Номер 12.10, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 12. Иррациональные числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 12.10, страница 68.

Условие.

12.10 Верно ли утверждение, что квадратный корень из рационального числа — иррациональное число?

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Данное утверждение неверно. Чтобы опровергнуть общее утверждение, достаточно привести хотя бы один контрпример.

Рациональным числом называется число, которое можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. Иррациональное число — это действительное число, которое не является рациональным.

Рассмотрим в качестве примера рациональное число $9$. Это рациональное число, так как его можно представить в виде дроби $\frac{9}{1}$. Найдем квадратный корень из этого числа:

$\sqrt{9} = 3$

Число $3$ также является рациональным, поскольку его можно представить в виде дроби $\frac{3}{1}$.

Рассмотрим другой пример — дробное рациональное число $\frac{4}{25}$. Найдем квадратный корень из него:

$\sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}} = \frac{2}{5}$

Число $\frac{2}{5}$ по определению является рациональным.

Таким образом, существуют рациональные числа, квадратные корни из которых также являются рациональными числами. Это опровергает исходное утверждение.

Следует отметить, что квадратный корень из рационального числа может быть и иррациональным. Например, число $2$ — рациональное, однако его квадратный корень $\sqrt{2}$ является иррациональным числом.

В общем случае, квадратный корень из положительного рационального числа $q$ является рациональным числом тогда и только тогда, когда $q$ можно представить в виде квадрата другого рационального числа.

Ответ: нет, утверждение неверно.