Номер 12.7, страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 12. Иррациональные числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 12.7, страница 67.

Условие.

12.7 Докажите, что:

а) сумма иррациональных чисел $6 + \sqrt{2}$ и $6 - \sqrt{2}$ является рациональным числом;

б) произведение иррациональных чисел $2 + \sqrt{3}$ и $2 - \sqrt{3}$ является рациональным числом;

в) сумма иррациональных чисел $3 + 2\sqrt{5}$ и $3 - 2\sqrt{5}$ является рациональным числом;

г) произведение иррациональных чисел $\sqrt{7 - \sqrt{27}}$ и $\sqrt{7 + \sqrt{27}}$ является рациональным числом.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для того чтобы доказать, что сумма иррациональных чисел $6 + \sqrt{2}$ и $6 - \sqrt{2}$ является рациональным числом, необходимо найти их сумму.

Сначала убедимся, что оба числа иррациональны. Число $\sqrt{2}$ является иррациональным. Сумма и разность рационального числа (6) и иррационального числа ($\sqrt{2}$) всегда является иррациональным числом. Следовательно, числа $6 + \sqrt{2}$ и $6 - \sqrt{2}$ иррациональны.

Найдем их сумму:

$(6 + \sqrt{2}) + (6 - \sqrt{2}) = 6 + \sqrt{2} + 6 - \sqrt{2} = (6 + 6) + (\sqrt{2} - \sqrt{2}) = 12 + 0 = 12$.

Число 12 является рациональным, так как его можно представить в виде дроби $\frac{12}{1}$. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Сумма равна 12, что является рациональным числом.

б) Для доказательства того, что произведение иррациональных чисел $2 + \sqrt{3}$ и $2 - \sqrt{3}$ является рациональным числом, найдем их произведение.

Число $\sqrt{3}$ иррационально. Следовательно, числа $2 + \sqrt{3}$ и $2 - \sqrt{3}$ также иррациональны (как сумма/разность рационального и иррационального чисел).

Найдем их произведение, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.

Число 1 является рациональным, так как его можно представить в виде дроби $\frac{1}{1}$. Утверждение доказано.

Ответ: Произведение равно 1, что является рациональным числом.

в) Чтобы доказать, что сумма иррациональных чисел $3 + 2\sqrt{5}$ и $3 - 2\sqrt{5}$ является рациональным числом, найдем их сумму.

Число $\sqrt{5}$ иррационально, следовательно, $2\sqrt{5}$ тоже иррационально. Сумма и разность рационального числа (3) и иррационального числа ($2\sqrt{5}$) являются иррациональными числами. Значит, $3 + 2\sqrt{5}$ и $3 - 2\sqrt{5}$ — иррациональные числа.

Найдем их сумму:

$(3 + 2\sqrt{5}) + (3 - 2\sqrt{5}) = 3 + 2\sqrt{5} + 3 - 2\sqrt{5} = (3 + 3) + (2\sqrt{5} - 2\sqrt{5}) = 6 + 0 = 6$.

Число 6 является рациональным ($\frac{6}{1}$). Утверждение доказано.

Ответ: Сумма равна 6, что является рациональным числом.

г) Для доказательства того, что произведение иррациональных чисел $\sqrt{7} - \sqrt{27}$ и $\sqrt{7} + \sqrt{27}$ является рациональным числом, найдем их произведение.

Числа $\sqrt{7}$ и $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$ являются иррациональными. Их сумма и разность также являются иррациональными числами.

Найдем их произведение, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(\sqrt{7} - \sqrt{27})(\sqrt{7} + \sqrt{27}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{27})^2 = 7 - 27 = -20$.

Число -20 является рациональным, так как его можно представить в виде дроби $\frac{-20}{1}$. Утверждение доказано.

Ответ: Произведение равно -20, что является рациональным числом.