Номер 13.3, страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Параграф 13. Множество действительных чисел - номер 13.3, страница 69.

Условие.

13.3 Почему соответствие между множеством всех точек координатной прямой и множеством всех рациональных чисел нельзя назвать взаимно однозначным? Какие числа необходимо добавить к множеству рациональных чисел, чтобы каждой точке прямой соответствовало определённое число?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Почему соответствие между множеством всех точек координатной прямой и множеством всех рациональных чисел нельзя назвать взаимно однозначным?

Взаимно однозначное соответствие (также называемое биекцией) между двумя множествами устанавливается тогда, когда каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, и наоборот, каждому элементу второго множества соответствует ровно один элемент первого.

Рассмотрим два множества: множество всех точек на координатной прямой и множество всех рациональных чисел ($\mathbb{Q}$). Рациональное число — это любое число, которое можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число.

Каждому рациональному числу, например $\frac{3}{4}$, действительно соответствует одна-единственная точка на координатной прямой. Однако обратное неверно: не каждой точке на координатной прямой можно сопоставить рациональное число. Существуют точки, координаты которых выражаются числами, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби. Такие числа называются иррациональными.

Наглядным примером служит число $\sqrt{2}$. Длину, равную $\sqrt{2}$, имеет диагональ квадрата со стороной 1. Если отложить отрезок такой длины от начала координат по координатной прямой, мы получим точку. Однако математически доказано, что число $\sqrt{2}$ является иррациональным. Это означает, что на координатной прямой есть точка с координатой $\sqrt{2}$, но в множестве рациональных чисел нет числа, которое ей соответствует.

Так как существуют точки на прямой, для которых не нашлось соответствующего рационального числа, то соответствие между этими двумя множествами не является взаимно однозначным.

Ответ: Соответствие не является взаимно однозначным, потому что существуют точки на координатной прямой (например, точка с координатой $\sqrt{2}$ или $\pi$), которым не соответствует ни одно рациональное число.

Какие числа необходимо добавить к множеству рациональных чисел, чтобы каждой точке прямой соответствовало определённое число?

Чтобы каждой точке на координатной прямой соответствовало некоторое число, необходимо к множеству рациональных чисел добавить все те числа, которые "заполняют" пробелы между рациональными точками. Эти числа, как было сказано выше, являются иррациональными.

Иррациональные числа — это все числа, которые не являются рациональными (например, $\sqrt{3}$, $\pi$, $e$). В виде десятичной дроби они представляются как бесконечные непериодические дроби.

Когда мы объединяем множество рациональных чисел ($\mathbb{Q}$) и множество иррациональных чисел ($\mathbb{I}$), мы получаем множество действительных (или вещественных) чисел, обозначаемое как $\mathbb{R}$.

Именно множество действительных чисел находится во взаимно однозначном соответствии со всеми точками координатной прямой. Это значит, что теперь каждой точке на прямой соответствует уникальное действительное число, и каждому действительному числу — уникальная точка на прямой.

Ответ: К множеству рациональных чисел необходимо добавить множество всех иррациональных чисел. В результате получится множество действительных чисел, которое и находится во взаимно однозначном соответствии со всеми точками координатной прямой.