Номер 10.22, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 10. Рациональные числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 10.22, страница 61.

Условие.

10.22 а) $1,6(1)$;

б) $2,03(5)$;

в) $3,9(12)$;

г) $0,7(72)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Чтобы преобразовать периодические десятичные дроби в обыкновенные, используется следующий алгоритм: число обозначается переменной, затем с помощью умножения на степени 10 составляются два уравнения так, чтобы их дробные части были одинаковыми. Вычитая одно уравнение из другого, избавляемся от периодической части и находим искомую дробь.

а) 1,6(1);

Представим число $1,6(1)$ в виде обыкновенной дроби.

1. Обозначим данное число через $x$:

$x = 1,6(1) = 1,6111...$

2. Умножим обе части уравнения на 10, чтобы сместить непериодическую часть влево от запятой:

$10x = 16,111...$

3. Умножим исходное уравнение на 100, чтобы сместить один период влево от запятой:

$100x = 161,111...$

4. Вычтем из второго уравнения первое:

$100x - 10x = 161,111... - 16,111...$

$90x = 145$

5. Найдем $x$ и сократим полученную дробь:

$x = \frac{145}{90} = \frac{145 \div 5}{90 \div 5} = \frac{29}{18}$

Ответ: $ \frac{29}{18} $

б) 2,03(5);

Представим число $2,03(5)$ в виде обыкновенной дроби.

1. Обозначим данное число через $x$:

$x = 2,03(5) = 2,03555...$

2. В непериодической части после запятой две цифры (03), поэтому умножим $x$ на 100:

$100x = 203,555...$

3. Период состоит из одной цифры (5), поэтому умножим $x$ на 1000:

$1000x = 2035,555...$

4. Вычтем из второго уравнения первое:

$1000x - 100x = 2035,555... - 203,555...$

$900x = 1832$

5. Найдем $x$ и сократим полученную дробь:

$x = \frac{1832}{900} = \frac{1832 \div 4}{900 \div 4} = \frac{458}{225}$

Ответ: $ \frac{458}{225} $

в) 3,9(12);

Представим число $3,9(12)$ в виде обыкновенной дроби.

1. Обозначим данное число через $x$:

$x = 3,9(12) = 3,9121212...$

2. В непериодической части после запятой одна цифра (9), поэтому умножим $x$ на 10:

$10x = 39,121212...$

3. Период состоит из двух цифр (12), поэтому умножим $x$ на 1000 (10 * 100):

$1000x = 3912,121212...$

4. Вычтем из второго уравнения первое:

$1000x - 10x = 3912,121212... - 39,121212...$

$990x = 3873$

5. Найдем $x$ и сократим полученную дробь:

$x = \frac{3873}{990} = \frac{3873 \div 3}{990 \div 3} = \frac{1291}{330}$

Ответ: $ \frac{1291}{330} $

г) 0,7(72).

Представим число $0,7(72)$ в виде обыкновенной дроби.

1. Обозначим данное число через $x$:

$x = 0,7(72) = 0,7727272...$

2. В непериодической части после запятой одна цифра (7), поэтому умножим $x$ на 10:

$10x = 7,727272...$

3. Период состоит из двух цифр (72), поэтому умножим $x$ на 1000 (10 * 100):

$1000x = 772,727272...$

4. Вычтем из второго уравнения первое:

$1000x - 10x = 772,727272... - 7,727272...$

$990x = 765$

5. Найдем $x$ и сократим полученную дробь:

$x = \frac{765}{990} = \frac{765 \div 5}{990 \div 5} = \frac{153}{198} = \frac{153 \div 9}{198 \div 9} = \frac{17}{22}$

Ответ: $ \frac{17}{22} $