Номер 10.25, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 10. Рациональные числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 10.25, страница 62.

Условие.

10.25 Дан интервал $(-4; 12)$. Укажите:

а) какое-нибудь числовое множество, содержащееся в этом интервале;

б) какое-нибудь числовое множество, не содержащееся в этом интервале;

в) целое число, принадлежащее данному интервалу и отстоящее на одинаковое расстояние от его концов;

г) рациональное число, не принадлежащее данному интервалу и отстоящее от ближайшего его конца не более чем на 2 единицы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) какое-нибудь числовое множество, содержащееся в этом интервале;

Дан интервал $(-4; 12)$. Нужно указать числовое множество, которое полностью в него входит. Таким множеством является любое подмножество данного интервала. Например, можно взять отрезок $[0; 5]$. Любое число $x$ из отрезка $[0; 5]$ удовлетворяет неравенству $0 \le x \le 5$. Поскольку $-4 < 0$ и $5 < 12$, то для любого такого $x$ также выполняется неравенство $-4 < x < 12$. Следовательно, отрезок $[0; 5]$ содержится в интервале $(-4; 12)$. Другим примером может служить множество целых чисел $\{-1, 0, 1, 2\}$.

Ответ: $[0; 5]$.

б) какое-нибудь числовое множество, не содержащееся в этом интервале;

Нужно указать числовое множество, которое не содержится в интервале $(-4; 12)$. Это означает, что хотя бы один элемент этого множества не принадлежит интервалу $(-4; 12)$. Например, возьмем множество $[10; 15]$. Этот отрезок содержит числа, как принадлежащие интервалу $(-4; 12)$ (например, $11$), так и не принадлежащие ему (например, $13$, так как $13 > 12$). Поскольку не все элементы множества $[10; 15]$ содержатся в $(-4; 12)$, то и все множество не содержится в нем. Можно также взять множество, которое совсем не пересекается с данным интервалом, например, $[20; +\infty)$.

Ответ: $[10; 15]$.

в) целое число, принадлежащее данному интервалу и отстоящее на одинаковое расстояние от его концов;

Нужно найти целое число, принадлежащее интервалу $(-4; 12)$ и находящееся на одинаковом расстоянии от его концов $-4$ и $12$. Такое число является серединой интервала. Середину интервала $(a; b)$ можно найти по формуле $c = \frac{a+b}{2}$.
В нашем случае $a = -4$ и $b = 12$.
$c = \frac{-4 + 12}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
Проверим условия:
1. Число $4$ является целым.
2. Число $4$ принадлежит интервалу $(-4; 12)$, так как $-4 < 4 < 12$.
3. Расстояние от $4$ до правого конца $12$ равно $12 - 4 = 8$.
4. Расстояние от $4$ до левого конца $-4$ равно $4 - (-4) = 4 + 4 = 8$.
Расстояния равны. Следовательно, искомое число — это $4$.

Ответ: $4$.

г) рациональное число, не принадлежащее данному интервалу и отстоящее от ближайшего его конца не более чем на 2 единицы.

Нужно найти рациональное число, которое не принадлежит интервалу $(-4; 12)$ и отстоит от ближайшего его конца не более чем на $2$ единицы.
1. Число $x$ не принадлежит интервалу $(-4; 12)$, значит, $x \le -4$ или $x \ge 12$.
2. Концы интервала: $-4$ и $12$.
3. Рассмотрим случай, когда число находится слева от интервала ($x \le -4$). Ближайший конец — это $-4$. Расстояние между $x$ и $-4$ должно быть не более $2$. Расстояние равно $|x - (-4)| = |-4 - x|$. Так как $x \le -4$, то $-4 - x \ge 0$, поэтому $|-4 - x| = -4 - x$. Получаем неравенство: $-4 - x \le 2$. Отсюда $-x \le 6$, или $x \ge -6$. Совмещая с условием $x \le -4$, получаем, что число должно принадлежать отрезку $[-6; -4]$.
4. Рассмотрим случай, когда число находится справа от интервала ($x \ge 12$). Ближайший конец — это $12$. Расстояние между $x$ и $12$ должно быть не более $2$. Расстояние равно $|x - 12|$. Так как $x \ge 12$, то $x - 12 \ge 0$, поэтому $|x - 12| = x - 12$. Получаем неравенство: $x - 12 \le 2$. Отсюда $x \le 14$. Совмещая с условием $x \ge 12$, получаем, что число должно принадлежать отрезку $[12; 14]$.
5. Итак, искомое рациональное число должно принадлежать объединению отрезков $[-6; -4] \cup [12; 14]$.
Можно выбрать любое рациональное число из этого множества. Например, выберем число $13.5$. Оно рационально, $13.5 \ge 12$ (не принадлежит $(-4; 12)$), и расстояние до ближайшего конца ($12$) равно $13.5 - 12 = 1.5$, что не более $2$. Другим примером может быть число $-5$. Оно рационально, $-5 \le -4$, и расстояние до ближайшего конца ($-4$) равно $|-5 - (-4)| = |-1| = 1$, что не более $2$.

Ответ: $13.5$ (или любое другое подходящее рациональное число, например, $-5$ или $12$).