Страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

9.4 Нарисуйте дерево вариантов значений дроби $\frac{ab}{b-a}$, если переменная $a$ принимает значения 2 или 4, а переменная $b$ — значения 2, 3 или 4. В скольких случаях дробь не имеет смысла?

Какова вероятность того, что при случайном выборе значений $a$ и $b$ значение дроби будет:

a) положительным;

б) меньше 5?

Для решения задачи составим дерево вариантов для всех возможных пар значений переменных a и b и вычислим для каждой пары значение дроби $\frac{ab}{b-a}$.

Переменная a может принимать значения 2 или 4.

Переменная b может принимать значения 2, 3 или 4.

Общее количество комбинаций (исходов) равно $2 \times 3 = 6$.

Дерево вариантов:

• Если a = 2:
  • при b = 2: значение дроби $\frac{2 \cdot 2}{2 - 2} = \frac{4}{0}$ (дробь не имеет смысла, так как деление на ноль).
  • при b = 3: значение дроби $\frac{2 \cdot 3}{3 - 2} = \frac{6}{1} = 6$.
  • при b = 4: значение дроби $\frac{2 \cdot 4}{4 - 2} = \frac{8}{2} = 4$.
• Если a = 4:
  • при b = 2: значение дроби $\frac{4 \cdot 2}{2 - 4} = \frac{8}{-2} = -4$.
  • при b = 3: значение дроби $\frac{4 \cdot 3}{3 - 4} = \frac{12}{-1} = -12$.
  • при b = 4: значение дроби $\frac{4 \cdot 4}{4 - 4} = \frac{16}{0}$ (дробь не имеет смысла, так как деление на ноль).

Дробь не имеет смысла, когда ее знаменатель $b-a$ равен нулю. Это происходит, когда $b = a$. Таких случаев два: когда $a=2, b=2$ и когда $a=4, b=4$.

Ответ: Дробь не имеет смысла в 2 случаях.

Теперь определим вероятности. Общее число равновозможных исходов (случайный выбор пары значений a и b) равно $N=6$.

а) положительным;

Значение дроби будет положительным, если числитель и знаменатель имеют одинаковый знак. Поскольку a и b — положительные числа, числитель $ab$ всегда положителен. Следовательно, знаменатель $b-a$ также должен быть положительным, что означает $b > a$.

Найдем пары, удовлетворяющие этому условию:

• Если $a=2$, то подходят $b=3$ и $b=4$. (2 случая)
• Если $a=4$, то ни одно из значений b (2, 3, 4) не больше 4. (0 случаев)

Число благоприятных исходов $M=2$. Вероятность $P$ того, что значение дроби будет положительным, равна:

$P(\text{положительное}) = \frac{M}{N} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$.

б) меньше 5?

Рассмотрим все случаи, когда дробь имеет определенное значение, и сравним его с 5:

• $a=2, b=3 \rightarrow$ значение 6. $6 \not< 5$
• $a=2, b=4 \rightarrow$ значение 4. $4 < 5$ (благоприятный исход)
• $a=4, b=2 \rightarrow$ значение -4. $-4 < 5$ (благоприятный исход)
• $a=4, b=3 \rightarrow$ значение -12. $-12 < 5$ (благоприятный исход)

Число благоприятных исходов $K=3$. Вероятность $P$ того, что значение дроби будет меньше 5, равна:

$P(\text{меньше 5}) = \frac{K}{N} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

9.5 Выпускник школы собирается поступать на физический или на математический факультет федерального, технического или педагогического университета одного из городов $A$, $B$, $C$. Нарисуйте дерево возможных вариантов выбора университета и факультета, если известно, что:

а) в городе $B$ нет федерального университета;

б) в городе $A$ в педагогическом университете нет физического факультета;

в) технический университет есть только в городе $C$, но там нет математического факультета;

г) во всех городах есть все указанные университеты, а в университетах — указанные факультеты.

Для решения задачи построим дерево вариантов для каждого из условий. Корнем дерева будет выбор города, далее ветви будут представлять выбор университета, а листья — выбор факультета. Общее количество вариантов равно количеству листьев на дереве.

а) По условию, в городе В нет федерального университета. В остальных городах (А и С) доступны все три типа университетов, и в каждом из них есть оба факультета.

• Город А
  • Федеральный университет
    • Физический факультет
    • Математический факультет
  • Технический университет
    • Физический факультет
    • Математический факультет
  • Педагогический университет
    • Физический факультет
    • Математический факультет
• Город B
  • Технический университет
    • Физический факультет
    • Математический факультет
  • Педагогический университет
    • Физический факультет
    • Математический факультет
• Город C
  • Федеральный университет
    • Физический факультет
    • Математический факультет
  • Технический университет
    • Физический факультет
    • Математический факультет
  • Педагогический университет
    • Физический факультет
    • Математический факультет

Посчитаем количество вариантов: в городе А $3 \cdot 2 = 6$ вариантов, в городе B $2 \cdot 2 = 4$ варианта, в городе C $3 \cdot 2 = 6$ вариантов. Всего: $6 + 4 + 6 = 16$.
Ответ: 16 вариантов.

б) По условию, в городе А в педагогическом университете нет физического факультета. В остальном все возможности сохраняются.

• Город А
  • Федеральный университет
    • Физический факультет
    • Математический факультет
  • Технический университет
    • Физический факультет
    • Математический факультет
  • Педагогический университет
    • Математический факультет
• Город B
  • Федеральный университет
    • Физический факультет
    • Математический факультет
  • Технический университет
    • Физический факультет
    • Математический факультет
  • Педагогический университет
    • Физический факультет
    • Математический факультет
• Город C
  • Федеральный университет
    • Физический факультет
    • Математический факультет
  • Технический университет
    • Физический факультет
    • Математический факультет
  • Педагогический университет
    • Физический факультет
    • Математический факультет

Посчитаем количество вариантов: в городе А $(2 \cdot 2) + 1 = 5$ вариантов, в городе B $3 \cdot 2 = 6$ вариантов, в городе C $3 \cdot 2 = 6$ вариантов. Всего: $5 + 6 + 6 = 17$.
Ответ: 17 вариантов.

в) По условию, технический университет есть только в городе С, и в нем нет математического факультета. Это значит, что в городах А и B технических университетов нет.

• Город А
  • Федеральный университет
    • Физический факультет
    • Математический факультет
  • Педагогический университет
    • Физический факультет
    • Математический факультет
• Город B
  • Федеральный университет
    • Физический факультет
    • Математический факультет
  • Педагогический университет
    • Физический факультет
    • Математический факультет
• Город C
  • Федеральный университет
    • Физический факультет
    • Математический факультет
  • Технический университет
    • Физический факультет
  • Педагогический университет
    • Физический факультет
    • Математический факультет

Посчитаем количество вариантов: в городе А $2 \cdot 2 = 4$ варианта, в городе B $2 \cdot 2 = 4$ варианта, в городе C $(2 \cdot 2) + 1 = 5$ вариантов. Всего: $4 + 4 + 5 = 13$.
Ответ: 13 вариантов.

г) По условию, во всех городах есть все указанные университеты, а в университетах — все указанные факультеты. Это случай без ограничений.

• Город А
  • Федеральный университет
    • Физический факультет
    • Математический факультет
  • Технический университет
    • Физический факультет
    • Математический факультет
  • Педагогический университет
    • Физический факультет
    • Математический факультет
• Город B
  • Федеральный университет
    • Физический факультет
    • Математический факультет
  • Технический университет
    • Физический факультет
    • Математический факультет
  • Педагогический университет
    • Физический факультет
    • Математический факультет
• Город C
  • Федеральный университет
    • Физический факультет
    • Математический факультет
  • Технический университет
    • Физический факультет
    • Математический факультет
  • Педагогический университет
    • Физический факультет
    • Математический факультет

Посчитаем количество вариантов, используя правило умножения: 3 города, 3 типа университета в каждом, 2 факультета в каждом. Всего: $3 \cdot 3 \cdot 2 = 18$.
Ответ: 18 вариантов.

9.6 Учительница сказала, что на следующем уроке вызовет к доске Олю, а потом её соседа по парте Толю для решения задач из домашней работы. За ответ у доски, как обычно, можно получить отметку 2, 3, 4 или 5.

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов получения отметок Олей и Толей.

б) Сколько всего вариантов получения отметок Олей и Толей?

в) Сколько всего вариантов, при которых получены только «четвёрки» и «пятёрки»?

г) Сколько всего вариантов, в которых нет «двоек»?

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов получения отметок Олей и Толей.

Дерево вариантов строится следующим образом: от начальной точки (первый уровень) отходят 4 ветви, соответствующие возможным отметкам Оли (2, 3, 4, 5). От конца каждой из этих ветвей, в свою очередь, отходят еще по 4 ветви (второй уровень), соответствующие возможным отметкам Толи (2, 3, 4, 5). В результате получается следующая структура:

• Отметка Оли: 2
  • Отметка Толи: 2
  • Отметка Толи: 3
  • Отметка Толи: 4
  • Отметка Толи: 5
• Отметка Оли: 3
  • Отметка Толи: 2
  • Отметка Толи: 3
  • Отметка Толи: 4
  • Отметка Толи: 5
• Отметка Оли: 4
  • Отметка Толи: 2
  • Отметка Толи: 3
  • Отметка Толи: 4
  • Отметка Толи: 5
• Отметка Оли: 5
  • Отметка Толи: 2
  • Отметка Толи: 3
  • Отметка Толи: 4
  • Отметка Толи: 5

Ответ: Дерево возможных вариантов представлено в виде списка выше.

б) Сколько всего вариантов получения отметок Олей и Толей? Оля может получить одну из 4 возможных отметок (2, 3, 4, 5). Независимо от её отметки, Толя также может получить одну из 4 возможных отметок. Чтобы найти общее число вариантов, нужно перемножить количество вариантов для каждого ученика, согласно правилу умножения в комбинаторике. Таким образом, общее количество вариантов равно $4 \times 4 = 16$. Ответ: 16

в) Сколько всего вариантов, при которых получены только «четвёрки» и «пятёрки»? В этом случае для Оли есть только 2 возможных варианта отметки (4 или 5). Аналогично, для Толи есть также 2 варианта (4 или 5). Перемножив количество этих вариантов, мы получим общее число исходов, удовлетворяющих условию: $2 \times 2 = 4$. Это варианты: (Оля-4, Толя-4), (Оля-4, Толя-5), (Оля-5, Толя-4) и (Оля-5, Толя-5). Ответ: 4

г) Сколько всего вариантов, в которых нет «двоек»? Если исключить «двойки», то для каждого ученика остаются 3 возможные отметки: 3, 4 или 5. Количество вариантов для Оли равно 3. Количество вариантов для Толи также равно 3. По правилу умножения, общее число таких вариантов составляет $3 \times 3 = 9$. Ответ: 9

9.7 На столе решками вверх лежат 4 неразличимые по виду рублёвые монеты. Три из них настоящие, а одна — фальшивая, у которой на обороте ничего не изображено. Наудачу берут поочерёдно три монеты. Настоящую монету кладут в кошелёк, а фальшивую — выбрасывают.

а) Нарисуйте дерево вариантов состава монет на столе.

б) В скольких случаях в кошелёк будет добавлено 3 рубля?

в) Какова вероятность того, что в кошелёк ничего не будет добавлено?

г) Какова вероятность того, что в кошелёк будет добавлено ровно 2 рубля?

а) Нарисуйте дерево вариантов состава монет на столе.

Для построения дерева вариантов обозначим настоящую монету буквой 'Н', а фальшивую – 'Ф'. Изначально на столе находятся 4 монеты: 3 настоящие и 1 фальшивая (состав: 3Н, 1Ф). Мы последовательно берем 3 монеты. Дерево будет отображать последовательность взятых монет и вероятности на каждом шаге.

• Первая монета:
  • С вероятностью $3/4$ будет взята настоящая монета (Н). На столе останется 2Н и 1Ф.
    • Вторая монета:
      • С вероятностью $2/3$ будет взята настоящая монета (Н). На столе останется 1Н и 1Ф.
        • Третья монета:
          • С вероятностью $1/2$ будет взята настоящая монета (Н). Итог: ННН.
          • С вероятностью $1/2$ будет взята фальшивая монета (Ф). Итог: ННФ.
      • С вероятностью $1/3$ будет взята фальшивая монета (Ф). На столе останется 2Н.
        • Третья монета:
          • С вероятностью $2/2 = 1$ будет взята настоящая монета (Н). Итог: НФН.
  • С вероятностью $1/4$ будет взята фальшивая монета (Ф). На столе останется 3Н.
    • Вторая монета:
      • С вероятностью $3/3 = 1$ будет взята настоящая монета (Н). На столе останется 2Н.
        • Третья монета:
          • С вероятностью $2/2 = 1$ будет взята настоящая монета (Н). Итог: ФНН.

Ответ: Дерево вариантов, описывающее возможные последовательности взятых монет, представлено выше.

б) В скольких случаях в кошелёк будет добавлено 3 рубля?

Чтобы в кошелёк было добавлено 3 рубля, необходимо, чтобы все три взятые монеты были настоящими. Согласно построенному дереву вариантов, такая последовательность (комбинация исходов) только одна: ННН (настоящая, настоящая, настоящая).

Ответ: 1.

в) Какова вероятность того, что в кошелёк ничего не будет добавлено?

Чтобы в кошелёк ничего не было добавлено, необходимо, чтобы ни одна из трех взятых монет не была настоящей. Это означает, что все три монеты должны быть фальшивыми. Однако, по условию задачи, на столе есть только одна фальшивая монета. Следовательно, невозможно взять три фальшивые монеты. Данное событие является невозможным, а вероятность невозможного события равна нулю.

Ответ: 0.

г) Какова вероятность того, что в кошелёк будет добавлено ровно 2 рубля?

Чтобы в кошелёк было добавлено ровно 2 рубля, необходимо взять две настоящие монеты и одну фальшивую. Из дерева вариантов видно, что этому условию соответствуют три взаимоисключающих последовательности исходов: ННФ, НФН и ФНН. Найдем вероятность каждой из них и сложим их.

Вероятность последовательности ННФ:

$P(\text{ННФ}) = P(\text{1-я Н}) \cdot P(\text{2-я Н | 1-я Н}) \cdot P(\text{3-я Ф | 1-я и 2-я Н}) = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$

Вероятность последовательности НФН:

$P(\text{НФН}) = P(\text{1-я Н}) \cdot P(\text{2-я Ф | 1-я Н}) \cdot P(\text{3-я Н | 1-я Н и 2-я Ф}) = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

Вероятность последовательности ФНН:

$P(\text{ФНН}) = P(\text{1-я Ф}) \cdot P(\text{2-я Н | 1-я Ф}) \cdot P(\text{3-я Н | 1-я Ф и 2-я Н}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} \cdot \frac{2}{2} = \frac{1}{4}$

Суммарная вероятность равна сумме вероятностей этих трех исходов:

$P(\text{2 рубля}) = P(\text{ННФ}) + P(\text{НФН}) + P(\text{ФНН}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Ответ: $3/4$.