Страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

10.24 Дан интервал $(-2,5; 1,7)$. Укажите:

а) целое число, принадлежащее этому интервалу;

б) положительное число, принадлежащее этому интервалу;

в) целое отрицательное число, не принадлежащее этому интервалу;

г) положительное рациональное число, не принадлежащее этому интервалу.

Дан интервал $x \in (-2,5; 1,7)$, что означает, что число $x$ должно удовлетворять двойному неравенству $-2,5 < x < 1,7$. Концевые точки $-2,5$ и $1,7$ не входят в интервал.

а) целое число, принадлежащее этому интервалу;

Целые числа — это числа ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, ... . Нам нужно найти такое целое число $n$, для которого выполняется условие $-2,5 < n < 1,7$. Рассмотрим целые числа на числовой оси вблизи данного интервала:

• Число -3: $-3 < -2,5$, не принадлежит интервалу.
• Число -2: $-2,5 < -2 < 1,7$, принадлежит интервалу.
• Число -1: $-2,5 < -1 < 1,7$, принадлежит интервалу.
• Число 0: $-2,5 < 0 < 1,7$, принадлежит интервалу.
• Число 1: $-2,5 < 1 < 1,7$, принадлежит интервалу.
• Число 2: $2 > 1,7$, не принадлежит интервалу.

Таким образом, целыми числами, принадлежащими этому интервалу, являются -2, -1, 0, 1. Можно указать любое из них.
Ответ: 0.

б) положительное число, принадлежащее этому интервалу;

Положительное число — это число, которое больше нуля ($x > 0$). Оно также должно принадлежать интервалу $(-2,5; 1,7)$. Объединяя два условия ($x > 0$ и $-2,5 < x < 1,7$), получаем, что искомое число должно находиться в интервале $(0; 1,7)$. Можно выбрать любое число из этого нового интервала, например, $0,1$, $0,5$, $1$, $1,6$. Выберем целое число 1, так как оно удовлетворяет условиям.
Ответ: 1.

в) целое отрицательное число, не принадлежащее этому интервалу;

Нам нужно найти целое отрицательное число $n$ ($n < 0$), которое не входит в интервал $(-2,5; 1,7)$. Это значит, что для числа $n$ должно выполняться одно из условий: $n \le -2,5$ или $n \ge 1,7$. Поскольку мы ищем отрицательное число, условие $n \ge 1,7$ нам не подходит. Следовательно, нужно найти целое отрицательное число $n$, такое что $n \le -2,5$. Этому условию удовлетворяют числа -3, -4, -5 и так далее.
Ответ: -3.

г) положительное рациональное число, не принадлежащее этому интервалу.

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое, а $q$ — натуральное число. Нам нужно найти положительное ($x > 0$) рациональное число, которое не принадлежит интервалу $(-2,5; 1,7)$. То есть, для него должно выполняться условие $x \le -2,5$ или $x \ge 1,7$. Так как число должно быть положительным, подходит только второе условие: $x \ge 1,7$. Мы можем выбрать любое рациональное число, которое больше или равно $1,7$. Например, само число $1,7 = \frac{17}{10}$, или $2 = \frac{2}{1}$, или $2,5 = \frac{5}{2}$.
Ответ: 2.

10.25 Дан интервал $(-4; 12)$. Укажите:

а) какое-нибудь числовое множество, содержащееся в этом интервале;

б) какое-нибудь числовое множество, не содержащееся в этом интервале;

в) целое число, принадлежащее данному интервалу и отстоящее на одинаковое расстояние от его концов;

г) рациональное число, не принадлежащее данному интервалу и отстоящее от ближайшего его конца не более чем на 2 единицы.

а) какое-нибудь числовое множество, содержащееся в этом интервале;

Дан интервал $(-4; 12)$. Нужно указать числовое множество, которое полностью в него входит. Таким множеством является любое подмножество данного интервала. Например, можно взять отрезок $[0; 5]$. Любое число $x$ из отрезка $[0; 5]$ удовлетворяет неравенству $0 \le x \le 5$. Поскольку $-4 < 0$ и $5 < 12$, то для любого такого $x$ также выполняется неравенство $-4 < x < 12$. Следовательно, отрезок $[0; 5]$ содержится в интервале $(-4; 12)$. Другим примером может служить множество целых чисел $\{-1, 0, 1, 2\}$.

Ответ: $[0; 5]$.

б) какое-нибудь числовое множество, не содержащееся в этом интервале;

Нужно указать числовое множество, которое не содержится в интервале $(-4; 12)$. Это означает, что хотя бы один элемент этого множества не принадлежит интервалу $(-4; 12)$. Например, возьмем множество $[10; 15]$. Этот отрезок содержит числа, как принадлежащие интервалу $(-4; 12)$ (например, $11$), так и не принадлежащие ему (например, $13$, так как $13 > 12$). Поскольку не все элементы множества $[10; 15]$ содержатся в $(-4; 12)$, то и все множество не содержится в нем. Можно также взять множество, которое совсем не пересекается с данным интервалом, например, $[20; +\infty)$.

Ответ: $[10; 15]$.

в) целое число, принадлежащее данному интервалу и отстоящее на одинаковое расстояние от его концов;

Нужно найти целое число, принадлежащее интервалу $(-4; 12)$ и находящееся на одинаковом расстоянии от его концов $-4$ и $12$. Такое число является серединой интервала. Середину интервала $(a; b)$ можно найти по формуле $c = \frac{a+b}{2}$.
В нашем случае $a = -4$ и $b = 12$.
$c = \frac{-4 + 12}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
Проверим условия:
1. Число $4$ является целым.
2. Число $4$ принадлежит интервалу $(-4; 12)$, так как $-4 < 4 < 12$.
3. Расстояние от $4$ до правого конца $12$ равно $12 - 4 = 8$.
4. Расстояние от $4$ до левого конца $-4$ равно $4 - (-4) = 4 + 4 = 8$.
Расстояния равны. Следовательно, искомое число — это $4$.

Ответ: $4$.

г) рациональное число, не принадлежащее данному интервалу и отстоящее от ближайшего его конца не более чем на 2 единицы.

Нужно найти рациональное число, которое не принадлежит интервалу $(-4; 12)$ и отстоит от ближайшего его конца не более чем на $2$ единицы.
1. Число $x$ не принадлежит интервалу $(-4; 12)$, значит, $x \le -4$ или $x \ge 12$.
2. Концы интервала: $-4$ и $12$.
3. Рассмотрим случай, когда число находится слева от интервала ($x \le -4$). Ближайший конец — это $-4$. Расстояние между $x$ и $-4$ должно быть не более $2$. Расстояние равно $|x - (-4)| = |-4 - x|$. Так как $x \le -4$, то $-4 - x \ge 0$, поэтому $|-4 - x| = -4 - x$. Получаем неравенство: $-4 - x \le 2$. Отсюда $-x \le 6$, или $x \ge -6$. Совмещая с условием $x \le -4$, получаем, что число должно принадлежать отрезку $[-6; -4]$.
4. Рассмотрим случай, когда число находится справа от интервала ($x \ge 12$). Ближайший конец — это $12$. Расстояние между $x$ и $12$ должно быть не более $2$. Расстояние равно $|x - 12|$. Так как $x \ge 12$, то $x - 12 \ge 0$, поэтому $|x - 12| = x - 12$. Получаем неравенство: $x - 12 \le 2$. Отсюда $x \le 14$. Совмещая с условием $x \ge 12$, получаем, что число должно принадлежать отрезку $[12; 14]$.
5. Итак, искомое рациональное число должно принадлежать объединению отрезков $[-6; -4] \cup [12; 14]$.
Можно выбрать любое рациональное число из этого множества. Например, выберем число $13.5$. Оно рационально, $13.5 \ge 12$ (не принадлежит $(-4; 12)$), и расстояние до ближайшего конца ($12$) равно $13.5 - 12 = 1.5$, что не более $2$. Другим примером может быть число $-5$. Оно рационально, $-5 \le -4$, и расстояние до ближайшего конца ($-4$) равно $|-5 - (-4)| = |-1| = 1$, что не более $2$.

Ответ: $13.5$ (или любое другое подходящее рациональное число, например, $-5$ или $12$).

10.26 Укажите числа, обратные данным и противоположные данным:

а) $0,35$;

б) $-1,12$;

в) $3,7$;

г) $-5,32$.

Для каждого из данных чисел найдем противоположное и обратное число.

• Противоположное число для числа $a$ — это число $-a$. Они имеют одинаковый модуль, но разные знаки. Их сумма равна нулю: $a + (-a) = 0$.
• Обратное число для числа $a$ (где $a \ne 0$) — это число $\frac{1}{a}$. Их произведение равно единице: $a \cdot \frac{1}{a} = 1$.

а) Для числа 0,35

Противоположное число: это число с противоположным знаком, то есть $-0,35$.

Обратное число: чтобы его найти, представим десятичную дробь 0,35 в виде обыкновенной дроби и сократим ее.

$0,35 = \frac{35}{100} = \frac{35 \div 5}{100 \div 5} = \frac{7}{20}$

Обратным к числу $\frac{7}{20}$ является "перевернутая" дробь $\frac{20}{7}$.

Эту неправильную дробь можно также записать в виде смешанного числа: $2\frac{6}{7}$.

Ответ: противоположное число $-0,35$; обратное число $\frac{20}{7}$.

б) Для числа -1,12

Противоположное число: меняем знак с минуса на плюс, получаем $1,12$.

Обратное число: сначала представим -1,12 в виде обыкновенной дроби.

$-1,12 = -\frac{112}{100} = -\frac{112 \div 4}{100 \div 4} = -\frac{28}{25}$

Обратным к числу $-\frac{28}{25}$ является число $-\frac{25}{28}$.

Ответ: противоположное число $1,12$; обратное число $-\frac{25}{28}$.

в) Для числа 3,7

Противоположное число: меняем знак на противоположный, получаем $-3,7$.

Обратное число: представим 3,7 в виде обыкновенной дроби.

$3,7 = 3\frac{7}{10} = \frac{37}{10}$

Обратным к числу $\frac{37}{10}$ является число $\frac{10}{37}$.

Ответ: противоположное число $-3,7$; обратное число $\frac{10}{37}$.

г) Для числа -5,32

Противоположное число: меняем знак с минуса на плюс, получаем $5,32$.

Обратное число: представим -5,32 в виде обыкновенной дроби.

$-5,32 = -\frac{532}{100} = -\frac{532 \div 4}{100 \div 4} = -\frac{133}{25}$

Обратным к числу $-\frac{133}{25}$ является число $-\frac{25}{133}$.

Ответ: противоположное число $5,32$; обратное число $-\frac{25}{133}$.

10.27 Запишите в виде бесконечной десятичной периодической дроби:

а) $ \frac{2}{7} $;

б) $ \frac{12}{35} $;

в) $ \frac{17}{21} $;

г) $ \frac{13}{14} $.

а) Чтобы преобразовать обыкновенную дробь $ \frac{2}{7} $ в бесконечную десятичную периодическую дробь, необходимо выполнить деление числителя на знаменатель столбиком.
$2 \div 7$
$20 \div 7 = 2$ (остаток 6)
$60 \div 7 = 8$ (остаток 4)
$40 \div 7 = 5$ (остаток 5)
$50 \div 7 = 7$ (остаток 1)
$10 \div 7 = 1$ (остаток 3)
$30 \div 7 = 4$ (остаток 2)
Поскольку остаток 2 повторился (это было исходное делимое), последовательность цифр в частном, равная 285714, начнет повторяться. Эта последовательность является периодом дроби.
Таким образом, $ \frac{2}{7} = 0,2857142857... = 0,(285714) $.
Ответ: $ 0,(285714) $

б) Чтобы преобразовать дробь $ \frac{12}{35} $, разделим 12 на 35 столбиком.
$12 \div 35$
$120 \div 35 = 3$ (остаток 15)
$150 \div 35 = 4$ (остаток 10)
$100 \div 35 = 2$ (остаток 30)
$300 \div 35 = 8$ (остаток 20)
$200 \div 35 = 5$ (остаток 25)
$250 \div 35 = 7$ (остаток 5)
$50 \div 35 = 1$ (остаток 15)
Остаток 15 повторился. Это значит, что цифры в частном, начиная с той, которая была получена при первом появлении остатка 15 (это цифра 4), начнут повторяться. Таким образом, цифра 3 не входит в период, а последовательность 428571 является периодом.
Следовательно, $ \frac{12}{35} = 0,3428571... = 0,3(428571) $.
Ответ: $ 0,3(428571) $

в) Чтобы преобразовать дробь $ \frac{17}{21} $, разделим 17 на 21 столбиком.
$17 \div 21$
$170 \div 21 = 8$ (остаток 2)
$20 \div 21 = 0$ (остаток 20)
$200 \div 21 = 9$ (остаток 11)
$110 \div 21 = 5$ (остаток 5)
$50 \div 21 = 2$ (остаток 8)
$80 \div 21 = 3$ (остаток 17)
Остаток 17 повторился (это исходное делимое), поэтому вся последовательность цифр после запятой (809523) образует период.
Таким образом, $ \frac{17}{21} = 0,809523... = 0,(809523) $.
Ответ: $ 0,(809523) $

г) Чтобы преобразовать дробь $ \frac{13}{14} $, разделим 13 на 14 столбиком.
$13 \div 14$
$130 \div 14 = 9$ (остаток 4)
$40 \div 14 = 2$ (остаток 12)
$120 \div 14 = 8$ (остаток 8)
$80 \div 14 = 5$ (остаток 10)
$100 \div 14 = 7$ (остаток 2)
$20 \div 14 = 1$ (остаток 6)
$60 \div 14 = 4$ (остаток 4)
Остаток 4 повторился. Цифры в частном, начиная с той, что была получена при первом появлении остатка 4 (это цифра 2), начнут повторяться. Значит, цифра 9 не входит в период, а период составляет последовательность 285714.
Следовательно, $ \frac{13}{14} = 0,9285714... = 0,9(285714) $.
Ответ: $ 0,9(285714) $

Представьте в виде обыкновенной дроби:

10.28 а) $0.15\overline{3}$;

б) $0.7\overline{27}$;

в) $0.15\overline{63}$;

г) $0.3\overline{306}$.

а) 0,15(3)
Чтобы представить смешанную периодическую дробь $0,15(3)$ в виде обыкновенной, обозначим её как $x$.
$x = 0,15333...$
Умножим это равенство на $100$, чтобы часть до периода оказалась слева от запятой:
$100x = 15,333...$ (1)
Теперь умножим исходное равенство на $1000$, чтобы сдвинуть запятую за первый период:
$1000x = 153,333...$ (2)
Вычтем из равенства (2) равенство (1), чтобы избавиться от бесконечной периодической части:
$1000x - 100x = 153,333... - 15,333...$
$900x = 138$
Теперь решим уравнение относительно $x$:
$x = \frac{138}{900}$
Сократим полученную дробь. Разделим числитель и знаменатель на 2:
$x = \frac{138 \div 2}{900 \div 2} = \frac{69}{450}$
Теперь разделим числитель и знаменатель на 3:
$x = \frac{69 \div 3}{450 \div 3} = \frac{23}{150}$
Ответ: $\frac{23}{150}$

б) 0,7(27)
Обозначим данную периодическую дробь как $x$.
$x = 0,72727...$
Умножим равенство на $10$, чтобы цифра до периода оказалась слева от запятой:
$10x = 7,2727...$ (1)
Период состоит из двух цифр, поэтому умножим исходное равенство на $10 \times 100 = 1000$:
$1000x = 727,2727...$ (2)
Вычтем из равенства (2) равенство (1):
$1000x - 10x = 727,2727... - 7,2727...$
$990x = 720$
Найдем $x$:
$x = \frac{720}{990}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 10, а затем на 9:
$x = \frac{72}{99} = \frac{72 \div 9}{99 \div 9} = \frac{8}{11}$
Ответ: $\frac{8}{11}$

в) 0,15(63)
Пусть $x = 0,15(63) = 0,15636363...$
Часть до периода — "15", состоит из двух цифр. Умножим на $100$:
$100x = 15,6363...$ (1)
Период — "63", состоит из двух цифр. Умножим исходное равенство на $100 \times 100 = 10000$:
$10000x = 1563,6363...$ (2)
Вычтем равенство (1) из равенства (2):
$10000x - 100x = 1563,6363... - 15,6363...$
$9900x = 1548$
Найдем $x$:
$x = \frac{1548}{9900}$
Сократим дробь. Оба числа делятся на 4:
$x = \frac{1548 \div 4}{9900 \div 4} = \frac{387}{2475}$
Сумма цифр числителя ($3+8+7=18$) и знаменателя ($2+4+7+5=18$) делится на 9, значит, оба числа делятся на 9:
$x = \frac{387 \div 9}{2475 \div 9} = \frac{43}{275}$
Ответ: $\frac{43}{275}$

г) 0,3(306)
Пусть $x = 0,3(306) = 0,3306306...$
Часть до периода — "3", состоит из одной цифры. Умножим на $10$:
$10x = 3,306306...$ (1)
Период — "306", состоит из трех цифр. Умножим исходное равенство на $10 \times 1000 = 10000$:
$10000x = 3306,306306...$ (2)
Вычтем равенство (1) из равенства (2):
$10000x - 10x = 3306,306... - 3,306...$
$9990x = 3303$
Найдем $x$:
$x = \frac{3303}{9990}$
Сократим дробь. Сумма цифр числителя ($3+3+0+3=9$) и знаменателя ($9+9+9+0=27$) делится на 9, значит, оба числа делятся на 9:
$x = \frac{3303 \div 9}{9990 \div 9} = \frac{367}{1110}$
Ответ: $\frac{367}{1110}$

10.29 a) $1,52(3)$;

б) $2,1(61)$;

в) $6,12(8)$;

г) $0,3(36)$.

а) 1,52(3)

Чтобы перевести смешанную периодическую дробь $1,52(3)$ в обыкновенную, обозначим ее через $x$. $x = 1,52(3) = 1,52333...$ В этом числе одна цифра в периоде (3) и две цифры после запятой до периода (52). Сначала умножим число на $100$, чтобы "подвинуть" запятую к началу периода: $100x = 152,333...$ Затем умножим исходное число на $1000$, чтобы "подвинуть" запятую на один период вправо: $1000x = 1523,333...$ Теперь вычтем из второго уравнения первое, чтобы избавиться от бесконечной периодической части: $1000x - 100x = 1523,333... - 152,333...$ $900x = 1523 - 152$ $900x = 1371$ Отсюда находим $x$: $x = \frac{1371}{900}$ Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 3 (сумма цифр числителя $1+3+7+1=12$, сумма цифр знаменателя $9+0+0=9$). $x = \frac{1371 \div 3}{900 \div 3} = \frac{457}{300}$ Дальнейшее сокращение невозможно, так как 457 — простое число.

Ответ: $\frac{457}{300}$

б) 2,1(61)

Обозначим данную дробь $2,1(61)$ через $x$. $x = 2,1(61) = 2,1616161...$ Здесь одна цифра до периода (1) и две цифры в периоде (61). Умножим $x$ на $10$, чтобы запятая оказалась перед периодом: $10x = 21,616161...$ Умножим $x$ на $1000$ (т.е. на $10 \cdot 100$), чтобы сдвинуть запятую на один период вправо: $1000x = 2161,616161...$ Вычтем первое уравнение из второго: $1000x - 10x = 2161,616161... - 21,616161...$ $990x = 2161 - 21$ $990x = 2140$ Находим $x$: $x = \frac{2140}{990}$ Сокращаем дробь на 10: $x = \frac{214}{99}$ Знаменатель $99 = 9 \cdot 11 = 3^2 \cdot 11$. Числитель 214 не делится ни на 3 ($2+1+4=7$), ни на 11. Следовательно, дробь несократима.

Ответ: $\frac{214}{99}$

в) 6,12(8)

Пусть $x = 6,12(8) = 6,12888...$ В этой дроби две цифры до периода (12) и одна цифра в периоде (8). Умножим $x$ на $100$, чтобы запятая оказалась перед периодом: $100x = 612,888...$ Умножим $x$ на $1000$, чтобы сдвинуть запятую на один период вправо: $1000x = 6128,888...$ Вычтем первое уравнение из второго: $1000x - 100x = 6128,888... - 612,888...$ $900x = 6128 - 612$ $900x = 5516$ Находим $x$: $x = \frac{5516}{900}$ Сократим дробь. Оба числа делятся на 4. $x = \frac{5516 \div 4}{900 \div 4} = \frac{1379}{225}$ Знаменатель $225 = 15^2 = 3^2 \cdot 5^2$. Числитель 1379 не делится на 3 (сумма цифр 20) и не делится на 5. Дробь несократима.

Ответ: $\frac{1379}{225}$

г) 0,3(36)

Пусть $x = 0,3(36) = 0,3363636...$ Здесь одна цифра до периода (3) и две цифры в периоде (36). Умножим $x$ на $10$, чтобы запятая оказалась перед периодом: $10x = 3,363636...$ Умножим $x$ на $1000$, чтобы сдвинуть запятую на один период вправо: $1000x = 336,363636...$ Вычтем первое уравнение из второго: $1000x - 10x = 336,363636... - 3,363636...$ $990x = 336 - 3$ $990x = 333$ Находим $x$: $x = \frac{333}{990}$ Сократим дробь. Оба числа делятся на 9 (сумма цифр числителя 9, знаменателя 18). $x = \frac{333 \div 9}{990 \div 9} = \frac{37}{110}$ Число 37 — простое, а 110 на 37 не делится. Дробь несократима.

Ответ: $\frac{37}{110}$

11.1 Докажите, что верно равенство:

а) $\sqrt{36} = 6;$

б) $\sqrt{121} = 11;$

в) $\sqrt{25} = 5;$

г) $\sqrt{196} = 14.$

а)

Чтобы доказать, что равенство $\sqrt{36} = 6$ верно, необходимо, согласно определению арифметического квадратного корня, показать, что выполняются два условия:

1. Число, стоящее справа от знака равенства, является неотрицательным. В данном случае это $6$. Так как $6 > 0$, это условие выполняется.

2. Квадрат этого числа равен подкоренному выражению. Проверим: $6^2 = 6 \cdot 6 = 36$. Это условие также выполняется.

Поскольку оба условия выполнены, равенство является верным.

Ответ: Равенство доказано.

б)

Чтобы доказать, что равенство $\sqrt{121} = 11$ верно, проверим выполнение двух условий из определения арифметического квадратного корня:

1. Число $11$ является неотрицательным, так как $11 > 0$.

2. Квадрат числа $11$ равен подкоренному выражению $121$. Проверим: $11^2 = 11 \cdot 11 = 121$.

Оба условия выполняются, следовательно, данное равенство верно.

Ответ: Равенство доказано.

в)

Чтобы доказать, что равенство $\sqrt{25} = 5$ верно, необходимо проверить выполнение двух условий:

1. Число $5$ является неотрицательным, так как $5 > 0$.

2. Квадрат числа $5$ равен подкоренному числу $25$. Проверим: $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.

Так как оба условия выполняются, равенство $\sqrt{25} = 5$ является верным.

Ответ: Равенство доказано.

г)

Чтобы доказать, что равенство $\sqrt{196} = 14$ верно, воспользуемся определением арифметического квадратного корня и проверим два условия:

1. Число $14$ является неотрицательным, так как $14 > 0$.

2. Квадрат числа $14$ должен быть равен $196$. Выполним проверку: $14^2 = 14 \cdot 14 = 196$.

Оба условия выполнены, а значит, равенство $\sqrt{196} = 14$ верно.

Ответ: Равенство доказано.

11.2 Проверьте равенство:

а) $\sqrt{49} = 7;$

б) $\sqrt{\frac{9}{4}} = 1,5;$

в) $\sqrt{100} = 10;$

г) $\sqrt{1\frac{7}{9}} = \frac{4}{3}.$

а) Чтобы проверить равенство $\sqrt{49} = 7$, необходимо убедиться, что правая часть (число 7) является неотрицательным числом и что ее квадрат равен подкоренному выражению (числу 49).
1. $7 \ge 0$. Это верно.
2. $7^2 = 7 \times 7 = 49$. Это тоже верно.
Поскольку оба условия выполняются, равенство является верным.
Ответ: равенство верно.

б) Проверим равенство $\sqrt{\frac{9}{4}} = 1,5$. Для этого необходимо убедиться, что $1,5 \ge 0$ и $1,5^2 = \frac{9}{4}$.
1. $1,5 \ge 0$. Это верно.
2. Возведем 1,5 в квадрат. Удобнее представить 1,5 в виде обыкновенной дроби: $1,5 = \frac{3}{2}$. Тогда $(1,5)^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$. Это верно.
Оба условия выполнены, следовательно, равенство верно.
Ответ: равенство верно.

в) Проверим равенство $\sqrt{100} = 10$. Убедимся, что $10 \ge 0$ и $10^2 = 100$.
1. $10 \ge 0$. Это верно.
2. $10^2 = 10 \times 10 = 100$. Это верно.
Оба условия выполняются, значит, равенство является верным.
Ответ: равенство верно.

г) Проверим равенство $\sqrt{1\frac{7}{9}} = \frac{4}{3}$. Сначала преобразуем смешанное число под знаком корня в неправильную дробь:
$1\frac{7}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{16}{9}$.
Теперь задача сводится к проверке равенства $\sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3}$. Необходимо убедиться, что $\frac{4}{3} \ge 0$ и $(\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}$.
1. $\frac{4}{3} \ge 0$. Это верно.
2. $(\frac{4}{3})^2 = \frac{4^2}{3^2} = \frac{16}{9}$. Это верно.
Так как оба условия выполнены, исходное равенство верно.
Ответ: равенство верно.