Номер 10.8, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Параграф 10. Рациональные числа - номер 10.8, страница 60.

Условие.

10.8 a) $(2; 4) \subset [1; 5];$

б) $[1; 6] \subset (0; 4);$

в) $[7; 9] \subset (6; 10);$

г) $[0; 8] \subset (0; +\infty).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) (2; 4) ⊂ [1; 5]

Чтобы проверить истинность этого утверждения, необходимо выяснить, каждый ли элемент интервала $(2; 4)$ является также элементом отрезка $[1; 5]$. Интервал $(2; 4)$ представляет собой множество всех действительных чисел $x$, удовлетворяющих строгому неравенству $2 < x < 4$. Отрезок $[1; 5]$ представляет собой множество всех действительных чисел $x$, удовлетворяющих нестрогому неравенству $1 \le x \le 5$. Поскольку левая граница первого множества ($2$) больше левой границы второго ($1$), а правая граница первого ($4$) меньше правой границы второго ($5$), то есть $1 \le 2$ и $4 \le 5$, то любой элемент $x$ из интервала $(2; 4)$ будет удовлетворять неравенству $1 \le x \le 5$. Таким образом, интервал $(2; 4)$ полностью содержится в отрезке $[1; 5]$. Утверждение верно.

Ответ: утверждение верно.

б) [1; 6] ⊂ (0; 4)

Проверим, является ли отрезок $[1; 6]$ подмножеством интервала $(0; 4)$. Для этого каждый элемент отрезка $[1; 6]$ должен принадлежать интервалу $(0; 4)$. Отрезок $[1; 6]$ — это множество чисел $x$, таких что $1 \le x \le 6$. Интервал $(0; 4)$ — это множество чисел $x$, таких что $0 < x < 4$. Найдем контрпример — элемент, который принадлежит первому множеству, но не принадлежит второму. Например, число $5$. Оно принадлежит отрезку $[1; 6]$, так как выполняется условие $1 \le 5 \le 6$. Однако число $5$ не принадлежит интервалу $(0; 4)$, так как условие $0 < 5 < 4$ неверно (в частности, $5 \not< 4$). Поскольку существует хотя бы один элемент из $[1; 6]$, который не входит в $(0; 4)$, то утверждение неверно.

Ответ: утверждение неверно.

в) [7; 9] ⊂ (6; 10)

Проверим, является ли отрезок $[7; 9]$ подмножеством интервала $(6; 10)$. Это означает, что любая точка $x$ из отрезка $[7; 9]$ (то есть $7 \le x \le 9$) должна также принадлежать интервалу $(6; 10)$ (то есть $6 < x < 10$). Сравним границы множеств. Левая граница первого множества ($7$) больше левой границы второго ($6$), что соответствует условию $6 < 7$. Правая граница первого множества ($9$) меньше правой границы второго ($10$), что соответствует условию $9 < 10$. Таким образом, для любого $x$, удовлетворяющего $7 \le x \le 9$, автоматически выполняется и условие $6 < x < 10$. Следовательно, отрезок $[7; 9]$ является подмножеством интервала $(6; 10)$. Утверждение верно.

Ответ: утверждение верно.

г) [0; 8] ⊂ (0; +∞)

Проверим, является ли отрезок $[0; 8]$ подмножеством интервала $(0; +\infty)$. Отрезок $[0; 8]$ включает все числа $x$, для которых $0 \le x \le 8$. Интервал $(0; +\infty)$ включает все числа $x$, для которых $x > 0$. Знак `⊂` означает, что каждый элемент первого множества должен быть элементом второго. Рассмотрим левую границу первого множества, число $0$. Оно принадлежит отрезку $[0; 8]$, так как $0 \le 0 \le 8$. Однако число $0$ не принадлежит интервалу $(0; +\infty)$, так как условие $0 > 0$ ложно. Мы нашли элемент (число $0$), который принадлежит первому множеству, но не принадлежит второму. Следовательно, отрезок $[0; 8]$ не является подмножеством интервала $(0; +\infty)$. Утверждение неверно.

Ответ: утверждение неверно.