Номер 12.1, страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 12. Иррациональные числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 12.1, страница 67.

Условие.

12.1 Является ли данное число иррациональным:

а) $ \sqrt{9} $;

б) $ \sqrt{12} $;

в) $ \sqrt{18} $;

г) $ \sqrt{25} $?

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Иррациональное число — это число, которое не может быть представлено в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Квадратный корень из натурального числа является рациональным числом только в том случае, если подкоренное число является полным квадратом другого натурального числа. В противном случае корень иррационален.

а) $\sqrt{9}$
Проверим, является ли 9 полным квадратом. Да, является, так как $3^2 = 9$.
Следовательно, $\sqrt{9} = 3$.
Число 3 является целым, а значит и рациональным (его можно представить в виде дроби $\frac{3}{1}$). Поэтому $\sqrt{9}$ не является иррациональным числом.
Ответ: нет.

б) $\sqrt{12}$
Проверим, является ли 12 полным квадратом. Ближайшие полные квадраты — это $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$. Так как 12 не является квадратом целого числа, то $\sqrt{12}$ — иррациональное число.
Можно также упростить корень: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$. Поскольку $\sqrt{3}$ — иррациональное число, то и произведение $2\sqrt{3}$ также иррационально.
Ответ: да.

в) $\sqrt{18}$
Проверим, является ли 18 полным квадратом. Ближайшие полные квадраты — это $4^2 = 16$ и $5^2 = 25$. Так как 18 не является квадратом целого числа, то $\sqrt{18}$ — иррациональное число.
Упростим корень: $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$. Поскольку $\sqrt{2}$ — иррациональное число, то и произведение $3\sqrt{2}$ также иррационально.
Ответ: да.

г) $\sqrt{25}$
Проверим, является ли 25 полным квадратом. Да, является, так как $5^2 = 25$.
Следовательно, $\sqrt{25} = 5$.
Число 5 является целым и рациональным числом (его можно представить в виде дроби $\frac{5}{1}$). Поэтому $\sqrt{25}$ не является иррациональным числом.
Ответ: нет.