Номер 10.28, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 10. Рациональные числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 10.28, страница 62.

Условие.

Представьте в виде обыкновенной дроби:

10.28 а) $0.15\overline{3}$;

б) $0.7\overline{27}$;

в) $0.15\overline{63}$;

г) $0.3\overline{306}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) 0,15(3)
Чтобы представить смешанную периодическую дробь $0,15(3)$ в виде обыкновенной, обозначим её как $x$.
$x = 0,15333...$
Умножим это равенство на $100$, чтобы часть до периода оказалась слева от запятой:
$100x = 15,333...$ (1)
Теперь умножим исходное равенство на $1000$, чтобы сдвинуть запятую за первый период:
$1000x = 153,333...$ (2)
Вычтем из равенства (2) равенство (1), чтобы избавиться от бесконечной периодической части:
$1000x - 100x = 153,333... - 15,333...$
$900x = 138$
Теперь решим уравнение относительно $x$:
$x = \frac{138}{900}$
Сократим полученную дробь. Разделим числитель и знаменатель на 2:
$x = \frac{138 \div 2}{900 \div 2} = \frac{69}{450}$
Теперь разделим числитель и знаменатель на 3:
$x = \frac{69 \div 3}{450 \div 3} = \frac{23}{150}$
Ответ: $\frac{23}{150}$

б) 0,7(27)
Обозначим данную периодическую дробь как $x$.
$x = 0,72727...$
Умножим равенство на $10$, чтобы цифра до периода оказалась слева от запятой:
$10x = 7,2727...$ (1)
Период состоит из двух цифр, поэтому умножим исходное равенство на $10 \times 100 = 1000$:
$1000x = 727,2727...$ (2)
Вычтем из равенства (2) равенство (1):
$1000x - 10x = 727,2727... - 7,2727...$
$990x = 720$
Найдем $x$:
$x = \frac{720}{990}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 10, а затем на 9:
$x = \frac{72}{99} = \frac{72 \div 9}{99 \div 9} = \frac{8}{11}$
Ответ: $\frac{8}{11}$

в) 0,15(63)
Пусть $x = 0,15(63) = 0,15636363...$
Часть до периода — "15", состоит из двух цифр. Умножим на $100$:
$100x = 15,6363...$ (1)
Период — "63", состоит из двух цифр. Умножим исходное равенство на $100 \times 100 = 10000$:
$10000x = 1563,6363...$ (2)
Вычтем равенство (1) из равенства (2):
$10000x - 100x = 1563,6363... - 15,6363...$
$9900x = 1548$
Найдем $x$:
$x = \frac{1548}{9900}$
Сократим дробь. Оба числа делятся на 4:
$x = \frac{1548 \div 4}{9900 \div 4} = \frac{387}{2475}$
Сумма цифр числителя ($3+8+7=18$) и знаменателя ($2+4+7+5=18$) делится на 9, значит, оба числа делятся на 9:
$x = \frac{387 \div 9}{2475 \div 9} = \frac{43}{275}$
Ответ: $\frac{43}{275}$

г) 0,3(306)
Пусть $x = 0,3(306) = 0,3306306...$
Часть до периода — "3", состоит из одной цифры. Умножим на $10$:
$10x = 3,306306...$ (1)
Период — "306", состоит из трех цифр. Умножим исходное равенство на $10 \times 1000 = 10000$:
$10000x = 3306,306306...$ (2)
Вычтем равенство (1) из равенства (2):
$10000x - 10x = 3306,306... - 3,306...$
$9990x = 3303$
Найдем $x$:
$x = \frac{3303}{9990}$
Сократим дробь. Сумма цифр числителя ($3+3+0+3=9$) и знаменателя ($9+9+9+0=27$) делится на 9, значит, оба числа делятся на 9:
$x = \frac{3303 \div 9}{9990 \div 9} = \frac{367}{1110}$
Ответ: $\frac{367}{1110}$