Номер 12.13, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 12. Иррациональные числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 12.13, страница 68.

Условие.

12.13 Докажите, что сумма рационального и иррационального чисел есть число иррациональное.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Пусть у нас есть рациональное число $r$ и иррациональное число $i$.

По определению, любое рациональное число $r$ можно представить в виде несократимой дроби $r = \frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m \in \mathbb{Z}$), а $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$). Иррациональное число $i$ представить в таком виде невозможно.

Рассмотрим их сумму, которую обозначим как $S$: $S = r + i$

Теперь сделаем предположение, противоречащее доказываемому утверждению: предположим, что сумма $S$ является рациональным числом. Если $S$ — рациональное число, то его также можно представить в виде дроби $S = \frac{p}{q}$, где $p \in \mathbb{Z}$ и $q \in \mathbb{N}$.

Из равенства $S = r + i$ выразим иррациональное число $i$: $i = S - r$

Подставим в это равенство представления чисел $S$ и $r$ в виде дробей: $i = \frac{p}{q} - \frac{m}{n}$

Выполним вычитание дробей, приведя их к общему знаменателю: $i = \frac{pn - mq}{qn}$

Проанализируем полученное выражение. Так как $p, n, m, q$ являются целыми числами, то их произведения ($pn$ и $mq$) и их разность ($pn - mq$) также являются целыми числами. Знаменатель $qn$ является произведением двух натуральных чисел, поэтому он также является натуральным (и, следовательно, целым и не равным нулю) числом.

Таким образом, мы представили число $i$ в виде дроби $\frac{pn - mq}{qn}$, где числитель — целое число, а знаменатель — целое, не равное нулю, число. По определению, это означает, что число $i$ является рациональным.

Это приводит к противоречию, поскольку по нашему первоначальному условию число $i$ является иррациональным. Противоречие возникло из-за нашего неверного предположения о том, что сумма $S$ рациональна.

Следовательно, исходное предположение неверно, а это значит, что сумма рационального и иррационального чисел не может быть рациональным числом. Она обязана быть иррациональной.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма рационального и иррационального чисел всегда является иррациональным числом.