Номер 10.29, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 10. Рациональные числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 10.29, страница 62.

Условие.

10.29 a) $1,52(3)$;

б) $2,1(61)$;

в) $6,12(8)$;

г) $0,3(36)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) 1,52(3)

Чтобы перевести смешанную периодическую дробь $1,52(3)$ в обыкновенную, обозначим ее через $x$. $x = 1,52(3) = 1,52333...$ В этом числе одна цифра в периоде (3) и две цифры после запятой до периода (52). Сначала умножим число на $100$, чтобы "подвинуть" запятую к началу периода: $100x = 152,333...$ Затем умножим исходное число на $1000$, чтобы "подвинуть" запятую на один период вправо: $1000x = 1523,333...$ Теперь вычтем из второго уравнения первое, чтобы избавиться от бесконечной периодической части: $1000x - 100x = 1523,333... - 152,333...$ $900x = 1523 - 152$ $900x = 1371$ Отсюда находим $x$: $x = \frac{1371}{900}$ Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 3 (сумма цифр числителя $1+3+7+1=12$, сумма цифр знаменателя $9+0+0=9$). $x = \frac{1371 \div 3}{900 \div 3} = \frac{457}{300}$ Дальнейшее сокращение невозможно, так как 457 — простое число.

Ответ: $\frac{457}{300}$

б) 2,1(61)

Обозначим данную дробь $2,1(61)$ через $x$. $x = 2,1(61) = 2,1616161...$ Здесь одна цифра до периода (1) и две цифры в периоде (61). Умножим $x$ на $10$, чтобы запятая оказалась перед периодом: $10x = 21,616161...$ Умножим $x$ на $1000$ (т.е. на $10 \cdot 100$), чтобы сдвинуть запятую на один период вправо: $1000x = 2161,616161...$ Вычтем первое уравнение из второго: $1000x - 10x = 2161,616161... - 21,616161...$ $990x = 2161 - 21$ $990x = 2140$ Находим $x$: $x = \frac{2140}{990}$ Сокращаем дробь на 10: $x = \frac{214}{99}$ Знаменатель $99 = 9 \cdot 11 = 3^2 \cdot 11$. Числитель 214 не делится ни на 3 ($2+1+4=7$), ни на 11. Следовательно, дробь несократима.

Ответ: $\frac{214}{99}$

в) 6,12(8)

Пусть $x = 6,12(8) = 6,12888...$ В этой дроби две цифры до периода (12) и одна цифра в периоде (8). Умножим $x$ на $100$, чтобы запятая оказалась перед периодом: $100x = 612,888...$ Умножим $x$ на $1000$, чтобы сдвинуть запятую на один период вправо: $1000x = 6128,888...$ Вычтем первое уравнение из второго: $1000x - 100x = 6128,888... - 612,888...$ $900x = 6128 - 612$ $900x = 5516$ Находим $x$: $x = \frac{5516}{900}$ Сократим дробь. Оба числа делятся на 4. $x = \frac{5516 \div 4}{900 \div 4} = \frac{1379}{225}$ Знаменатель $225 = 15^2 = 3^2 \cdot 5^2$. Числитель 1379 не делится на 3 (сумма цифр 20) и не делится на 5. Дробь несократима.

Ответ: $\frac{1379}{225}$

г) 0,3(36)

Пусть $x = 0,3(36) = 0,3363636...$ Здесь одна цифра до периода (3) и две цифры в периоде (36). Умножим $x$ на $10$, чтобы запятая оказалась перед периодом: $10x = 3,363636...$ Умножим $x$ на $1000$, чтобы сдвинуть запятую на один период вправо: $1000x = 336,363636...$ Вычтем первое уравнение из второго: $1000x - 10x = 336,363636... - 3,363636...$ $990x = 336 - 3$ $990x = 333$ Находим $x$: $x = \frac{333}{990}$ Сократим дробь. Оба числа делятся на 9 (сумма цифр числителя 9, знаменателя 18). $x = \frac{333 \div 9}{990 \div 9} = \frac{37}{110}$ Число 37 — простое, а 110 на 37 не делится. Дробь несократима.

Ответ: $\frac{37}{110}$