Номер 13.2, страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Параграф 13. Множество действительных чисел - номер 13.2, страница 69.

Условие.

13.2 Назовите, если это возможно, несколько общих элементов:

а) множества рациональных и множества действительных чисел;

б) множества целых чисел и множества действительных чисел;

в) множества иррациональных и множества действительных чисел;

г) множества натуральных и множества иррациональных чисел.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) множества рациональных и множества действительных чисел;
Множество действительных чисел ($R$) является объединением множества рациональных чисел ($Q$) и множества иррациональных чисел ($I$). Таким образом, множество рациональных чисел является подмножеством множества действительных чисел ($Q \subset R$). Это означает, что любое рациональное число одновременно является и действительным числом. Следовательно, общими элементами этих двух множеств являются все без исключения рациональные числа.
В качестве примеров можно привести любые целые числа, конечные десятичные дроби или бесконечные периодические дроби.
Примеры: $5$ (можно записать как $\frac{5}{1}$), $-2,5$ (можно записать как $-\frac{5}{2}$), $0$, $\frac{1}{3}$ (бесконечная периодическая дробь $0.333...$).
Ответ: $5$; $-2,5$; $0$; $\frac{1}{3}$.

б) множества целых чисел и множества действительных чисел;
Множество целых чисел ($Z$) включает в себя натуральные числа, им противоположные и ноль. Множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел ($Z \subset Q$), а те, в свою очередь, являются подмножеством действительных ($Q \subset R$). Следовательно, множество целых чисел также является подмножеством множества действительных чисел ($Z \subset R$). Каждое целое число является действительным числом. Таким образом, все целые числа являются общими элементами для этих двух множеств.
Примеры: $-100$, $-8$, $0$, $45$.
Ответ: $-100$; $-8$; $0$; $45$.

в) множества иррациональных и множества действительных чисел;
Множество иррациональных чисел ($I$) — это действительные числа, которые не являются рациональными. Их нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое, а $n$ — натуральное число. По определению, множество иррациональных чисел является подмножеством множества действительных чисел ($I \subset R$). Любое иррациональное число является и действительным числом. Значит, все иррациональные числа являются общими элементами для этих двух множеств.
Примерами служат непериодические бесконечные десятичные дроби, такие как корни из чисел, не являющихся точными квадратами, или математические константы.
Примеры: $\sqrt{2}$, $\pi$, $\sqrt{7}$, $e$.
Ответ: $\sqrt{2}$; $\pi$; $\sqrt{7}$; $e$.

г) множества натуральных и множества иррациональных чисел.
Множество натуральных чисел ($N$) — это числа, используемые при счете: $1, 2, 3, ...$. Все натуральные числа являются рациональными, так как любое натуральное число $n$ можно представить в виде дроби $\frac{n}{1}$. Множество иррациональных чисел ($I$) — это действительные числа, которые по определению не являются рациональными.
Таким образом, множества рациональных и иррациональных чисел не имеют общих элементов (их пересечение пусто: $Q \cap I = \emptyset$). Так как все натуральные числа являются рациональными ($N \subset Q$), они не могут одновременно быть иррациональными. Следовательно, у множества натуральных и множества иррациональных чисел нет общих элементов.
Ответ: Назвать общие элементы невозможно, так как их не существует.