Номер 12.15, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 12. Иррациональные числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 12.15, страница 68.

Условие.

12.15 Пусть $r$ — рациональное число, $\alpha$ — иррациональное число. Рациональным или иррациональным является число:

а) $r + \alpha$;

б) $\alpha^2$;

в) $2\alpha$;

г) $r^2 - \alpha^2$?

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

По условию задачи, $r$ — рациональное число, а $\alpha$ — иррациональное число. Напомним, что рациональное число можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное. Иррациональное число так представить нельзя. Сумма, разность и произведение двух рациональных чисел всегда являются рациональными числами. Частное от деления двух рациональных чисел (где делитель не равен нулю) также является рациональным числом.

а) r + α

Докажем от противного. Предположим, что сумма $r + \alpha$ является рациональным числом. Обозначим эту сумму как $s$, где $s$ — рациональное число. Тогда $r + \alpha = s$.

Выразим $\alpha$ из этого равенства: $\alpha = s - r$.

По условию, $r$ — рациональное число. Число $s$ мы предположили рациональным. Разность двух рациональных чисел ($s$ и $r$) также является рациональным числом. Следовательно, $\alpha$ должно быть рациональным числом.

Однако это противоречит исходному условию, что $\alpha$ — иррациональное число. Значит, наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: иррациональное число.

б) α²

Рассмотрим два примера, чтобы определить, может ли $\alpha^2$ быть как рациональным, так и иррациональным числом.

1. Пусть иррациональное число $\alpha = \sqrt{2}$. Тогда $\alpha^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$. Число 2 является рациональным.

2. Пусть иррациональное число $\alpha = \sqrt[4]{2}$. Тогда $\alpha^2 = (\sqrt[4]{2})^2 = \sqrt{2}$. Число $\sqrt{2}$ является иррациональным.

Поскольку результат зависит от выбора иррационального числа $\alpha$, однозначно определить, является ли $\alpha^2$ рациональным или иррациональным, невозможно.

Ответ: может быть как рациональным, так и иррациональным числом.

в) 2α

Докажем от противного. Предположим, что произведение $2\alpha$ является рациональным числом. Обозначим это произведение как $s$, где $s$ — рациональное число. Тогда $2\alpha = s$.

Выразим $\alpha$ из этого равенства: $\alpha = \frac{s}{2}$.

Число $s$ мы предположили рациональным. Число 2 также является рациональным (и не равно нулю). Частное от деления рационального числа на другое ненулевое рациональное число всегда является рациональным числом. Следовательно, $\alpha$ должно быть рациональным числом.

Это противоречит исходному условию, что $\alpha$ — иррациональное число. Значит, наше предположение было неверным.

Ответ: иррациональное число.

г) r² - α²

Рассмотрим, каким может быть это выражение. Поскольку $r$ — рациональное число, его квадрат $r^2$ также является рациональным числом. Задача сводится к анализу разности $q - \alpha^2$, где $q = r^2$ — рациональное число.

Как мы показали в пункте б), число $\alpha^2$ может быть как рациональным, так и иррациональным.

1. Если $\alpha^2$ — рациональное число. Например, пусть $r = 3$ и $\alpha = \sqrt{2}$. Тогда $r^2 - \alpha^2 = 3^2 - (\sqrt{2})^2 = 9 - 2 = 7$. Число 7 является рациональным.

2. Если $\alpha^2$ — иррациональное число. Например, пусть $r = 3$ и $\alpha = \sqrt[4]{2}$. Тогда $\alpha^2 = \sqrt{2}$, что является иррациональным числом. В этом случае $r^2 - \alpha^2 = 3^2 - \sqrt{2} = 9 - \sqrt{2}$. Эта разность является иррациональным числом (согласно свойству, доказанному в пункте а), разность рационального и иррационального чисел иррациональна).

Поскольку результат зависит от выбора иррационального числа $\alpha$, однозначно определить, является ли $r^2 - \alpha^2$ рациональным или иррациональным, невозможно.

Ответ: может быть как рациональным, так и иррациональным числом.