Номер 10.18, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 10. Рациональные числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 10.18, страница 61.

Условие.

10.18 а) 1;

б) 35;

в) 108;

г) 572.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) 1

Чтобы найти количество натуральных делителей числа, необходимо сначала разложить это число на простые множители. Если каноническое разложение числа $n$ имеет вид $n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}$, то количество его натуральных делителей $\tau(n)$ вычисляется по формуле $\tau(n) = (a_1+1)(a_2+1)\ldots(a_k+1)$.

Число 1 является особым случаем. У него есть только один натуральный делитель — само число 1.

Формально, можно считать, что разложение числа 1 на простые множители не содержит простых сомножителей (или что все простые числа входят в него в нулевой степени, например $1 = 2^0$). В этом случае формула для числа делителей представляет собой "пустое произведение", которое по определению равно 1.

Таким образом, у числа 1 ровно один натуральный делитель.

Ответ: 1.

б) 35

Найдем количество натуральных делителей числа 35. Для этого сначала разложим число 35 на простые множители.

$35 = 5 \cdot 7$.

Оба множителя, 5 и 7, являются простыми числами. Степени, в которых они входят в разложение, равны 1. Таким образом, каноническое разложение числа 35 имеет вид: $35 = 5^1 \cdot 7^1$.

Чтобы найти количество делителей $\tau(35)$, воспользуемся формулой, подставив в нее степени из разложения: $a_1 = 1$ и $a_2 = 1$.

$\tau(35) = (1+1)(1+1) = 2 \cdot 2 = 4$.

Для проверки, перечислим все делители числа 35: 1, 5, 7, 35. Всего их 4.

Ответ: 4.

в) 108

Найдем количество натуральных делителей числа 108. Сначала разложим 108 на простые множители.

$108 = 2 \cdot 54 = 2 \cdot 2 \cdot 27 = 2^2 \cdot 3 \cdot 9 = 2^2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^3$.

Каноническое разложение числа 108: $108 = 2^2 \cdot 3^3$.

Теперь применим формулу для нахождения числа делителей. Степени простых множителей в разложении: $a_1 = 2$ (для простого числа 2) и $a_2 = 3$ (для простого числа 3).

Количество делителей $\tau(108)$ равно:

$\tau(108) = (2+1)(3+1) = 3 \cdot 4 = 12$.

Таким образом, у числа 108 всего 12 натуральных делителей.

Ответ: 12.

г) 572

Найдем количество натуральных делителей числа 572. Для этого разложим его на простые множители.

Число 572 является четным, поэтому оно делится на 2:

$572 = 2 \cdot 286$.

Число 286 также четное:

$286 = 2 \cdot 143$.

Таким образом, $572 = 2 \cdot 2 \cdot 143 = 2^2 \cdot 143$.

Теперь нужно разложить на множители число 143. Проверим его делимость на простые числа по порядку:

- Не делится на 3 (сумма цифр $1+4+3=8$, не делится на 3).

- Не делится на 5 (не оканчивается на 0 или 5).

- Проверим делимость на 7: $143 = 7 \cdot 20 + 3$. Не делится.

- Проверим делимость на 11: $143 = 11 \cdot 13$. Делится.

Числа 11 и 13 являются простыми.

Следовательно, каноническое разложение числа 572 имеет вид: $572 = 2^2 \cdot 11^1 \cdot 13^1$.

Теперь найдем количество делителей по формуле. Степени простых множителей: $a_1 = 2$, $a_2 = 1$, $a_3 = 1$.

$\tau(572) = (2+1)(1+1)(1+1) = 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$.

У числа 572 всего 12 натуральных делителей.

Ответ: 12.