одну из цифр: 0, 1, 4, 5, 6, 9. Если число оканчивается на 2, 3, 7 или 8, оно не может быть полным квадратом.

а)

Рассмотрим число под корнем в выражении $\sqrt{8467}$, то есть 8467. Это число оканчивается на цифру 7. Согласно свойству, приведённому выше, квадрат целого числа не может оканчиваться на 7. Следовательно, 8467 не является полным квадратом, и его корень не может быть целым числом.

Ответ: Значение $\sqrt{8467}$ не является целым числом.

б)

Рассмотрим число под корнем в выражении $\sqrt{2215}$, то есть 2215. Это число оканчивается на 5. Хотя 5 входит в список возможных последних цифр полного квадрата, для чисел, оканчивающихся на 5, есть более строгое правило. Если целое число оканчивается на 5, то его квадрат должен оканчиваться на 25. Это следует из того, что любое число, оканчивающееся на 5, можно представить в виде $10k+5$. Тогда его квадрат равен $(10k+5)^2 = 100k^2 + 100k + 25 = 100k(k+1) + 25$. Число 2215 оканчивается на 15, а не на 25, следовательно, оно не является полным квадратом, и его корень не является целым числом.

Ответ: Значение $\sqrt{2215}$ не является целым числом.

в)

Рассмотрим число под корнем в выражении $\sqrt{2113}$, то есть 2113. Это число оканчивается на цифру 3. Квадрат целого числа не может оканчиваться на 3. Следовательно, 2113 не является полным квадратом, и его корень не является целым числом.

Ответ: Значение $\sqrt{2113}$ не является целым числом.

г)

Рассмотрим число под корнем в выражении $\sqrt{1228}$, то есть 1228. Это число оканчивается на цифру 8. Квадрат целого числа не может оканчиваться на 8. Следовательно, 1228 не является полным квадратом, и его корень не является целым числом.

Ответ: Значение $\sqrt{1228}$ не является целым числом.