Страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

12.1 Является ли данное число иррациональным:

а) $ \sqrt{9} $;

б) $ \sqrt{12} $;

в) $ \sqrt{18} $;

г) $ \sqrt{25} $?

Иррациональное число — это число, которое не может быть представлено в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Квадратный корень из натурального числа является рациональным числом только в том случае, если подкоренное число является полным квадратом другого натурального числа. В противном случае корень иррационален.

а) $\sqrt{9}$
Проверим, является ли 9 полным квадратом. Да, является, так как $3^2 = 9$.
Следовательно, $\sqrt{9} = 3$.
Число 3 является целым, а значит и рациональным (его можно представить в виде дроби $\frac{3}{1}$). Поэтому $\sqrt{9}$ не является иррациональным числом.
Ответ: нет.

б) $\sqrt{12}$
Проверим, является ли 12 полным квадратом. Ближайшие полные квадраты — это $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$. Так как 12 не является квадратом целого числа, то $\sqrt{12}$ — иррациональное число.
Можно также упростить корень: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$. Поскольку $\sqrt{3}$ — иррациональное число, то и произведение $2\sqrt{3}$ также иррационально.
Ответ: да.

в) $\sqrt{18}$
Проверим, является ли 18 полным квадратом. Ближайшие полные квадраты — это $4^2 = 16$ и $5^2 = 25$. Так как 18 не является квадратом целого числа, то $\sqrt{18}$ — иррациональное число.
Упростим корень: $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$. Поскольку $\sqrt{2}$ — иррациональное число, то и произведение $3\sqrt{2}$ также иррационально.
Ответ: да.

г) $\sqrt{25}$
Проверим, является ли 25 полным квадратом. Да, является, так как $5^2 = 25$.
Следовательно, $\sqrt{25} = 5$.
Число 5 является целым и рациональным числом (его можно представить в виде дроби $\frac{5}{1}$). Поэтому $\sqrt{25}$ не является иррациональным числом.
Ответ: нет.

12.2 Проверьте справедливость соотношения:

а) $6,1 < \sqrt{38} < 6,2$;

б) $10,5 < \sqrt{111} < 10,6$;

в) $4,4 < \sqrt{20} < 4,5$;

г) $21,5 < \sqrt{463} < 21,6$.

а)

Чтобы проверить справедливость двойного неравенства $6,1 < \sqrt{38} < 6,2$, возведем все его части в квадрат. Поскольку все части неравенства являются положительными числами, знаки неравенства при возведении в квадрат сохранятся.

Получаем следующее неравенство: $6,1^2 < (\sqrt{38})^2 < 6,2^2$.

Выполним вычисления:

$6,1^2 = 6,1 \times 6,1 = 37,21$.

$(\sqrt{38})^2 = 38$.

$6,2^2 = 6,2 \times 6,2 = 38,44$.

Теперь подставим полученные значения обратно в неравенство:

$37,21 < 38 < 38,44$.

Данное неравенство является верным, так как число $38$ находится между $37,21$ и $38,44$. Следовательно, исходное соотношение справедливо.

Ответ: соотношение справедливо.

б)

Проверим справедливость соотношения $10,5 < \sqrt{111} < 10,6$. Для этого возведем все части двойного неравенства в квадрат:

$10,5^2 < (\sqrt{111})^2 < 10,6^2$.

Вычислим значения квадратов:

$10,5^2 = 10,5 \times 10,5 = 110,25$.

$(\sqrt{111})^2 = 111$.

$10,6^2 = 10,6 \times 10,6 = 112,36$.

Подставим результаты в неравенство:

$110,25 < 111 < 112,36$.

Это неравенство верно, так как $111$ больше $110,25$ и меньше $112,36$. Таким образом, исходное соотношение является справедливым.

Ответ: соотношение справедливо.

в)

Проверим соотношение $4,4 < \sqrt{20} < 4,5$. Возведем все части неравенства в квадрат:

$4,4^2 < (\sqrt{20})^2 < 4,5^2$.

Вычислим значения:

$4,4^2 = 4,4 \times 4,4 = 19,36$.

$(\sqrt{20})^2 = 20$.

$4,5^2 = 4,5 \times 4,5 = 20,25$.

Подставим полученные значения в неравенство:

$19,36 < 20 < 20,25$.

Неравенство является верным, так как $20$ находится в интервале от $19,36$ до $20,25$. Следовательно, исходное соотношение справедливо.

Ответ: соотношение справедливо.

г)

Проверим справедливость соотношения $21,5 < \sqrt{463} < 21,6$. Возведем все части неравенства в квадрат:

$21,5^2 < (\sqrt{463})^2 < 21,6^2$.

Вычислим значения квадратов:

$21,5^2 = 21,5 \times 21,5 = 462,25$.

$(\sqrt{463})^2 = 463$.

$21,6^2 = 21,6 \times 21,6 = 466,56$.

Подставим вычисленные значения в неравенство:

$462,25 < 463 < 466,56$.

Данное неравенство является верным, так как число $463$ действительно больше $462,25$ и меньше $466,56$. Это подтверждает справедливость исходного соотношения.

Ответ: соотношение справедливо.

12.3 Между какими целыми числами находится число $\sqrt{7}$?

12.3

Чтобы определить, между какими целыми числами находится число $ \sqrt{7} $, необходимо найти два последовательных целых числа, $n$ и $n+1$, для которых выполняется двойное неравенство:

$ n < \sqrt{7} < n+1 $

Поскольку все части этого неравенства являются положительными числами, мы можем возвести их в квадрат, при этом знаки неравенства сохранятся:

$ n^2 < (\sqrt{7})^2 < (n+1)^2 $

Вычислим значение выражения в центре неравенства:

$ (\sqrt{7})^2 = 7 $

Теперь неравенство принимает вид:

$ n^2 < 7 < (n+1)^2 $

Таким образом, задача сводится к поиску двух последовательных полных квадратов (то есть квадратов целых чисел), между которыми находится число 7. Рассмотрим квадраты целых чисел по порядку:

$ 1^2 = 1 $

$ 2^2 = 4 $

$ 3^2 = 9 $

Мы видим, что число 7 расположено между числами 4 и 9:

$ 4 < 7 < 9 $

Так как $ 4 = 2^2 $ и $ 9 = 3^2 $, мы можем записать это неравенство следующим образом:

$ 2^2 < 7 < 3^2 $

Теперь извлечем квадратный корень из всех частей этого неравенства, чтобы вернуться к исходному числу $ \sqrt{7} $:

$ \sqrt{2^2} < \sqrt{7} < \sqrt{3^2} $

Это приводит нас к следующему результату:

$ 2 < \sqrt{7} < 3 $

Следовательно, число $ \sqrt{7} $ находится между целыми числами 2 и 3.

Ответ: между числами 2 и 3.

12.4 Найдите три иррациональных числа, которые находятся между числами 4 и 5.

Чтобы найти три иррациональных числа между 4 и 5, можно воспользоваться методом, основанным на свойствах квадратных корней. Иррациональное число — это число, которое невозможно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$ (где $p$ и $q$ — целые числа, $q \neq 0$). Квадратный корень из натурального числа является иррациональным, если это число не является точным квадратом.

Мы ищем числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству $4 < x < 5$. Чтобы найти подходящие числа в виде квадратного корня, возведем все части неравенства в квадрат:

$4^2 < x^2 < 5^2$

$16 < x^2 < 25$

Теперь задача сводится к поиску трех чисел $a$, для которых $x = \sqrt{a}$, причем $16 < a < 25$, и $a$ не является точным квадратом.

Выпишем все целые числа, находящиеся в интервале $(16, 25)$:

17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24.

Так как ближайшие точные квадраты это $4^2 = 16$ и $5^2 = 25$, ни одно из чисел в этом списке не является точным квадратом. Следовательно, квадратный корень из любого из этих чисел будет иррациональным и будет находиться в интервале от 4 до 5.

Выберем любые три из них, например, 17, 18 и 19. Получаем следующие иррациональные числа:

1. $\sqrt{17}$. Так как $16 < 17 < 25$, то $4 < \sqrt{17} < 5$.
2. $\sqrt{18}$. Так как $16 < 18 < 25$, то $4 < \sqrt{18} < 5$.
3. $\sqrt{19}$. Так как $16 < 19 < 25$, то $4 < \sqrt{19} < 5$.

Все три числа ($\sqrt{17}, \sqrt{18}, \sqrt{19}$) являются иррациональными и лежат в заданном промежутке. В качестве ответа можно привести любые три числа из набора $\sqrt{17}, \sqrt{18}, \sqrt{19}, \sqrt{20}, \sqrt{21}, \sqrt{22}, \sqrt{23}, \sqrt{24}$.

Ответ: $\sqrt{17}$, $\sqrt{18}$, $\sqrt{19}$.

Сравните числа:

12.5 a) $\sqrt{7}$ и 3;

б) $\sqrt{17,3}$ и 4;

в) $\sqrt{5}$ и 2;

г) $\sqrt{10}$ и 3,16.

а) Чтобы сравнить числа $\sqrt{7}$ и $3$, воспользуемся свойством монотонного возрастания функции $y=x^2$ для неотрицательных чисел. Это означает, что для положительных чисел большему квадрату соответствует большее число. Сравним квадраты данных чисел.
Квадрат числа $\sqrt{7}$ равен $(\sqrt{7})^2 = 7$.
Квадрат числа $3$ равен $3^2 = 9$.
Поскольку $7 < 9$, то и $\sqrt{7} < \sqrt{9}$, а значит $\sqrt{7} < 3$.
Ответ: $\sqrt{7} < 3$.

б) Чтобы сравнить числа $\sqrt{17,3}$ и $4$, возведем оба числа в квадрат.
Квадрат числа $\sqrt{17,3}$ равен $(\sqrt{17,3})^2 = 17,3$.
Квадрат числа $4$ равен $4^2 = 16$.
Сравнивая квадраты, получаем $17,3 > 16$.
Поскольку квадраты чисел находятся в таком соотношении, то и сами положительные числа находятся в таком же соотношении: $\sqrt{17,3} > 4$.
Ответ: $\sqrt{17,3} > 4$.

в) Чтобы сравнить числа $\sqrt{5}$ и $2$, возведем их в квадрат.
Квадрат числа $\sqrt{5}$ равен $(\sqrt{5})^2 = 5$.
Квадрат числа $2$ равен $2^2 = 4$.
Так как $5 > 4$, то и $\sqrt{5} > \sqrt{4}$.
Следовательно, $\sqrt{5} > 2$.
Ответ: $\sqrt{5} > 2$.

г) Чтобы сравнить числа $\sqrt{10}$ и $3,16$, возведем оба числа в квадрат.
Квадрат числа $\sqrt{10}$ равен $(\sqrt{10})^2 = 10$.
Квадрат числа $3,16$ равен $3,16^2 = 3,16 \times 3,16 = 9,9856$.
Сравниваем полученные результаты: $10 > 9,9856$.
Так как $10 > 9,9856$, то и $\sqrt{10} > \sqrt{9,9856}$, а значит $\sqrt{10} > 3,16$.
Ответ: $\sqrt{10} > 3,16$.

12.6 a) $−\sqrt{12}$ и $-4$;

б) $−\sqrt{25.6}$ и $-5$;

в) $−\sqrt{19}$ и $-4.5$;

г) $−\sqrt{37}$ и $-6.1$.

Чтобы сравнить два отрицательных числа, нужно сравнить их модули (абсолютные величины). То число будет больше, у которого модуль меньше.

Сравним числа $-\sqrt{12}$ и $-4$.

Для этого сначала сравним их модули, то есть положительные числа $\sqrt{12}$ и $4$.

Представим число $4$ в виде квадратного корня, возведя его в квадрат: $4 = \sqrt{4^2} = \sqrt{16}$.

Теперь сравним подкоренные выражения: $12$ и $16$.

Так как $12 < 16$, то и $\sqrt{12} < \sqrt{16}$.

Следовательно, $\sqrt{12} < 4$.

Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Так как $|\text{-}\sqrt{12}| < |-4|$, то $-\sqrt{12} > -4$.

Ответ: $-\sqrt{12} > -4$.

Сравним числа $-\sqrt{25,6}$ и $-5$.

Сначала сравним их модули: $\sqrt{25,6}$ и $5$.

Представим число $5$ в виде корня: $5 = \sqrt{5^2} = \sqrt{25}$.

Теперь сравним подкоренные выражения: $25,6$ и $25$.

Так как $25,6 > 25$, то $\sqrt{25,6} > \sqrt{25}$.

Следовательно, $\sqrt{25,6} > 5$.

Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. В данном случае модуль числа $-\sqrt{25,6}$ больше модуля числа $-5$.

Таким образом, $-\sqrt{25,6} < -5$.

Ответ: $-\sqrt{25,6} < -5$.

Сравним числа $-\sqrt{19}$ и $-4,5$.

Сравним их модули: $\sqrt{19}$ и $4,5$.

Для этого возведем число $4,5$ в квадрат: $(4,5)^2 = 20,25$. Значит, $4,5 = \sqrt{20,25}$.

Теперь сравним подкоренные выражения: $19$ и $20,25$.

Поскольку $19 < 20,25$, то $\sqrt{19} < \sqrt{20,25}$.

Следовательно, $\sqrt{19} < 4,5$.

Так как мы сравниваем отрицательные числа, и модуль числа $-\sqrt{19}$ меньше модуля числа $-4,5$, то первое число больше второго.

Поэтому $-\sqrt{19} > -4,5$.

Ответ: $-\sqrt{19} > -4,5$.

Сравним числа $-\sqrt{37}$ и $-6,1$.

Сравним их модули: $\sqrt{37}$ и $6,1$.

Возведем $6,1$ в квадрат, чтобы представить его в виде корня: $(6,1)^2 = 37,21$.

Следовательно, $6,1 = \sqrt{37,21}$.

Теперь сравним подкоренные выражения: $37$ и $37,21$.

Так как $37 < 37,21$, то $\sqrt{37} < \sqrt{37,21}$.

Значит, $\sqrt{37} < 6,1$.

При переходе к отрицательным числам знак неравенства меняется. Так как модуль $-\sqrt{37}$ меньше модуля $-6,1$, то само число $-\sqrt{37}$ больше.

Таким образом, $-\sqrt{37} > -6,1$.

Ответ: $-\sqrt{37} > -6,1$.

12.7 Докажите, что:

а) сумма иррациональных чисел $6 + \sqrt{2}$ и $6 - \sqrt{2}$ является рациональным числом;

б) произведение иррациональных чисел $2 + \sqrt{3}$ и $2 - \sqrt{3}$ является рациональным числом;

в) сумма иррациональных чисел $3 + 2\sqrt{5}$ и $3 - 2\sqrt{5}$ является рациональным числом;

г) произведение иррациональных чисел $\sqrt{7 - \sqrt{27}}$ и $\sqrt{7 + \sqrt{27}}$ является рациональным числом.

а) Для того чтобы доказать, что сумма иррациональных чисел $6 + \sqrt{2}$ и $6 - \sqrt{2}$ является рациональным числом, необходимо найти их сумму.

Сначала убедимся, что оба числа иррациональны. Число $\sqrt{2}$ является иррациональным. Сумма и разность рационального числа (6) и иррационального числа ($\sqrt{2}$) всегда является иррациональным числом. Следовательно, числа $6 + \sqrt{2}$ и $6 - \sqrt{2}$ иррациональны.

Найдем их сумму:

$(6 + \sqrt{2}) + (6 - \sqrt{2}) = 6 + \sqrt{2} + 6 - \sqrt{2} = (6 + 6) + (\sqrt{2} - \sqrt{2}) = 12 + 0 = 12$.

Число 12 является рациональным, так как его можно представить в виде дроби $\frac{12}{1}$. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Сумма равна 12, что является рациональным числом.

б) Для доказательства того, что произведение иррациональных чисел $2 + \sqrt{3}$ и $2 - \sqrt{3}$ является рациональным числом, найдем их произведение.

Число $\sqrt{3}$ иррационально. Следовательно, числа $2 + \sqrt{3}$ и $2 - \sqrt{3}$ также иррациональны (как сумма/разность рационального и иррационального чисел).

Найдем их произведение, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.

Число 1 является рациональным, так как его можно представить в виде дроби $\frac{1}{1}$. Утверждение доказано.

Ответ: Произведение равно 1, что является рациональным числом.

в) Чтобы доказать, что сумма иррациональных чисел $3 + 2\sqrt{5}$ и $3 - 2\sqrt{5}$ является рациональным числом, найдем их сумму.

Число $\sqrt{5}$ иррационально, следовательно, $2\sqrt{5}$ тоже иррационально. Сумма и разность рационального числа (3) и иррационального числа ($2\sqrt{5}$) являются иррациональными числами. Значит, $3 + 2\sqrt{5}$ и $3 - 2\sqrt{5}$ — иррациональные числа.

Найдем их сумму:

$(3 + 2\sqrt{5}) + (3 - 2\sqrt{5}) = 3 + 2\sqrt{5} + 3 - 2\sqrt{5} = (3 + 3) + (2\sqrt{5} - 2\sqrt{5}) = 6 + 0 = 6$.

Число 6 является рациональным ($\frac{6}{1}$). Утверждение доказано.

Ответ: Сумма равна 6, что является рациональным числом.

г) Для доказательства того, что произведение иррациональных чисел $\sqrt{7} - \sqrt{27}$ и $\sqrt{7} + \sqrt{27}$ является рациональным числом, найдем их произведение.

Числа $\sqrt{7}$ и $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$ являются иррациональными. Их сумма и разность также являются иррациональными числами.

Найдем их произведение, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(\sqrt{7} - \sqrt{27})(\sqrt{7} + \sqrt{27}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{27})^2 = 7 - 27 = -20$.

Число -20 является рациональным, так как его можно представить в виде дроби $\frac{-20}{1}$. Утверждение доказано.

Ответ: Произведение равно -20, что является рациональным числом.