Номер 12.12, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 12. Иррациональные числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 12.12, страница 68.

Условие.

12.12 Поясните, почему является иррациональным заданное число:

а) $5 + \sqrt{3}$;

б) $7 - \sqrt{2}$;

в) $1 + \sqrt{8}$;

г) $3 - \sqrt{5}$.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Общий принцип, который используется для решения всех пунктов, заключается в следующем: сумма или разность рационального и иррационального чисел всегда является иррациональным числом. Доказательство для каждого случая строится методом от противного.

а)

Предположим, что число $5 + \sqrt{3}$ является рациональным. Тогда его можно представить в виде некоторого рационального числа $r$.

$5 + \sqrt{3} = r$

Выразим из этого равенства $\sqrt{3}$:

$\sqrt{3} = r - 5$

В правой части этого равенства находится разность двух рациональных чисел ($r$ и 5). Результат вычитания рациональных чисел всегда является рациональным числом. Следовательно, $r - 5$ — рациональное число.

В левой части стоит число $\sqrt{3}$, которое является иррациональным (поскольку 3 не является полным квадратом целого числа).

Мы получили противоречие: иррациональное число равно рациональному. Это означает, что наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: число $5 + \sqrt{3}$ является иррациональным, так как представляет собой сумму рационального числа (5) и иррационального числа ($\sqrt{3}$).

б)

Предположим, что число $7 - \sqrt{2}$ является рациональным. Тогда оно равно некоторому рациональному числу $r$.

$7 - \sqrt{2} = r$

Выразим из этого равенства $\sqrt{2}$:

$\sqrt{2} = 7 - r$

В правой части равенства стоит разность двух рациональных чисел (7 и $r$), которая также является рациональным числом.

В левой части стоит число $\sqrt{2}$, которое является иррациональным (так как 2 не является полным квадратом целого числа).

Мы пришли к противоречию: иррациональное число $\sqrt{2}$ равно рациональному числу $7 - r$. Значит, наше исходное предположение неверно.

Ответ: число $7 - \sqrt{2}$ является иррациональным, так как представляет собой разность рационального числа (7) и иррационального числа ($\sqrt{2}$).

в)

Сначала упростим выражение: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$. Таким образом, исходное число равно $1 + 2\sqrt{2}$.

Предположим, что число $1 + 2\sqrt{2}$ является рациональным. Обозначим его через $r$.

$1 + 2\sqrt{2} = r$

Выразим из этого равенства слагаемое с корнем, а затем и сам корень:

$2\sqrt{2} = r - 1$

$\sqrt{2} = \frac{r - 1}{2}$

В правой части этого равенства находится выражение, которое является рациональным числом, так как разность рациональных чисел ($r-1$) рациональна, и частное от деления рационального числа на рациональное число 2 также рационально.

В левой части стоит иррациональное число $\sqrt{2}$.

Полученное противоречие (иррациональное число равно рациональному) доказывает, что наше предположение было ошибочным.

Ответ: число $1 + \sqrt{8}$ является иррациональным. Оно состоит из рациональной части (1) и иррациональной части ($\sqrt{8}$), а их сумма иррациональна.

г)

Предположим, что число $3 - \sqrt{5}$ рационально. Это значит, что его можно представить в виде рационального числа $r$.

$3 - \sqrt{5} = r$

Выразим из равенства $\sqrt{5}$:

$\sqrt{5} = 3 - r$

В правой части равенства стоит разность двух рациональных чисел (3 и $r$). Результат этой операции также является рациональным числом.

В левой части стоит число $\sqrt{5}$, которое иррационально (поскольку 5 не является полным квадратом целого числа).

Таким образом, мы получили противоречие: иррациональное число равно рациональному. Это значит, что наше допущение было неверным.

Ответ: число $3 - \sqrt{5}$ является иррациональным, так как представляет собой разность рационального числа (3) и иррационального числа ($\sqrt{5}$).