Страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

10.5 а) $5 \in [3; 7];$

б) $8 \in [2; 6];$

в) $12 \in [12; +\infty);$

г) $45 \in (-\infty; 45).$

а)

Запись $5 \in [3; 7]$ означает, что число 5 принадлежит числовому промежутку от 3 до 7. Квадратные скобки показывают, что концы промежутка, то есть числа 3 и 7, также включаются в него. Этот промежуток можно описать двойным неравенством $3 \le x \le 7$. Чтобы проверить истинность утверждения, подставим 5 вместо $x$: $3 \le 5 \le 7$. Это двойное неравенство верно, так как $3 \le 5$ (истина) и $5 \le 7$ (истина). Значит, число 5 находится внутри указанного промежутка.

Ответ: Верно.

б)

Запись $8 \in [2; 6]$ означает, что число 8 принадлежит числовому промежутку от 2 до 6, включая концы. Этот промежуток можно описать двойным неравенством $2 \le x \le 6$. Проверим, выполняется ли это неравенство для числа 8: $2 \le 8 \le 6$. Хотя первая часть неравенства $2 \le 8$ верна, вторая часть $8 \le 6$ является ложной. Поскольку двойное неравенство должно выполняться полностью, всё утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

в)

Запись $12 \in [12; +\infty)$ означает, что число 12 принадлежит числовому промежутку, который начинается с 12 и уходит в плюс бесконечность. Квадратная скобка у числа 12 означает, что само число 12 включено в этот промежуток. Этот промежуток можно описать неравенством $x \ge 12$. Подставим 12 в это неравенство: $12 \ge 12$. Это нестрогое неравенство верно, так как 12 равно 12. Следовательно, утверждение истинно.

Ответ: Верно.

г)

Запись $45 \in (-\infty; 45)$ означает, что число 45 принадлежит числовому промежутку от минус бесконечности до 45. Круглая скобка у числа 45 означает, что само число 45 не включается в этот промежуток (это граничная точка, которая не принадлежит множеству). Этот промежуток можно описать строгим неравенством $x < 45$. Проверим, выполняется ли это неравенство для числа 45: $45 < 45$. Это неравенство является ложным, так как 45 не может быть строго меньше самого себя. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

10.6 a) $14.9 \in [13; 15]$;

б) $0 \in (-1; 1)$;

в) $-17 \in (-17; 8]$;

г) $25.001 \in [0; 25]$.

а) Чтобы проверить утверждение $14,9 \in [13; 15]$, необходимо определить, находится ли число $14,9$ в числовом промежутке (отрезке) от $13$ до $15$. Квадратные скобки означают, что концы отрезка, числа $13$ и $15$, включаются в промежуток. Это эквивалентно проверке двойного неравенства $13 \le x \le 15$ для $x = 14,9$.
Подставляем значение: $13 \le 14,9 \le 15$.
Это неравенство верно, так как $13$ меньше, чем $14,9$, и $14,9$ меньше, чем $15$. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: Верно.

б) Чтобы проверить утверждение $0 \in (-1; 1)$, необходимо определить, находится ли число $0$ в числовом промежутке (интервале) от $-1$ до $1$. Круглые скобки означают, что концы интервала, числа $-1$ и $1$, не включаются в промежуток. Это эквивалентно проверке строгого двойного неравенства $-1 < x < 1$ для $x = 0$.
Подставляем значение: $-1 < 0 < 1$.
Это неравенство верно, так как $-1$ меньше $0$, и $0$ меньше $1$. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: Верно.

в) Чтобы проверить утверждение $-17 \in (-17; 8]$, необходимо определить, принадлежит ли число $-17$ числовому промежутку (полуинтервалу) от $-17$ до $8$. Круглая скобка слева означает, что левый конец, $-17$, не включается в промежуток, а квадратная скобка справа означает, что правый конец, $8$, включается. Это эквивалентно проверке двойного неравенства $-17 < x \le 8$ для $x = -17$.
Подставляем значение: $-17 < -17 \le 8$.
Левая часть этого неравенства, $-17 < -17$, является ложной, так как число не может быть строго меньше самого себя. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

г) Чтобы проверить утверждение $25,001 \in [0; 25]$, необходимо определить, находится ли число $25,001$ в числовом промежутке (отрезке) от $0$ до $25$. Квадратные скобки означают, что концы отрезка, числа $0$ и $25$, включаются в промежуток. Это эквивалентно проверке двойного неравенства $0 \le x \le 25$ для $x = 25,001$.
Подставляем значение: $0 \le 25,001 \le 25$.
Правая часть этого неравенства, $25,001 \le 25$, является ложной, так как $25,001$ больше $25$. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

10.7 a) $23 \notin (22; 23);$

б) $45 \notin [0; 45];$

в) $-19 \notin (0; 19);$

г) $84 \notin [0; 100].$

а)

Необходимо проверить истинность утверждения $23 \notin (22; 23)$. Интервал $(22; 23)$ представляет собой множество всех действительных чисел $x$, удовлетворяющих строгому неравенству $22 < x < 23$. Круглые скобки в обозначении интервала означают, что его концы, то есть числа 22 и 23, в него не входят. Поскольку число 23 является концом интервала и не удовлетворяет условию $x < 23$, оно не принадлежит данному интервалу. Таким образом, утверждение, что 23 не принадлежит интервалу $(22; 23)$, является верным.

Ответ: Верно.

б)

Необходимо проверить истинность утверждения $45 \notin [0; 45]$. Отрезок $[0; 45]$ представляет собой множество всех действительных чисел $x$, удовлетворяющих нестрогому неравенству $0 \le x \le 45$. Квадратные скобки в обозначении отрезка означают, что его концы, то есть числа 0 и 45, в него входят. Число 45 удовлетворяет условию $x \le 45$, следовательно, оно принадлежит данному отрезку. Таким образом, утверждение, что 45 не принадлежит отрезку $[0; 45]$, является неверным.

Ответ: Неверно.

в)

Необходимо проверить истинность утверждения $-19 \notin (0; 19)$. Интервал $(0; 19)$ представляет собой множество всех действительных чисел $x$, удовлетворяющих строгому неравенству $0 < x < 19$. Все числа, принадлежащие этому интервалу, являются положительными, так как они больше нуля. Число -19 является отрицательным, поэтому оно не может принадлежать данному интервалу. Таким образом, утверждение, что -19 не принадлежит интервалу $(0; 19)$, является верным.

Ответ: Верно.

г)

Необходимо проверить истинность утверждения $84 \notin [0; 100]$. Отрезок $[0; 100]$ представляет собой множество всех действительных чисел $x$, удовлетворяющих нестрогому неравенству $0 \le x \le 100$. Квадратные скобки означают, что концы отрезка (0 и 100) включены в множество. Число 84 удовлетворяет данному неравенству, так как $0 \le 84$ и $84 \le 100$. Следовательно, число 84 принадлежит отрезку $[0; 100]$. Таким образом, утверждение, что 84 не принадлежит отрезку $[0; 100]$, является неверным.

Ответ: Неверно.

10.8 a) $(2; 4) \subset [1; 5];$

б) $[1; 6] \subset (0; 4);$

в) $[7; 9] \subset (6; 10);$

г) $[0; 8] \subset (0; +\infty).$

а) (2; 4) ⊂ [1; 5]

Чтобы проверить истинность этого утверждения, необходимо выяснить, каждый ли элемент интервала $(2; 4)$ является также элементом отрезка $[1; 5]$. Интервал $(2; 4)$ представляет собой множество всех действительных чисел $x$, удовлетворяющих строгому неравенству $2 < x < 4$. Отрезок $[1; 5]$ представляет собой множество всех действительных чисел $x$, удовлетворяющих нестрогому неравенству $1 \le x \le 5$. Поскольку левая граница первого множества ($2$) больше левой границы второго ($1$), а правая граница первого ($4$) меньше правой границы второго ($5$), то есть $1 \le 2$ и $4 \le 5$, то любой элемент $x$ из интервала $(2; 4)$ будет удовлетворять неравенству $1 \le x \le 5$. Таким образом, интервал $(2; 4)$ полностью содержится в отрезке $[1; 5]$. Утверждение верно.

Ответ: утверждение верно.

б) [1; 6] ⊂ (0; 4)

Проверим, является ли отрезок $[1; 6]$ подмножеством интервала $(0; 4)$. Для этого каждый элемент отрезка $[1; 6]$ должен принадлежать интервалу $(0; 4)$. Отрезок $[1; 6]$ — это множество чисел $x$, таких что $1 \le x \le 6$. Интервал $(0; 4)$ — это множество чисел $x$, таких что $0 < x < 4$. Найдем контрпример — элемент, который принадлежит первому множеству, но не принадлежит второму. Например, число $5$. Оно принадлежит отрезку $[1; 6]$, так как выполняется условие $1 \le 5 \le 6$. Однако число $5$ не принадлежит интервалу $(0; 4)$, так как условие $0 < 5 < 4$ неверно (в частности, $5 \not< 4$). Поскольку существует хотя бы один элемент из $[1; 6]$, который не входит в $(0; 4)$, то утверждение неверно.

Ответ: утверждение неверно.

в) [7; 9] ⊂ (6; 10)

Проверим, является ли отрезок $[7; 9]$ подмножеством интервала $(6; 10)$. Это означает, что любая точка $x$ из отрезка $[7; 9]$ (то есть $7 \le x \le 9$) должна также принадлежать интервалу $(6; 10)$ (то есть $6 < x < 10$). Сравним границы множеств. Левая граница первого множества ($7$) больше левой границы второго ($6$), что соответствует условию $6 < 7$. Правая граница первого множества ($9$) меньше правой границы второго ($10$), что соответствует условию $9 < 10$. Таким образом, для любого $x$, удовлетворяющего $7 \le x \le 9$, автоматически выполняется и условие $6 < x < 10$. Следовательно, отрезок $[7; 9]$ является подмножеством интервала $(6; 10)$. Утверждение верно.

Ответ: утверждение верно.

г) [0; 8] ⊂ (0; +∞)

Проверим, является ли отрезок $[0; 8]$ подмножеством интервала $(0; +\infty)$. Отрезок $[0; 8]$ включает все числа $x$, для которых $0 \le x \le 8$. Интервал $(0; +\infty)$ включает все числа $x$, для которых $x > 0$. Знак `⊂` означает, что каждый элемент первого множества должен быть элементом второго. Рассмотрим левую границу первого множества, число $0$. Оно принадлежит отрезку $[0; 8]$, так как $0 \le 0 \le 8$. Однако число $0$ не принадлежит интервалу $(0; +\infty)$, так как условие $0 > 0$ ложно. Мы нашли элемент (число $0$), который принадлежит первому множеству, но не принадлежит второму. Следовательно, отрезок $[0; 8]$ не является подмножеством интервала $(0; +\infty)$. Утверждение неверно.

Ответ: утверждение неверно.

10.9 a) $ [1; 3] \not\subset [2; 4]; $

б) $ [12; 42] \not\subset [10; 50]; $

в) $ (-3; +\infty) \not\subset [0; +\infty); $

г) $ [3; 4] \not\subset [5; 7]. $

а) [1; 3] $\not\subset$ [2; 4]

Данное утверждение означает, что отрезок $[1; 3]$ не является подмножеством отрезка $[2; 4]$. Это будет истинно, если найдется хотя бы одно число, которое принадлежит отрезку $[1; 3]$, но не принадлежит отрезку $[2; 4]$.
Рассмотрим число $x=1$. Оно принадлежит отрезку $[1; 3]$, так как выполняется двойное неравенство $1 \le 1 \le 3$.
Однако число $1$ не принадлежит отрезку $[2; 4]$, так как неравенство $2 \le 1 \le 4$ является ложным.
Поскольку мы нашли элемент, принадлежащий первому множеству, но не принадлежащий второму, утверждение является истинным.
Ответ: истинно.

б) [12; 42] $\not\subset$ [10; 50]

Данное утверждение означает, что отрезок $[12; 42]$ не является подмножеством отрезка $[10; 50]$. Для проверки этого утверждения нужно определить, существует ли число в первом отрезке, которое не входит во второй.
Пусть $x$ — произвольное число из отрезка $[12; 42]$. Это означает, что $12 \le x \le 42$.
Поскольку $10 < 12$ и $42 < 50$, то для любого такого $x$ также будет верно неравенство $10 \le x \le 50$.
Это означает, что любое число из отрезка $[12; 42]$ также принадлежит отрезку $[10; 50]$. Следовательно, $[12; 42]$ является подмножеством $[10; 50]$, то есть $[12; 42] \subset [10; 50]$.
Таким образом, исходное утверждение $[12; 42] \not\subset [10; 50]$ является ложным.
Ответ: ложно.

в) (-3; +∞) $\not\subset$ [0; +∞)

Данное утверждение означает, что числовой луч $(-3; +\infty)$ не является подмножеством числового луча $[0; +\infty)$. Это будет истинно, если найдется хотя бы одно число, которое принадлежит лучу $(-3; +\infty)$, но не принадлежит лучу $[0; +\infty)$.
Множество A = $(-3; +\infty)$ включает все числа $x$, для которых $x > -3$.
Множество B = $[0; +\infty)$ включает все числа $x$, для которых $x \ge 0$.
Рассмотрим число $x=-2$. Оно принадлежит множеству A, так как $-2 > -3$.
Однако число $-2$ не принадлежит множеству B, так как неравенство $-2 \ge 0$ является ложным.
Поскольку мы нашли элемент, принадлежащий первому множеству, но не принадлежащий второму, утверждение является истинным.
Ответ: истинно.

г) [3; 4] $\not\subset$ [5; 7]

Данное утверждение означает, что отрезок $[3; 4]$ не является подмножеством отрезка $[5; 7]$. Это будет истинно, если найдется хотя бы одно число, которое принадлежит отрезку $[3; 4]$, но не принадлежит отрезку $[5; 7]$.
Рассмотрим число $x=3$. Оно принадлежит отрезку $[3; 4]$, так как выполняется двойное неравенство $3 \le 3 \le 4$.
Однако число $3$ не принадлежит отрезку $[5; 7]$, так как неравенство $5 \le 3 \le 7$ является ложным.
Более того, множества $[3; 4]$ и $[5; 7]$ не имеют общих точек (их пересечение пусто), так как любое число из первого отрезка меньше или равно 4, а любое число из второго — больше или равно 5.
Следовательно, утверждение о том, что первое множество не является подмножеством второго, является истинным.
Ответ: истинно.

10.10 Даны два числа: -1,2 и -1,1. Укажите:

а) целое число, превосходящее каждое из них;

б) целое число, меньшее каждого из них;

в) целое число, заключённое между ними;

г) натуральное число, превосходящее каждое из них более чем на 2.

Сделайте графические иллюстрации.

Даны два числа: $-1,2$ и $-1,1$. Для решения задачи полезно расположить эти числа на числовой оси. Так как оба числа отрицательные, то большее из них то, чей модуль меньше. $|-1,1| = 1,1$, а $|-1,2| = 1,2$. Поскольку $1,1 < 1,2$, то $-1,1 > -1,2$.

а) целое число, превосходящее каждое из них

Нам нужно найти целое число $x$, которое удовлетворяет неравенствам $x > -1,2$ и $x > -1,1$. Поскольку $-1,1$ является большим из двух данных чисел, достаточно найти целое число $x$, такое что $x > -1,1$. На числовой оси это все целые числа, которые находятся правее точки $-1,1$. Ближайшим таким целым числом является $-1$. Также подходят числа $0, 1, 2$ и так далее. В качестве примера возьмем число $0$.

Графическая иллюстрация:

Ответ: $0$ (или любое целое число, большее $-1$).

б) целое число, меньшее каждого из них

Нам нужно найти целое число $y$, которое удовлетворяет неравенствам $y < -1,2$ и $y < -1,1$. Поскольку $-1,2$ является меньшим из двух данных чисел, достаточно найти целое число $y$, такое что $y < -1,2$. На числовой оси это все целые числа, которые находятся левее точки $-1,2$. Ближайшим таким целым числом является $-2$. Также подходят числа $-3, -4, -5$ и так далее. В качестве примера возьмем число $-2$.

Графическая иллюстрация:

Ответ: $-2$ (или любое целое число, меньшее $-2$).

в) целое число, заключённое между ними

Требуется найти целое число $z$, удовлетворяющее двойному неравенству $-1,2 < z < -1,1$. Рассмотрим целые числа, расположенные на числовой оси: $..., -3, -2, -1, 0, 1, ...$. Между числами $-1,2$ и $-1,1$ нет ни одного целого числа. Следовательно, такого числа не существует.

Графическая иллюстрация:

Ответ: Такого целого числа не существует.

г) натуральное число, превосходящее каждое из них более чем на 2

Нам нужно найти натуральное число $n$ (то есть, $n \in \{1, 2, 3, ...\}$), которое удовлетворяет двум условиям:
1) $n - (-1,2) > 2 \implies n + 1,2 > 2 \implies n > 2 - 1,2 \implies n > 0,8$
2) $n - (-1,1) > 2 \implies n + 1,1 > 2 \implies n > 2 - 1,1 \implies n > 0,9$
Чтобы оба неравенства выполнялись, нужно, чтобы выполнялось более сильное из них, то есть $n > 0,9$. Наименьшее натуральное число, которое больше $0,9$, это $1$. Любое натуральное число, большее $1$ (например, $2, 3, 100$), также является решением. Возьмем в качестве примера число $1$.

Графическая иллюстрация:

Ответ: $1$ (или любое натуральное число, большее $1$).

Укажите число, обратное данному, и число, противоположное данному:

10.11 а) $3$;

б) $-12$;

в) $8$;

г) $-7$.

Чтобы найти число, обратное данному, и число, противоположное данному, воспользуемся следующими определениями:

Противоположное число к числу $a$ — это число $-a$. Сумма противоположных чисел равна нулю: $a + (-a) = 0$. Противоположное число получается изменением знака исходного числа на противоположный.

Обратное число к числу $a$ (при условии, что $a \ne 0$) — это число $\frac{1}{a}$. Произведение взаимно обратных чисел равно единице: $a \cdot \frac{1}{a} = 1$. Чтобы найти обратное число, нужно единицу разделить на данное число.

а) Дано число 3.

Противоположное число для 3 это $-3$.

Обратное число для 3 это $\frac{1}{3}$.

Ответ: противоположное число – -3, обратное число – $\frac{1}{3}$.

б) Дано число -12.

Противоположное число для -12 это $-(-12) = 12$.

Обратное число для -12 это $\frac{1}{-12} = -\frac{1}{12}$.

Ответ: противоположное число – 12, обратное число – $-\frac{1}{12}$.

в) Дано число 8.

Противоположное число для 8 это $-8$.

Обратное число для 8 это $\frac{1}{8}$.

Ответ: противоположное число – -8, обратное число – $\frac{1}{8}$.

г) Дано число -7.

Противоположное число для -7 это $-(-7) = 7$.

Обратное число для -7 это $\frac{1}{-7} = -\frac{1}{7}$.

Ответ: противоположное число – 7, обратное число – $-\frac{1}{7}$.

10.12 a) $ \frac{1}{3} $;

б) $ -\frac{2}{7} $;

в) $ \frac{5}{6} $;

г) $ -\frac{4}{9} $.

а)

Чтобы представить обыкновенную дробь $\frac{1}{3}$ в виде десятичной, нужно разделить ее числитель на знаменатель.
Выполним деление столбиком или на калькуляторе:
$1 : 3 = 0,333...$
Мы получили бесконечную периодическую десятичную дробь. Цифра 3 бесконечно повторяется, поэтому она является периодом дроби и записывается в скобках.

Ответ: $0,(3)$

б)

Чтобы представить отрицательную дробь $-\frac{2}{7}$ в виде десятичной, сначала найдем десятичное представление для ее модуля $\frac{2}{7}$, а затем к результату припишем знак «минус».
Разделим 2 на 7:
$2 : 7 = 0,285714285714...$
В результате деления мы получили бесконечную периодическую десятичную дробь. Группа цифр «285714» является повторяющейся частью (периодом).
Следовательно, $-\frac{2}{7} = -0,(285714)$.

Ответ: $-0,(285714)$

в)

Чтобы представить дробь $\frac{5}{6}$ в виде десятичной, разделим числитель 5 на знаменатель 6.
$5 : 6 = 0,8333...$
Это смешанная периодическая дробь. Цифра 8 не повторяется и стоит до периода, а цифра 3 является периодом.

Ответ: $0,8(3)$

г)

Для представления дроби $-\frac{4}{9}$ в виде десятичной, разделим ее модуль 4 на 9 и поставим перед результатом знак «минус».
$4 : 9 = 0,444...$
Это чистая периодическая дробь, в которой цифра 4 является периодом.
Следовательно, $-\frac{4}{9} = -0,(4)$.

Ответ: $-0,(4)$

10.13 Назовите несколько элементов множества:

а) натуральных чисел;

б) отрицательных чисел;

в) целых чисел;

г) рациональных чисел.

а) натуральных чисел
Натуральные числа — это числа, которые мы используем для счета предметов. Это целые положительные числа. Множество натуральных чисел обозначается символом $\mathbb{N}$ и выглядит так: $\{1, 2, 3, 4, 5, ...\}$. Число 0, как правило, не относят к натуральным числам в школьной программе.
Примерами натуральных чисел могут быть: 7 (количество дней в неделе), 30 (количество дней в месяце), 101.
Ответ: 3, 15, 88, 2023.

б) отрицательных чисел
Отрицательные числа — это числа, которые меньше нуля. На числовой прямой они расположены слева от нуля. Они всегда записываются со знаком «минус». Отрицательными могут быть как целые, так и дробные числа.
Примеры отрицательных чисел: -5 (температура воздуха зимой), -12.5, $-\frac{1}{3}$.
Ответ: -1, -25, -0.7, $-\frac{4}{9}$.

в) целых чисел
Целые числа — это объединение натуральных чисел, им противоположных отрицательных чисел и нуля. Множество целых чисел обозначается символом $\mathbb{Z}$. Таким образом, множество целых чисел выглядит так: $\{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$.
Любое натуральное число является целым. Ноль — целое число. Любое целое отрицательное число (например, -4, -100) также является целым.
Ответ: -18, -2, 0, 67.

г) рациональных чисел
Рациональные числа — это все числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m \in \mathbb{Z}$), а $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$). Множество рациональных чисел обозначается символом $\mathbb{Q}$.
Рациональными числами являются все целые числа (например, $5 = \frac{5}{1}$), все конечные десятичные дроби (например, $1.2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$) и все бесконечные периодические десятичные дроби (например, $0.(6) = 0.666... = \frac{2}{3}$).
Ответ: -7, 0, 13, $\frac{3}{5}$, $-2.8$, $1\frac{1}{4}$.

10.14 Назовите несколько общих элементов:

а) множества натуральных чисел и множества целых чисел;

б) множества рациональных чисел и множества натуральных чисел;

в) множества целых чисел и множества рациональных чисел;

г) множества положительных чисел и множества целых чисел.

а) множества натуральных чисел и множества целых чисел;
Множество натуральных чисел, обозначаемое $N$, состоит из чисел, используемых при счете: $\{1, 2, 3, 4, ...\}$. Множество целых чисел, обозначаемое $Z$, включает в себя все натуральные числа, противоположные им отрицательные числа и ноль: $\{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$. Поскольку каждое натуральное число по определению входит в состав множества целых чисел, то множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел ($N \subset Z$). Следовательно, общими элементами этих двух множеств являются все натуральные числа. В качестве примера можно привести числа 5, 42, 100.
Ответ: 5, 42, 100.

б) множества рациональных чисел и множества натуральных чисел;
Множество натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, ...\}$. Множество рациональных чисел, обозначаемое $Q$, состоит из чисел, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. Любое натуральное число $k$ можно представить в виде дроби $\frac{k}{1}$, что полностью соответствует определению рационального числа. Таким образом, все натуральные числа являются также и рациональными ($N \subset Q$). Общими элементами этих двух множеств являются все натуральные числа. Например, 1, 10, 99.
Ответ: 1, 10, 99.

в) множества целых чисел и множества рациональных чисел;
Множество целых чисел $Z = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$. Множество рациональных чисел $Q$ — это числа, представимые в виде дроби $\frac{m}{n}$. Любое целое число $k$ можно записать как дробь $\frac{k}{1}$, поэтому все целые числа являются рациональными ($Z \subset Q$). Общими элементами этих множеств являются все целые числа. Например, -15, 0, 28.
Ответ: -15, 0, 28.

г) множества положительных чисел и множества целых чисел.
Множество целых чисел $Z$ включает положительные числа, отрицательные и ноль. Множество положительных чисел — это все числа, которые больше нуля ($x > 0$). Общие элементы этих двух множеств — это числа, которые одновременно являются целыми и положительными. Такими числами являются все натуральные числа: $\{1, 2, 3, ...\}$. Например, 7, 56, 300.
Ответ: 7, 56, 300.