Номер 12.9, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 12. Иррациональные числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 12.9, страница 68.

Условие.

12.9 a) Приведите пример двух иррациональных чисел, произведение которых — рациональное число.

б) Приведите пример двух иррациональных чисел, произведение которых — иррациональное число.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы найти два иррациональных числа, произведение которых является рациональным, можно рассмотреть несколько подходов. Иррациональное число — это число, которое не может быть представлено в виде обыкновенной дроби $m/n$, где $m$ и $n$ — целые числа. Примерами служат корни из чисел, не являющихся точными квадратами, например, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ и т.д.

Способ 1: Умножение иррационального числа на само себя.

Возьмем иррациональное число $\sqrt{2}$. Умножим его на само себя:

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 = 2$.

Число 2 является рациональным. Таким образом, числа $\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$ — искомый пример.

Способ 2: Использование сопряженных выражений.

Возьмем два иррациональных числа: $3 + \sqrt{5}$ и $3 - \sqrt{5}$. Их произведение найдем по формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5}) = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4$.

Число 4 также является рациональным.

Ответ: $\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$.

б)

Чтобы найти два иррациональных числа, произведение которых также иррационально, можно взять два "разных" корня.

Возьмем два иррациональных числа: $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$.

Найдем их произведение, используя свойство корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$:

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{6}$.

Так как число 6 не является точным квадратом целого числа, $\sqrt{6}$ является иррациональным числом. Таким образом, мы нашли два иррациональных числа, произведение которых также иррационально.

Ответ: $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$.