Номер 10.19, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 10. Рациональные числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 10.19, страница 61.

Условие.

10.19 a) $0,(3)$;

б) $0,(15)$;

в) $0,(6)$;

г) $0,(108)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы представить периодическую дробь $0,(3)$ в виде обыкновенной дроби, обозначим ее через $x$:
$x = 0,(3) = 0,333...$
Поскольку в периоде одна цифра, умножим обе части уравнения на 10:
$10x = 3,333...$
Теперь вычтем из второго уравнения первое:
$10x - x = 3,333... - 0,333...$
$9x = 3$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{3}{9}$
Сократим полученную дробь на 3:
$x = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$

б) Обозначим периодическую дробь $0,(15)$ через $x$:
$x = 0,(15) = 0,151515...$
Так как в периоде две цифры, умножим обе части уравнения на 100:
$100x = 15,151515...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - x = 15,151515... - 0,151515...$
$99x = 15$
Находим $x$:
$x = \frac{15}{99}$
Сократим дробь на 3:
$x = \frac{15 \div 3}{99 \div 3} = \frac{5}{33}$
Ответ: $\frac{5}{33}$

в) Обозначим периодическую дробь $0,(6)$ через $x$:
$x = 0,(6) = 0,666...$
В периоде одна цифра, поэтому умножим обе части на 10:
$10x = 6,666...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$10x - x = 6,666... - 0,666...$
$9x = 6$
Находим $x$:
$x = \frac{6}{9}$
Сократим дробь на 3:
$x = \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$

г) Обозначим периодическую дробь $0,(108)$ через $x$:
$x = 0,(108) = 0,108108108...$
В периоде три цифры, поэтому умножим обе части на 1000:
$1000x = 108,108108...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$1000x - x = 108,108108... - 0,108108...$
$999x = 108$
Находим $x$:
$x = \frac{108}{999}$
Сократим дробь. Сумма цифр числителя ($1+0+8=9$) и знаменателя ($9+9+9=27$) делится на 9, значит, оба числа делятся на 9.
$x = \frac{108 \div 9}{999 \div 9} = \frac{12}{111}$
Теперь сократим на 3 (сумма цифр $1+2=3$ и $1+1+1=3$ делится на 3).
$x = \frac{12 \div 3}{111 \div 3} = \frac{4}{37}$
Ответ: $\frac{4}{37}$