Номер 12.4, страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 12. Иррациональные числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 12.4, страница 67.

Условие.

12.4 Найдите три иррациональных числа, которые находятся между числами 4 и 5.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Чтобы найти три иррациональных числа между 4 и 5, можно воспользоваться методом, основанным на свойствах квадратных корней. Иррациональное число — это число, которое невозможно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$ (где $p$ и $q$ — целые числа, $q \neq 0$). Квадратный корень из натурального числа является иррациональным, если это число не является точным квадратом.

Мы ищем числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству $4 < x < 5$. Чтобы найти подходящие числа в виде квадратного корня, возведем все части неравенства в квадрат:

$4^2 < x^2 < 5^2$

$16 < x^2 < 25$

Теперь задача сводится к поиску трех чисел $a$, для которых $x = \sqrt{a}$, причем $16 < a < 25$, и $a$ не является точным квадратом.

Выпишем все целые числа, находящиеся в интервале $(16, 25)$:

17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24.

Так как ближайшие точные квадраты это $4^2 = 16$ и $5^2 = 25$, ни одно из чисел в этом списке не является точным квадратом. Следовательно, квадратный корень из любого из этих чисел будет иррациональным и будет находиться в интервале от 4 до 5.

Выберем любые три из них, например, 17, 18 и 19. Получаем следующие иррациональные числа:

1. $\sqrt{17}$. Так как $16 < 17 < 25$, то $4 < \sqrt{17} < 5$.
2. $\sqrt{18}$. Так как $16 < 18 < 25$, то $4 < \sqrt{18} < 5$.
3. $\sqrt{19}$. Так как $16 < 19 < 25$, то $4 < \sqrt{19} < 5$.

Все три числа ($\sqrt{17}, \sqrt{18}, \sqrt{19}$) являются иррациональными и лежат в заданном промежутке. В качестве ответа можно привести любые три числа из набора $\sqrt{17}, \sqrt{18}, \sqrt{19}, \sqrt{20}, \sqrt{21}, \sqrt{22}, \sqrt{23}, \sqrt{24}$.

Ответ: $\sqrt{17}$, $\sqrt{18}$, $\sqrt{19}$.