Страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

2. При каких значениях $a$ выражение $\sqrt{a}$ имеет смысл?

Данное выражение $\sqrt{a}$ является арифметическим квадратным корнем из переменной $a$.

По определению, в области действительных чисел арифметический квадратный корень можно извлечь только из неотрицательного числа. Это означает, что выражение, стоящее под знаком корня (подкоренное выражение или радиранд), должно быть больше или равно нулю.

В нашем случае подкоренное выражение — это $a$. Таким образом, для того чтобы выражение $\sqrt{a}$ имело смысл, должно выполняться неравенство:

$a \ge 0$

Это значит, что переменная $a$ может принимать любые значения, которые не являются отрицательными, то есть ноль и все положительные числа. Этот промежуток можно записать как $[0; +\infty)$.

Ответ: выражение $\sqrt{a}$ имеет смысл при $a \ge 0$.

4. Известно, что $(-11)^2 = 121$. Означает ли это, что $\sqrt{121} = -11$?

Нет, это не означает, что $ \sqrt{121} = -11 $.

Давайте разберемся почему. Выражение $ (-11)^2 = 121 $ является верным, так как квадрат любого отрицательного числа есть число положительное.

Однако, по определению, арифметический квадратный корень из неотрицательного числа $a$ (обозначается как $ \sqrt{a} $) — это такое неотрицательное число $b$, что $ b^2 = a $.

Ключевым моментом здесь является то, что результат извлечения арифметического квадратного корня всегда должен быть неотрицательным числом (то есть больше или равен нулю).

В нашем случае, мы ищем $ \sqrt{121} $. Нам нужно найти такое неотрицательное число, квадрат которого равен 121. Существует два числа, квадрат которых равен 121: это 11 и -11.
$ 11^2 = 121 $
$ (-11)^2 = 121 $

Согласно определению арифметического корня, мы должны выбрать неотрицательный вариант. Таким образом, $ \sqrt{121} = 11 $.

Утверждение, что $ (-11)^2 = 121 $, является правдой, но из него следует, что $ \sqrt{121} = \sqrt{(-11)^2} = |-11| = 11 $, используя свойство $ \sqrt{x^2} = |x| $.

Ответ: Нет, это неверно. Равенство $ (-11)^2 = 121 $ не означает, что $ \sqrt{121} = -11 $. По определению арифметического квадратного корня, его значение всегда неотрицательно, поэтому правильным является равенство $ \sqrt{121} = 11 $.

1. Что называют квадратным корнем из неотрицательного числа?

1. Что называют квадратным корнем из неотрицательного числа?

В общем смысле, квадратным корнем из числа $a$ называют число $b$, квадрат которого равен $a$, то есть $b^2 = a$. У любого положительного числа есть два квадратных корня: один положительный, другой отрицательный. Например, для числа 49 квадратными корнями будут 7 и -7, потому что $7^2 = 49$ и $(-7)^2 = 49$.

Однако в стандартном курсе алгебры под понятием «квадратный корень» подразумевают арифметический квадратный корень.

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен $a$.

Арифметический квадратный корень из числа $a$ обозначается знаком радикала $\sqrt{a}$. Число $a$ при этом называют подкоренным выражением. Выражение $\sqrt{a}$ имеет смысл только для неотрицательных чисел, то есть при $a \ge 0$.

Таким образом, запись $\sqrt{a} = b$ равносильна одновременному выполнению двух условий:

1. $b \ge 0$ (значение корня — неотрицательное число);
2. $b^2 = a$ (квадрат этого значения равен подкоренному выражению).

Например:

• $\sqrt{64} = 8$, потому что $8 \ge 0$ и $8^2 = 64$. Хотя $(-8)^2 = 64$, число -8 не является арифметическим квадратным корнем из 64, так как оно отрицательное.
• $\sqrt{0} = 0$, потому что $0 \ge 0$ и $0^2 = 0$.
• Выражение $\sqrt{-25}$ не определено в множестве действительных чисел, так как не существует такого действительного числа, квадрат которого был бы равен отрицательному числу -25.

Ответ: Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен $a$.

3. Известно, что $7^2 = 49$. Означает ли это, что $\sqrt{49} = 7$?

Да, это утверждение верно. Связь между возведением в квадрат и извлечением квадратного корня является прямой, так как это взаимно обратные математические операции.

По определению, арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ (обозначается как $\sqrt{a}$) называется такое неотрицательное число $b$, квадрат которого равен $a$.

Это означает, что равенство $\sqrt{a} = b$ справедливо, если одновременно выполняются два условия:

1. Число $b$ должно быть неотрицательным, то есть $b \ge 0$.

2. Квадрат числа $b$ должен быть равен $a$, то есть $b^2 = a$.

Давайте проверим эти условия для выражения $\sqrt{49} = 7$, используя данную в задаче информацию, что $7^2 = 49$.

1. Результат извлечения корня, число 7, является неотрицательным ($7 > 0$). Первое условие выполняется.

2. Квадрат результата, $7^2$, по условию равен 49. Второе условие также выполняется.

Поскольку оба условия определения выполнены, равенство $\sqrt{49} = 7$ является верным. Таким образом, информация о том, что $7^2 = 49$, является прямым основанием для утверждения, что $\sqrt{49} = 7$.

Важно отметить, что хотя и $(-7)^2$ также равно 49, по определению символ арифметического квадратного корня ($\sqrt{}$) обозначает именно неотрицательный результат. Поэтому $\sqrt{49}$ равно 7, а не -7.

Ответ: Да, означает.

5. Объясните, почему верно равенство $\sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17}$.

Чтобы объяснить, почему данное равенство верно, можно использовать два подхода.

Способ 1: Использование свойства корня из дроби

Существует свойство арифметического квадратного корня, согласно которому корень из дроби равен частному от деления корня из числителя на корень из знаменателя. Математически это записывается так:
$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (где $a \ge 0$ и $b > 0$).
Применим это свойство к левой части исходного равенства:
$\sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{\sqrt{225}}{\sqrt{289}}$
Теперь вычислим квадратные корни из числителя и знаменателя:
Квадратный корень из 225 равен 15, так как $15^2 = 15 \times 15 = 225$.
$\sqrt{225} = 15$
Квадратный корень из 289 равен 17, так как $17^2 = 17 \times 17 = 289$.
$\sqrt{289} = 17$
Подставим полученные значения обратно в выражение:
$\frac{\sqrt{225}}{\sqrt{289}} = \frac{15}{17}$
Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства и получили правую часть, что доказывает верность равенства.

Способ 2: Проверка по определению арифметического квадратного корня

Арифметическим квадратным корнем из числа $x$ называется такое неотрицательное число $y$, квадрат которого равен $x$. То есть, равенство $\sqrt{x} = y$ верно, если выполняются два условия: $y \ge 0$ и $y^2 = x$.
В нашем случае $x = \frac{225}{289}$ и $y = \frac{15}{17}$. Проверим оба условия:
1. Неотрицательность: Число $\frac{15}{17}$ больше нуля, значит, первое условие выполнено.
2. Возведение в квадрат: Проверим, равен ли квадрат правой части подкоренному выражению из левой части.
$(\frac{15}{17})^2 = \frac{15^2}{17^2}$
Мы уже знаем, что $15^2 = 225$ и $17^2 = 289$.
Следовательно, $(\frac{15}{17})^2 = \frac{225}{289}$.
Второе условие также выполнено.
Поскольку оба условия определения арифметического квадратного корня соблюдаются, исходное равенство является верным.

Ответ: Равенство верно, так как, во-первых, по свойству корня из дроби $\sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{\sqrt{225}}{\sqrt{289}} = \frac{15}{17}$, и, во-вторых, по определению корня, число $\frac{15}{17}$ является неотрицательным и его квадрат равен подкоренному выражению: $(\frac{15}{17})^2 = \frac{225}{289}$.

Решите уравнение:

7.28 а) $ \frac{2x^2 - 1}{x} = x; $

б) $ \frac{3x^2 + 2}{x+1} = 3x; $

в) $ \frac{3x^2 - 4}{x} = 2x; $

г) $ \frac{5x^2 - 3}{x-2} = 5x. $

а) $\frac{2x^2 - 1}{x} = x$

Данное уравнение является дробно-рациональным. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от знаменателя, при условии, что $x \neq 0$:

$2x^2 - 1 = x \cdot x$

$2x^2 - 1 = x^2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$2x^2 - x^2 - 1 = 0$

$x^2 - 1 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 1)(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$x - 1 = 0$ или $x + 1 = 0$

Отсюда находим корни:

$x_1 = 1$

$x_2 = -1$

Оба корня, $1$ и $-1$, удовлетворяют условию ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $x = -1, x = 1$.

б) $\frac{3x^2 + 2}{x + 1} = 3x$

Найдем ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, следовательно, $x + 1 \neq 0$, что означает $x \neq -1$.

Умножим обе части уравнения на $(x + 1)$, чтобы избавиться от дроби:

$3x^2 + 2 = 3x(x + 1)$

Раскроем скобки в правой части:

$3x^2 + 2 = 3x^2 + 3x$

Вычтем $3x^2$ из обеих частей уравнения:

$2 = 3x$

Найдем $x$:

$x = \frac{2}{3}$

Полученный корень $x = \frac{2}{3}$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -1$).

Ответ: $x = \frac{2}{3}$.

в) $\frac{3x^2 - 4}{x} = 2x$

Найдем ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на $x$:

$3x^2 - 4 = 2x \cdot x$

$3x^2 - 4 = 2x^2$

Перенесем все члены с переменной в левую часть, а числовые — в правую:

$3x^2 - 2x^2 = 4$

$x^2 = 4$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{4}$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 2$

$x_2 = -2$

Оба корня, $2$ и $-2$, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $x = -2, x = 2$.

г) $\frac{5x^2 - 3}{x - 2} = 5x$

Найдем ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, следовательно, $x - 2 \neq 0$, что означает $x \neq 2$.

Умножим обе части уравнения на $(x - 2)$:

$5x^2 - 3 = 5x(x - 2)$

Раскроем скобки в правой части:

$5x^2 - 3 = 5x^2 - 10x$

Вычтем $5x^2$ из обеих частей уравнения:

$-3 = -10x$

Разделим обе части на $-10$, чтобы найти $x$:

$x = \frac{-3}{-10} = \frac{3}{10}$

Полученный корень $x = \frac{3}{10}$ (или $0.3$) удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 2$).

Ответ: $x = \frac{3}{10}$.

7.29 a) $\frac{3x^2 + 1}{2x} = x + 1;$

б) $\frac{2x^2 - 5}{x + 1} = x - 1;$

в) $\frac{5x^2 - 36}{6x} = x - 2;$

г) $\frac{2x^2 - 13}{x - 2} = x + 2.$

а) $\frac{3x^2+1}{2x}=x+1$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $2x \neq 0$, что означает $x \neq 0$.

Теперь умножим обе части уравнения на знаменатель $2x$, чтобы избавиться от дроби. Это можно делать, так как мы уже учли, что $x \neq 0$.

$3x^2 + 1 = 2x(x+1)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$3x^2 + 1 = 2x^2 + 2x$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3x^2 - 2x^2 - 2x + 1 = 0$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

Заметим, что левая часть является формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(x-1)^2 = 0$

Из этого следует, что $x-1 = 0$, откуда получаем единственный корень:

$x = 1$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Условие было $x \neq 0$. Так как $1 \neq 0$, корень является решением уравнения.

Ответ: $1$

б) $\frac{2x^2-5}{x+1}=x-1$

ОДЗ: знаменатель $x+1 \neq 0$, следовательно, $x \neq -1$.

Умножим обе части уравнения на $(x+1)$:

$2x^2 - 5 = (x-1)(x+1)$

Правая часть уравнения представляет собой формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$2x^2 - 5 = x^2 - 1^2$

$2x^2 - 5 = x^2 - 1$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$2x^2 - x^2 - 5 + 1 = 0$

$x^2 - 4 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем 4 в правую часть:

$x^2 = 4$

Отсюда находим два корня: $x_1 = \sqrt{4} = 2$ и $x_2 = -\sqrt{4} = -2$.

Проверим оба корня на соответствие ОДЗ ($x \neq -1$). Оба корня, $2$ и $-2$, не равны $-1$, следовательно, оба являются решениями.

Ответ: $-2; 2$

в) $\frac{5x^2-36}{6x}=x-2$

ОДЗ: знаменатель $6x \neq 0$, следовательно, $x \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на $6x$:

$5x^2 - 36 = 6x(x-2)$

Раскроем скобки в правой части:

$5x^2 - 36 = 6x^2 - 12x$

Перенесем все слагаемые в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:

$0 = 6x^2 - 5x^2 - 12x + 36$

$x^2 - 12x + 36 = 0$

Левая часть является полным квадратом $(x-6)^2$.

$(x-6)^2 = 0$

Отсюда $x-6=0$, и мы находим корень:

$x = 6$

Проверим корень по ОДЗ ($x \neq 0$). Так как $6 \neq 0$, решение верное.

Ответ: $6$

г) $\frac{2x^2-13}{x-2}=x+2$

ОДЗ: знаменатель $x-2 \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$.

Умножим обе части уравнения на $(x-2)$:

$2x^2 - 13 = (x+2)(x-2)$

Используем формулу разности квадратов для правой части:

$2x^2 - 13 = x^2 - 2^2$

$2x^2 - 13 = x^2 - 4$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$2x^2 - x^2 - 13 + 4 = 0$

$x^2 - 9 = 0$

Решим неполное квадратное уравнение:

$x^2 = 9$

Находим два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Проверим оба корня на соответствие ОДЗ ($x \neq 2$). Оба корня, $3$ и $-3$, не равны $2$, значит, оба являются решениями.

Ответ: $-3; 3$

7.30 а) $\frac{x^3 - 25x}{5x + 25} = 0;$

б) $\frac{y^4 - 256}{2y^2 + 8y} = 0;$

в) $\frac{36x - x^3}{6x - 36} = 0;$

г) $\frac{625 - y^4}{3y^2 - 15y} = 0.$

а) $\frac{x^3 - 25x}{5x + 25} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:

$ \begin{cases} x^3 - 25x = 0, \\ 5x + 25 \neq 0. \end{cases} $

1. Решим первое уравнение (числитель равен нулю):

$x^3 - 25x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 25) = 0$

Применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x(x - 5)(x + 5) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем три возможных корня:

$x_1 = 0$

$x_2 = 5$

$x_3 = -5$

2. Проверим, чтобы знаменатель не был равен нулю (область допустимых значений):

$5x + 25 \neq 0$

$5x \neq -25$

$x \neq -5$

3. Исключим из найденных корней те, которые не входят в область допустимых значений.

Корень $x_3 = -5$ не удовлетворяет условию $x \neq -5$, поэтому он является посторонним корнем.

Корни $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$ удовлетворяют этому условию.

Ответ: $0; 5$.

б) $\frac{y^4 - 256}{2y^2 + 8y} = 0$

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} y^4 - 256 = 0, \\ 2y^2 + 8y \neq 0. \end{cases} $

1. Решим уравнение числителя:

$y^4 - 256 = 0$

Разложим левую часть по формуле разности квадратов:

$(y^2 - 16)(y^2 + 16) = 0$

Еще раз применим формулу разности квадратов к первому множителю:

$(y - 4)(y + 4)(y^2 + 16) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$y - 4 = 0 \implies y_1 = 4$

$y + 4 = 0 \implies y_2 = -4$

Выражение $y^2 + 16$ всегда положительно ($y^2 \ge 0$, значит $y^2+16 > 0$), поэтому оно не может быть равно нулю в действительных числах.

2. Найдем область допустимых значений из условия, что знаменатель не равен нулю:

$2y^2 + 8y \neq 0$

$2y(y + 4) \neq 0$

Отсюда $2y \neq 0$ и $y+4 \neq 0$.

Следовательно, $y \neq 0$ и $y \neq -4$.

3. Сравним корни с ограничениями.

Корень $y_2 = -4$ не удовлетворяет условию $y \neq -4$, поэтому это посторонний корень.

Корень $y_1 = 4$ удовлетворяет всем условиям.

Ответ: $4$.

в) $\frac{36x - x^3}{6x - 36} = 0$

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} 36x - x^3 = 0, \\ 6x - 36 \neq 0. \end{cases} $

1. Решим уравнение числителя:

$36x - x^3 = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(36 - x^2) = 0$

Применим формулу разности квадратов:

$x(6 - x)(6 + x) = 0$

Получаем три возможных корня:

$x_1 = 0$

$x_2 = 6$

$x_3 = -6$

2. Найдем область допустимых значений:

$6x - 36 \neq 0$

$6x \neq 36$

$x \neq 6$

3. Исключим посторонние корни.

Корень $x_2 = 6$ не удовлетворяет условию $x \neq 6$.

Корни $x_1 = 0$ и $x_3 = -6$ удовлетворяют условию.

Ответ: $-6; 0$.

г) $\frac{625 - y^4}{3y^2 - 15y} = 0$

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} 625 - y^4 = 0, \\ 3y^2 - 15y \neq 0. \end{cases} $

1. Решим уравнение числителя:

$625 - y^4 = 0$

Разложим левую часть по формуле разности квадратов:

$(25 - y^2)(25 + y^2) = 0$

Еще раз применим формулу разности квадратов:

$(5 - y)(5 + y)(25 + y^2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$5 - y = 0 \implies y_1 = 5$

$5 + y = 0 \implies y_2 = -5$

Выражение $25 + y^2$ всегда положительно и в ноль не обращается.

2. Найдем область допустимых значений:

$3y^2 - 15y \neq 0$

$3y(y - 5) \neq 0$

Отсюда $3y \neq 0$ и $y - 5 \neq 0$.

Следовательно, $y \neq 0$ и $y \neq 5$.

3. Сравним корни с ограничениями.

Корень $y_1 = 5$ не удовлетворяет условию $y \neq 5$, это посторонний корень.

Корень $y_2 = -5$ удовлетворяет всем условиям.

Ответ: $-5$.

7.31 a) $\frac{x^2 + 4x}{x + 2} = \frac{2x}{3};$

б) $\frac{c - 2}{c + 3} = \frac{c + 3}{c - 2};$

в) $\frac{x^2 - 5x}{x - 1} = \frac{7x}{9};$

г) $\frac{x - 2}{x + 2} = \frac{x + 3}{x - 4}.$

а)

Дано рациональное уравнение: $ \frac{x^2 + 4x}{x + 2} = \frac{2x}{3} $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $ x + 2 \neq 0 $, что означает $ x \neq -2 $.

Для решения уравнения воспользуемся свойством пропорции (умножим крест-накрест):

$ 3(x^2 + 4x) = 2x(x + 2) $

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$ 3x^2 + 12x = 2x^2 + 4x $

Перенесем все члены в левую часть уравнения и приведем подобные слагаемые:

$ 3x^2 - 2x^2 + 12x - 4x = 0 $

$ x^2 + 8x = 0 $

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $ x $ за скобки:

$ x(x + 8) = 0 $

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$ x_1 = 0 $

$ x + 8 = 0 \implies x_2 = -8 $

Оба найденных корня ($0$ и $-8$) удовлетворяют ОДЗ ($ x \neq -2 $).

Ответ: $0; -8$.

б)

Дано уравнение: $ \frac{c - 2}{c + 3} = \frac{c + 3}{c - 2} $.

ОДЗ: знаменатели не могут быть равны нулю, следовательно, $ c + 3 \neq 0 $ и $ c - 2 \neq 0 $. Отсюда $ c \neq -3 $ и $ c \neq 2 $.

Применим основное свойство пропорции:

$ (c - 2)(c - 2) = (c + 3)(c + 3) $

$ (c - 2)^2 = (c + 3)^2 $

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения (квадрат разности и квадрат суммы):

$ c^2 - 2 \cdot c \cdot 2 + 2^2 = c^2 + 2 \cdot c \cdot 3 + 3^2 $

$ c^2 - 4c + 4 = c^2 + 6c + 9 $

Перенесем все члены с переменной $c$ в левую часть, а числовые члены — в правую:

$ c^2 - c^2 - 4c - 6c = 9 - 4 $

$ -10c = 5 $

Найдем $c$:

$ c = \frac{5}{-10} = -0.5 $

Полученный корень $ c = -0.5 $ не противоречит ОДЗ.

Ответ: $-0.5$.

в)

Дано уравнение: $ \frac{x^2 - 5x}{x - 1} = \frac{7x}{9} $.

ОДЗ: $ x - 1 \neq 0 $, откуда $ x \neq 1 $.

Используем перекрестное умножение:

$ 9(x^2 - 5x) = 7x(x - 1) $

Раскроем скобки:

$ 9x^2 - 45x = 7x^2 - 7x $

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$ 9x^2 - 7x^2 - 45x + 7x = 0 $

$ 2x^2 - 38x = 0 $

Вынесем за скобки общий множитель $2x$:

$ 2x(x - 19) = 0 $

Приравняем каждый множитель к нулю:

$ 2x = 0 \implies x_1 = 0 $

$ x - 19 = 0 \implies x_2 = 19 $

Оба корня ($0$ и $19$) удовлетворяют ОДЗ ($ x \neq 1 $).

Ответ: $0; 19$.

г)

Дано уравнение: $ \frac{x - 2}{x + 2} = \frac{x + 3}{x - 4} $.

ОДЗ: $ x + 2 \neq 0 $ и $ x - 4 \neq 0 $, следовательно, $ x \neq -2 $ и $ x \neq 4 $.

Воспользуемся свойством пропорции:

$ (x - 2)(x - 4) = (x + 3)(x + 2) $

Раскроем скобки в обеих частях:

$ x^2 - 4x - 2x + 8 = x^2 + 2x + 3x + 6 $

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$ x^2 - 6x + 8 = x^2 + 5x + 6 $

Перенесем члены с $x$ влево, а числа вправо. Члены $x^2$ взаимно уничтожаются.

$ -6x - 5x = 6 - 8 $

$ -11x = -2 $

Найдем $x$:

$ x = \frac{-2}{-11} = \frac{2}{11} $

Корень $ x = \frac{2}{11} $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{2}{11}$.

7.32 a) $\frac{3x}{x-1} + \frac{x+3}{x+1} = 3;$

б) $\frac{a-1}{4a-5} = \left(\frac{2a-1}{4a-5}\right)^2;$

в) $\frac{2x}{x+3} + \frac{x-6}{x-3} = 2;$

г) $\left(\frac{b-1}{b+3}\right)^2 = \frac{b+1}{b+3}.$

а) $ \frac{3x}{x-1} + \frac{x+3}{x+1} = 3 $
1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю: $x-1 \neq 0$ и $x+1 \neq 0$. Следовательно, $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
2. Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$. Для этого домножим первую дробь на $(x+1)$, вторую на $(x-1)$, а число 3 представим как дробь со знаменателем $(x-1)(x+1)$.
$ \frac{3x(x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{(x+3)(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{3(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)} $
3. Так как знаменатели равны и не равны нулю (согласно ОДЗ), мы можем приравнять числители:
$ 3x(x+1) + (x+3)(x-1) = 3(x-1)(x+1) $
4. Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$ (3x^2 + 3x) + (x^2 - x + 3x - 3) = 3(x^2 - 1) $
5. Упростим выражение в левой части:
$ 3x^2 + 3x + x^2 + 2x - 3 = 3x^2 - 3 $
$ 4x^2 + 5x - 3 = 3x^2 - 3 $
6. Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:
$ 4x^2 - 3x^2 + 5x - 3 + 3 = 0 $
$ x^2 + 5x = 0 $
7. Решим полученное неполное квадратное уравнение, вынеся $x$ за скобки:
$ x(x+5) = 0 $
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$ x_1 = 0 $ или $ x+5 = 0 \implies x_2 = -5 $
8. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ. Оба корня ($0$ и $-5$) не равны $1$ и $-1$, следовательно, они являются решениями уравнения.
Ответ: $0; -5$.

б) $ \frac{a-1}{4a-5} = \left(\frac{2a-1}{4a-5}\right)^2 $
1. ОДЗ: знаменатель $4a-5 \neq 0$, следовательно, $a \neq \frac{5}{4}$.
2. Раскроем квадрат в правой части уравнения:
$ \frac{a-1}{4a-5} = \frac{(2a-1)^2}{(4a-5)^2} $
3. Перенесем все члены уравнения в одну сторону:
$ \frac{a-1}{4a-5} - \frac{(2a-1)^2}{(4a-5)^2} = 0 $
4. Приведем дроби к общему знаменателю $(4a-5)^2$:
$ \frac{(a-1)(4a-5)}{(4a-5)^2} - \frac{(2a-1)^2}{(4a-5)^2} = 0 $
5. Запишем числитель как одно выражение:
$ \frac{(a-1)(4a-5) - (2a-1)^2}{(4a-5)^2} = 0 $
6. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен (что учтено в ОДЗ).
$ (a-1)(4a-5) - (2a-1)^2 = 0 $
7. Раскроем скобки. Для $(2a-1)^2$ используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
$ (4a^2 - 5a - 4a + 5) - (4a^2 - 4a + 1) = 0 $
$ 4a^2 - 9a + 5 - 4a^2 + 4a - 1 = 0 $
8. Приведем подобные слагаемые:
$ (4a^2 - 4a^2) + (-9a + 4a) + (5 - 1) = 0 $
$ -5a + 4 = 0 $
9. Решим линейное уравнение:
$ 5a = 4 $
$ a = \frac{4}{5} $
10. Найденный корень $a = \frac{4}{5}$ не равен $\frac{5}{4}$, поэтому он удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $\frac{4}{5}$.

в) $ \frac{2x}{x+3} + \frac{x-6}{x-3} = 2 $
1. ОДЗ: $x+3 \neq 0$ и $x-3 \neq 0$. Следовательно, $x \neq -3$ и $x \neq 3$.
2. Общий знаменатель: $(x+3)(x-3) = x^2 - 9$. Умножим обе части уравнения на него:
$ 2x(x-3) + (x-6)(x+3) = 2(x+3)(x-3) $
3. Раскроем скобки:
$ (2x^2 - 6x) + (x^2 + 3x - 6x - 18) = 2(x^2 - 9) $
4. Упростим обе части уравнения:
$ 2x^2 - 6x + x^2 - 3x - 18 = 2x^2 - 18 $
$ 3x^2 - 9x - 18 = 2x^2 - 18 $
5. Перенесем все слагаемые в левую часть:
$ 3x^2 - 2x^2 - 9x - 18 + 18 = 0 $
$ x^2 - 9x = 0 $
6. Решим неполное квадратное уравнение, вынеся $x$ за скобки:
$ x(x-9) = 0 $
Отсюда $x_1 = 0$ или $x-9=0 \implies x_2 = 9$.
7. Оба корня ($0$ и $9$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm 3$).
Ответ: $0; 9$.

г) $ \left(\frac{b-1}{b+3}\right)^2 = \frac{b+1}{b+3} $
1. ОДЗ: $b+3 \neq 0$, следовательно, $b \neq -3$.
2. Запишем уравнение в виде дробей:
$ \frac{(b-1)^2}{(b+3)^2} = \frac{b+1}{b+3} $
3. Перенесем дробь из правой части влево и приведем к общему знаменателю $(b+3)^2$:
$ \frac{(b-1)^2}{(b+3)^2} - \frac{(b+1)(b+3)}{(b+3)^2} = 0 $
4. Так как знаменатель не равен нулю (по ОДЗ), приравняем числитель к нулю:
$ (b-1)^2 - (b+1)(b+3) = 0 $
5. Раскроем скобки. Для $(b-1)^2$ используем формулу квадрата разности.
$ (b^2 - 2b + 1) - (b^2 + 3b + b + 3) = 0 $
$ b^2 - 2b + 1 - (b^2 + 4b + 3) = 0 $
6. Раскроем вторые скобки, меняя знаки на противоположные:
$ b^2 - 2b + 1 - b^2 - 4b - 3 = 0 $
7. Приведем подобные слагаемые:
$ (b^2 - b^2) + (-2b - 4b) + (1 - 3) = 0 $
$ -6b - 2 = 0 $
8. Решим полученное линейное уравнение:
$ -6b = 2 $
$ b = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} $
9. Корень $b = -\frac{1}{3}$ не равен $-3$, значит, он удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-\frac{1}{3}$.

7.33 a) $ \frac{3}{x-4} - \frac{25}{x^2-16} = \frac{x+1}{x+4}; $

б) $ \frac{19}{(x-5)(x+1)} + \frac{x}{x+1} = \frac{3}{x-5}; $

в) $ \frac{1}{x-5} - \frac{26}{x^2-25} = \frac{x+4}{x+5}; $

г) $ \frac{14}{(x-3)(x+2)} + \frac{6}{x+2} = \frac{x}{x-3}. $

а)

Дано уравнение: $\frac{3}{x-4} - \frac{25}{x^2-16} = \frac{x+1}{x+4}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю:

$x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$

$x + 4 \neq 0 \implies x \neq -4$

$x^2 - 16 = (x-4)(x+4) \neq 0 \implies x \neq 4$ и $x \neq -4$.

Итак, ОДЗ: $x \neq \pm 4$.

Приведем все дроби к общему знаменателю $(x-4)(x+4)$:

$\frac{3(x+4)}{(x-4)(x+4)} - \frac{25}{(x-4)(x+4)} = \frac{(x+1)(x-4)}{(x+4)(x-4)}$

Так как знаменатели равны и не равны нулю в ОДЗ, мы можем приравнять числители:

$3(x+4) - 25 = (x+1)(x-4)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$3x + 12 - 25 = x^2 - 4x + x - 4$

$3x - 13 = x^2 - 3x - 4$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$0 = x^2 - 3x - 3x - 4 + 13$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

Это уравнение является полным квадратом разности:

$(x-3)^2 = 0$

Отсюда находим корень:

$x-3 = 0 \implies x = 3$

Корень $x=3$ входит в ОДЗ, так как $3 \neq \pm 4$.

Ответ: $3$

б)

Дано уравнение: $\frac{19}{(x-5)(x+1)} + \frac{x}{x+1} = \frac{3}{x-5}$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не должны быть равны нулю:

$x - 5 \neq 0 \implies x \neq 5$

$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$

Итак, ОДЗ: $x \neq 5$ и $x \neq -1$.

Общий знаменатель для всех дробей — это $(x-5)(x+1)$. Умножим обе части уравнения на него:

$19 + x(x-5) = 3(x+1)$

Раскроем скобки и упростим:

$19 + x^2 - 5x = 3x + 3$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 5x - 3x + 19 - 3 = 0$

$x^2 - 8x + 16 = 0$

Это уравнение является полным квадратом разности:

$(x-4)^2 = 0$

Отсюда находим корень:

$x-4 = 0 \implies x = 4$

Корень $x=4$ входит в ОДЗ, так как $4 \neq 5$ и $4 \neq -1$.

Ответ: $4$

в)

Дано уравнение: $\frac{1}{x-5} - \frac{26}{x^2-25} = \frac{x+4}{x+5}$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не должны быть равны нулю:

$x - 5 \neq 0 \implies x \neq 5$

$x + 5 \neq 0 \implies x \neq -5$

$x^2 - 25 = (x-5)(x+5) \neq 0 \implies x \neq 5$ и $x \neq -5$.

Итак, ОДЗ: $x \neq \pm 5$.

Приведем все дроби к общему знаменателю $(x-5)(x+5)$:

$\frac{1(x+5)}{(x-5)(x+5)} - \frac{26}{(x-5)(x+5)} = \frac{(x+4)(x-5)}{(x+5)(x-5)}$

Приравняем числители:

$x+5 - 26 = (x+4)(x-5)$

Раскроем скобки и упростим:

$x - 21 = x^2 - 5x + 4x - 20$

$x - 21 = x^2 - x - 20$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 = x^2 - x - x - 20 + 21$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

Это уравнение является полным квадратом разности:

$(x-1)^2 = 0$

Отсюда находим корень:

$x-1 = 0 \implies x = 1$

Корень $x=1$ входит в ОДЗ, так как $1 \neq \pm 5$.

Ответ: $1$

г)

Дано уравнение: $\frac{14}{(x-3)(x+2)} + \frac{6}{x+2} = \frac{x}{x-3}$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не должны быть равны нулю:

$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$

$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$

Итак, ОДЗ: $x \neq 3$ и $x \neq -2$.

Общий знаменатель для всех дробей — это $(x-3)(x+2)$. Умножим обе части уравнения на него:

$14 + 6(x-3) = x(x+2)$

Раскроем скобки и упростим:

$14 + 6x - 18 = x^2 + 2x$

$6x - 4 = x^2 + 2x$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 = x^2 + 2x - 6x + 4$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

Это уравнение является полным квадратом разности:

$(x-2)^2 = 0$

Отсюда находим корень:

$x-2 = 0 \implies x = 2$

Корень $x=2$ входит в ОДЗ, так как $2 \neq 3$ и $2 \neq -2$.

Ответ: $2$

7.34 a) $ \frac{x^2 + 3x}{2(x - 3)} + \frac{x + 12}{6} = \frac{3x}{x - 3}; $

б) $ \frac{3}{x} - \frac{6}{x(x + 2)} = \frac{1 + 2x}{x + 2}; $

в) $ \frac{x^2 - x}{3(x + 2)} + \frac{x}{x + 2} = \frac{x + 6}{12}; $

г) $ \frac{1}{x} - \frac{5}{x(5 - x)} = \frac{x - 7}{5 - x}. $

а)

Решим уравнение $ \frac{x^2+3x}{2(x-3)} + \frac{x+12}{6} = \frac{3x}{x-3} $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатели не равны нулю: $ x-3 \neq 0 $, откуда $ x \neq 3 $.

Приведем все дроби к общему знаменателю $ 6(x-3) $. Для этого умножим обе части уравнения на него:

$ 6(x-3) \cdot \frac{x^2+3x}{2(x-3)} + 6(x-3) \cdot \frac{x+12}{6} = 6(x-3) \cdot \frac{3x}{x-3} $

После сокращения дробей получим:

$ 3(x^2+3x) + (x-3)(x+12) = 6(3x) $

Раскроем скобки:

$ 3x^2 + 9x + x^2 + 12x - 3x - 36 = 18x $

Приведем подобные слагаемые:

$ 4x^2 + 18x - 36 = 18x $

Перенесем все члены в левую часть:

$ 4x^2 + 18x - 18x - 36 = 0 $

$ 4x^2 - 36 = 0 $

Разделим уравнение на 4:

$ x^2 - 9 = 0 $

Разложим на множители по формуле разности квадратов:

$ (x-3)(x+3) = 0 $

Отсюда получаем два возможных корня: $ x_1 = 3 $ и $ x_2 = -3 $.

Проверим корни по ОДЗ ($ x \neq 3 $). Корень $ x_1 = 3 $ является посторонним. Единственным решением является $ x = -3 $.

Ответ: -3

б)

Решим уравнение $ \frac{3}{x} - \frac{6}{x(x+2)} = \frac{1+2x}{x+2} $.

ОДЗ: $ x \neq 0 $ и $ x+2 \neq 0 $, то есть $ x \neq 0 $ и $ x \neq -2 $.

Общий знаменатель дробей — $ x(x+2) $. Умножим обе части уравнения на него:

$ x(x+2) \cdot \frac{3}{x} - x(x+2) \cdot \frac{6}{x(x+2)} = x(x+2) \cdot \frac{1+2x}{x+2} $

После сокращения:

$ 3(x+2) - 6 = x(1+2x) $

Раскроем скобки:

$ 3x + 6 - 6 = x + 2x^2 $

$ 3x = x + 2x^2 $

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$ 2x^2 + x - 3x = 0 $

$ 2x^2 - 2x = 0 $

Вынесем общий множитель $ 2x $ за скобки:

$ 2x(x-1) = 0 $

Получаем два возможных корня: $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = 1 $.

Согласно ОДЗ, $ x \neq 0 $. Значит, корень $ x_1 = 0 $ — посторонний. Остается решение $ x = 1 $.

Ответ: 1

в)

Решим уравнение $ \frac{x^2-x}{3(x+2)} + \frac{x}{x+2} = \frac{x+6}{12} $.

ОДЗ: $ x+2 \neq 0 $, то есть $ x \neq -2 $.

Общий знаменатель — $ 12(x+2) $. Умножим обе части уравнения на него:

$ 12(x+2) \cdot \frac{x^2-x}{3(x+2)} + 12(x+2) \cdot \frac{x}{x+2} = 12(x+2) \cdot \frac{x+6}{12} $

После сокращения:

$ 4(x^2-x) + 12x = (x+2)(x+6) $

Раскроем скобки:

$ 4x^2 - 4x + 12x = x^2 + 6x + 2x + 12 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 4x^2 + 8x = x^2 + 8x + 12 $

Перенесем все члены с $x$ и константы в левую часть:

$ 4x^2 - x^2 + 8x - 8x - 12 = 0 $

$ 3x^2 - 12 = 0 $

Разделим на 3:

$ x^2 - 4 = 0 $

$ (x-2)(x+2) = 0 $

Получаем два корня: $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = -2 $.

Проверим по ОДЗ ($ x \neq -2 $). Корень $ x_2 = -2 $ является посторонним. Решением является $ x = 2 $.

Ответ: 2

г)

Решим уравнение $ \frac{1}{x} - \frac{5}{x(5-x)} = \frac{x-7}{5-x} $.

ОДЗ: $ x \neq 0 $ и $ 5-x \neq 0 $, то есть $ x \neq 0 $ и $ x \neq 5 $.

Общий знаменатель — $ x(5-x) $. Умножим на него обе части уравнения:

$ x(5-x) \cdot \frac{1}{x} - x(5-x) \cdot \frac{5}{x(5-x)} = x(5-x) \cdot \frac{x-7}{5-x} $

После сокращения получаем:

$ 1(5-x) - 5 = x(x-7) $

Раскроем скобки:

$ 5 - x - 5 = x^2 - 7x $

$ -x = x^2 - 7x $

Перенесем все в правую часть:

$ x^2 - 7x + x = 0 $

$ x^2 - 6x = 0 $

Вынесем $ x $ за скобки:

$ x(x-6) = 0 $

Возможные корни: $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = 6 $.

Согласно ОДЗ ($ x \neq 0 $), корень $ x_1 = 0 $ является посторонним. Следовательно, решением является $ x = 6 $.

Ответ: 6

7.35 a) $\frac{x}{x-2} - \frac{4}{x+2} = \frac{8}{x^2-4}$

б) $\frac{3x+27}{3x-x^2} + \frac{3}{x} - \frac{4x}{3-x} = 0$

в) $\frac{x}{x-3} - \frac{6}{x+3} = \frac{18}{x^2-9}$

г) $\frac{5x}{x-2} + \frac{2}{x} - \frac{16+2x}{x^2-2x} = 0$

а) $\frac{x}{x-2} - \frac{4}{x+2} = \frac{8}{x^2-4}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Знаменатели дробей не должны быть равны нулю.

$x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$

$x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$

Знаменатель в правой части $x^2-4$ можно разложить по формуле разности квадратов: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$. Условия для него те же: $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Итак, ОДЗ: $x \neq \pm 2$.

Приведем все дроби к общему знаменателю $(x-2)(x+2)$:

$\frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{4(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{8}{(x-2)(x+2)}$

Теперь мы можем отбросить знаменатели, так как мы учли их в ОДЗ. Получаем уравнение:

$x(x+2) - 4(x-2) = 8$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$x^2 + 2x - 4x + 8 = 8$

$x^2 - 2x = 8 - 8$

$x^2 - 2x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x-2) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1=0$ и $x_2=2$.

Проверим, соответствуют ли корни ОДЗ ($x \neq \pm 2$).

Корень $x=0$ удовлетворяет условиям ОДЗ.

Корень $x=2$ не удовлетворяет условиям ОДЗ, поэтому является посторонним корнем.

Ответ: $0$.

б) $\frac{3x+27}{3x-x^2} + \frac{3}{x} - \frac{4x}{3-x} = 0$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не равны нулю:

$3x-x^2 = x(3-x) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ и $x \neq 3$.

$x \neq 0$.

$3-x \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$.

ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq 3$.

Приведем все дроби к общему знаменателю $x(3-x)$. Для этого домножим вторую дробь на $(3-x)$, а третью на $x$.

$\frac{3x+27}{x(3-x)} + \frac{3(3-x)}{x(3-x)} - \frac{4x \cdot x}{x(3-x)} = 0$

Запишем все под одной дробной чертой:

$\frac{(3x+27) + 3(3-x) - 4x^2}{x(3-x)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (что учтено в ОДЗ).

$3x+27 + 9 - 3x - 4x^2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$36 - 4x^2 = 0$

$4x^2 = 36$

$x^2 = 9$

Получаем два возможных корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 0, x \neq 3$).

Корень $x=3$ не удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x=-3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-3$.

в) $\frac{x}{x-3} - \frac{6}{x+3} = \frac{18}{x^2-9}$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не равны нулю:

$x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$

$x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$

Знаменатель $x^2-9 = (x-3)(x+3)$, поэтому условия те же.

ОДЗ: $x \neq \pm 3$.

Общий знаменатель: $(x-3)(x+3)$. Умножим обе части уравнения на него:

$x(x+3) - 6(x-3) = 18$

Раскроем скобки:

$x^2 + 3x - 6x + 18 = 18$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 3x = 18 - 18$

$x^2 - 3x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x-3) = 0$

Возможные корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq \pm 3$).

Корень $x=0$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x=3$ не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $0$.

г) $\frac{5x}{x-2} + \frac{2}{x} - \frac{16+2x}{x^2-2x} = 0$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не равны нулю:

$x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$

$x \neq 0$

Знаменатель $x^2-2x = x(x-2)$, поэтому условия те же.

ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq 2$.

Общий знаменатель: $x(x-2)$. Приведем дроби к нему:

$\frac{5x \cdot x}{x(x-2)} + \frac{2(x-2)}{x(x-2)} - \frac{16+2x}{x(x-2)} = 0$

Запишем числители под одной дробной чертой:

$\frac{5x^2 + 2(x-2) - (16+2x)}{x(x-2)} = 0$

Приравняем числитель к нулю:

$5x^2 + 2x - 4 - 16 - 2x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$5x^2 - 20 = 0$

$5x^2 = 20$

$x^2 = 4$

Возможные корни: $x_1=2$ и $x_2=-2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 0, x \neq 2$).

Корень $x=2$ не удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x=-2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-2$.