Номер 11.38, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 11. Понятие квадратного корня из неотрицательного числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 11.38, страница 66.

Условие.

11.38 Сколько целых чисел принадлежит промежутку:

а) $[1; \sqrt{5}]$;

б) $(-\sqrt{2}; \sqrt{3})$;

в) $[-\sqrt{3}; \sqrt{6}]$;

г) $(\sqrt{7}; 7)?$

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы найти количество целых чисел, принадлежащих промежутку $[1; \sqrt{5}]$, необходимо оценить значение $\sqrt{5}$. Мы знаем, что $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$, следовательно, $2 < \sqrt{5} < 3$. Таким образом, мы ищем целые числа $x$ в промежутке $[1; \sqrt{5}]$. Это числа, удовлетворяющие двойному неравенству $1 \le x \le \sqrt{5}$.
Проверим целые числа, начиная с 1:
• $x = 1$: $1 \le 1 \le \sqrt{5}$. Верно, так как $1$ — левая граница, которая включена.
• $x = 2$: $1 \le 2 \le \sqrt{5}$. Чтобы проверить $2 \le \sqrt{5}$, возведем обе части в квадрат: $2^2 \le (\sqrt{5})^2$, что дает $4 \le 5$. Верно.
• $x = 3$: $1 \le 3 \le \sqrt{5}$. Проверяем $3 \le \sqrt{5}$. Возводим в квадрат: $3^2 \le (\sqrt{5})^2$, что дает $9 \le 5$. Неверно.
Таким образом, в промежуток входят целые числа 1 и 2.
Ответ: 2

б) Рассмотрим промежуток $(-\sqrt{2}; \sqrt{3})$. Это открытый промежуток, поэтому его концы не включаются. Оценим значения границ:
• $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$, поэтому $1 < \sqrt{2} < 2$. Следовательно, $-2 < -\sqrt{2} < -1$. Примерное значение $-\sqrt{2} \approx -1,414$.
• $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$, поэтому $1 < \sqrt{3} < 2$. Примерное значение $\sqrt{3} \approx 1,732$.
Мы ищем целые числа $x$, удовлетворяющие неравенству $-\sqrt{2} < x < \sqrt{3}$ (или примерно $-1,414 < x < 1,732$).
Целые числа в этом диапазоне: -1, 0, 1.
• $x = -1$: $-\sqrt{2} < -1 < \sqrt{3}$. Верно.
• $x = 0$: $-\sqrt{2} < 0 < \sqrt{3}$. Верно.
• $x = 1$: $-\sqrt{2} < 1 < \sqrt{3}$. Верно, так как $1 < \sqrt{3}$ ($1^2 < (\sqrt{3})^2$ или $1 < 3$).
• $x = 2$: $2 > \sqrt{3}$, поэтому не входит. $x = -2$: $-2 < -\sqrt{2}$, поэтому не входит.
Таким образом, в промежуток входят целые числа -1, 0, 1.
Ответ: 3

в) Рассмотрим промежуток $[-\sqrt{3}; \sqrt{6}]$. Это замкнутый промежуток, концы включаются. Оценим значения границ:
• $1 < \sqrt{3} < 2$, поэтому $-2 < -\sqrt{3} < -1$. Примерное значение $-\sqrt{3} \approx -1,732$.
• $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$, поэтому $2 < \sqrt{6} < 3$. Примерное значение $\sqrt{6} \approx 2,449$.
Мы ищем целые числа $x$, удовлетворяющие неравенству $-\sqrt{3} \le x \le \sqrt{6}$ (или примерно $-1,732 \le x \le 2,449$).
Целые числа в этом диапазоне:
• $x = -1$: $-\sqrt{3} \le -1 \le \sqrt{6}$. Верно.
• $x = 0$: $-\sqrt{3} \le 0 \le \sqrt{6}$. Верно.
• $x = 1$: $-\sqrt{3} \le 1 \le \sqrt{6}$. Верно.
• $x = 2$: $-\sqrt{3} \le 2 \le \sqrt{6}$. Верно, так как $2 \le \sqrt{6}$ ($2^2 \le (\sqrt{6})^2$ или $4 \le 6$).
• $x = 3$: $3 > \sqrt{6}$, не входит.
Таким образом, в промежуток входят целые числа -1, 0, 1, 2.
Ответ: 4

г) Рассмотрим промежуток $(\sqrt{7}; 7)$. Это открытый промежуток. Оценим значение левой границы:
• $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$, поэтому $2 < \sqrt{7} < 3$. Примерное значение $\sqrt{7} \approx 2,645$.
Мы ищем целые числа $x$, удовлетворяющие неравенству $\sqrt{7} < x < 7$ (или примерно $2,645 < x < 7$).
Первое целое число, которое больше $\sqrt{7}$, это 3. Последнее целое число, которое меньше 7, это 6, так как правая граница не включается.
Целые числа в этом диапазоне: 3, 4, 5, 6.
Таким образом, в промежуток входят 4 целых числа.
Ответ: 4