Страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

5.44 Докажите тождество:

a) $\frac{a^4 - 64ab^3}{a^2 - 2ab + b^2} \cdot \frac{a^2 - b^2}{a^2b - 16b^3} : \frac{a^3 + 4a^2b + 16ab^2}{ab + 4b^2} = \frac{a + b}{a - b};$

б) $\frac{x^3z + 125z}{x^2 - 16z^2} : \frac{x^3 - 25x}{x^2 - 8xz + 16z^2} \cdot \frac{x + 4z}{x^2 - 5x + 25} : \frac{x - 4z}{x - 5} = \frac{z}{x}.$

а) Чтобы доказать тождество, необходимо упростить его левую часть и показать, что она равна правой. Для этого выполним действия с дробями. Сначала заменим деление на умножение на обратную дробь.

Исходное выражение: $ \frac{a^4 - 64ab^3}{a^2 - 2ab + b^2} \cdot \frac{a^2 - b^2}{a^2b - 16b^3} : \frac{a^3 + 4a^2b + 16ab^2}{ab + 4b^2} $.

Преобразуем выражение, заменив деление умножением:

$ \frac{a^4 - 64ab^3}{a^2 - 2ab + b^2} \cdot \frac{a^2 - b^2}{a^2b - 16b^3} \cdot \frac{ab + 4b^2}{a^3 + 4a^2b + 16ab^2} $.

Теперь разложим на множители числители и знаменатели каждой дроби, используя формулы сокращенного умножения:

• $ a^4 - 64ab^3 = a(a^3 - 64b^3) = a(a^3 - (4b)^3) = a(a - 4b)(a^2 + 4ab + 16b^2) $ (разность кубов);
• $ a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 $ (квадрат разности);
• $ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $ (разность квадратов);
• $ a^2b - 16b^3 = b(a^2 - 16b^2) = b(a - 4b)(a + 4b) $ (разность квадратов);
• $ a^3 + 4a^2b + 16ab^2 = a(a^2 + 4ab + 16b^2) $ (вынесение общего множителя);
• $ ab + 4b^2 = b(a + 4b) $ (вынесение общего множителя).

Подставим разложенные выражения обратно в произведение дробей:

$ \frac{a(a - 4b)(a^2 + 4ab + 16b^2)}{(a - b)^2} \cdot \frac{(a - b)(a + b)}{b(a - 4b)(a + 4b)} \cdot \frac{b(a + 4b)}{a(a^2 + 4ab + 16b^2)} $.

Теперь сократим общие множители в числителе и знаменателе. Сгруппируем все множители:

Числитель: $ a \cdot (a - 4b) \cdot (a^2 + 4ab + 16b^2) \cdot (a - b) \cdot (a + b) \cdot b \cdot (a + 4b) $.

Знаменатель: $ (a - b)^2 \cdot b \cdot (a - 4b) \cdot (a + 4b) \cdot a \cdot (a^2 + 4ab + 16b^2) $.

Сокращаем $ a $, $ (a - 4b) $, $ (a^2 + 4ab + 16b^2) $, $ (a-b) $ (одна степень), $ b $, $ (a+4b) $.

После сокращения получаем:

$ \frac{a+b}{a-b} $.

Таким образом, левая часть тождества равна $ \frac{a+b}{a-b} $, что совпадает с правой частью.
Ответ: Тождество доказано.

б) Чтобы доказать тождество, упростим его левую часть. Операции умножения и деления выполняются последовательно слева направо.

Исходное выражение: $ \frac{x^3z + 125z}{x^2 - 16z^2} : \frac{x^3 - 25x}{x^2 - 8xz + 16z^2} \cdot \frac{x + 4z}{x^2 - 5x + 25} : \frac{x - 4z}{x - 5} $.

Заменим все операции деления на умножение на обратные дроби:

$ \frac{x^3z + 125z}{x^2 - 16z^2} \cdot \frac{x^2 - 8xz + 16z^2}{x^3 - 25x} \cdot \frac{x + 4z}{x^2 - 5x + 25} \cdot \frac{x - 5}{x - 4z} $.

Разложим на множители числители и знаменатели:

• $ x^3z + 125z = z(x^3 + 125) = z(x^3 + 5^3) = z(x + 5)(x^2 - 5x + 25) $ (сумма кубов);
• $ x^2 - 16z^2 = (x - 4z)(x + 4z) $ (разность квадратов);
• $ x^2 - 8xz + 16z^2 = (x - 4z)^2 $ (квадрат разности);
• $ x^3 - 25x = x(x^2 - 25) = x(x - 5)(x + 5) $ (разность квадратов);
• $ x^2 - 5x + 25 $ является неполным квадратом разности и далее не раскладывается.

Подставим разложенные выражения:

$ \frac{z(x + 5)(x^2 - 5x + 25)}{(x - 4z)(x + 4z)} \cdot \frac{(x - 4z)^2}{x(x - 5)(x + 5)} \cdot \frac{x + 4z}{x^2 - 5x + 25} \cdot \frac{x - 5}{x - 4z} $.

Сгруппируем все множители в числителе и знаменателе для удобства сокращения:

Числитель: $ z \cdot (x + 5) \cdot (x^2 - 5x + 25) \cdot (x - 4z)^2 \cdot (x + 4z) \cdot (x - 5) $.

Знаменатель: $ (x - 4z) \cdot (x + 4z) \cdot x \cdot (x - 5) \cdot (x + 5) \cdot (x^2 - 5x + 25) \cdot (x - 4z) $.

В знаменателе произведение $ (x - 4z) \cdot (x - 4z) $ равно $ (x - 4z)^2 $. Теперь выражение выглядит так:

$ \frac{z \cdot (x + 5) \cdot (x^2 - 5x + 25) \cdot (x - 4z)^2 \cdot (x + 4z) \cdot (x - 5)}{x \cdot (x + 5) \cdot (x^2 - 5x + 25) \cdot (x - 4z)^2 \cdot (x + 4z) \cdot (x - 5)} $.

Сокращаем одинаковые множители: $ (x + 5) $, $ (x^2 - 5x + 25) $, $ (x - 4z)^2 $, $ (x + 4z) $, $ (x - 5) $.

После сокращения в числителе остается $ z $, а в знаменателе $ x $:

$ \frac{z}{x} $.

Левая часть тождества равна $ \frac{z}{x} $, что совпадает с правой частью.
Ответ: Тождество доказано.

5.45 Найдите значение выражения:

a) $\frac{4x^2}{2x - y} : \frac{12x^3}{4x^2 - y^2} \cdot \frac{2x^2}{6x^2 + 3xy}$ при $x = 2,7845, y = -13,8471;$

б) $\frac{a^2 + a}{2a - 8} \cdot \frac{a^2 + a}{2a + 8} : \frac{3a^4 + 6a^3 + 3a^2}{a^2 - 16}$ при $a = 1234567890.$

а)

Чтобы найти значение выражения при заданных $x$ и $y$, сначала упростим его. Это позволит избежать громоздких вычислений.

Исходное выражение: $ \frac{4x^2}{2x - y} : \frac{12x^3}{4x^2 - y^2} \cdot \frac{2x^2}{6x^2 + 3xy} $.

Первым шагом заменим операцию деления на умножение на обратную дробь:

$ \frac{4x^2}{2x - y} \cdot \frac{4x^2 - y^2}{12x^3} \cdot \frac{2x^2}{6x^2 + 3xy} $

Теперь разложим на множители числители и знаменатели дробей, где это возможно.

Знаменатель второй дроби $ 4x^2 - y^2 $ является разностью квадратов: $ (2x - y)(2x + y) $.

Знаменатель третьей дроби $ 6x^2 + 3xy $ имеет общий множитель $ 3x $: $ 3x(2x + y) $.

Подставим разложенные многочлены обратно в выражение:

$ \frac{4x^2}{2x - y} \cdot \frac{(2x - y)(2x + y)}{12x^3} \cdot \frac{2x^2}{3x(2x + y)} $

Теперь мы можем сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе. Сокращаем $ (2x - y) $ и $ (2x + y) $:

$ \frac{4x^2}{1} \cdot \frac{1}{12x^3} \cdot \frac{2x^2}{3x} $

Перемножим оставшиеся части:

$ \frac{4x^2 \cdot 1 \cdot 2x^2}{1 \cdot 12x^3 \cdot 3x} = \frac{8x^4}{36x^4} $

Сократим дробь на $ 8x^4 $:

$ \frac{8}{36} = \frac{2 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{2}{9} $

Результат упрощения — константа. Это означает, что значение выражения не зависит от конкретных значений $ x $ и $ y $ (при условии, что они не обращают знаменатели в ноль, что выполняется для заданных чисел). Таким образом, подстановка значений $ x = 2,7845 $ и $ y = -13,8471 $ не требуется.

Ответ: $ \frac{2}{9} $

б)

Аналогично предыдущему пункту, сначала упростим алгебраическое выражение.

Исходное выражение: $ \frac{a^2 + a}{2a - 8} \cdot \frac{a^2 + a}{2a + 8} : \frac{3a^4 + 6a^3 + 3a^2}{a^2 - 16} $.

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$ \frac{a^2 + a}{2a - 8} \cdot \frac{a^2 + a}{2a + 8} \cdot \frac{a^2 - 16}{3a^4 + 6a^3 + 3a^2} $

Разложим на множители числители и знаменатели всех дробей.

• $ a^2 + a = a(a + 1) $
• $ 2a - 8 = 2(a - 4) $
• $ 2a + 8 = 2(a + 4) $
• $ a^2 - 16 = (a - 4)(a + 4) $ (формула разности квадратов)
• $ 3a^4 + 6a^3 + 3a^2 = 3a^2(a^2 + 2a + 1) = 3a^2(a + 1)^2 $ (вынесение общего множителя и формула квадрата суммы)

Подставим полученные разложения в выражение:

$ \frac{a(a + 1)}{2(a - 4)} \cdot \frac{a(a + 1)}{2(a + 4)} \cdot \frac{(a - 4)(a + 4)}{3a^2(a + 1)^2} $

Сгруппируем все множители в числителе и знаменателе:

$ \frac{a(a + 1) \cdot a(a + 1) \cdot (a - 4)(a + 4)}{2(a - 4) \cdot 2(a + 4) \cdot 3a^2(a + 1)^2} = \frac{a^2 (a + 1)^2 (a - 4)(a + 4)}{12a^2 (a - 4)(a + 4)(a + 1)^2} $

Сократим общие множители: $ a^2 $, $ (a + 1)^2 $, $ (a - 4) $, $ (a + 4) $.

После сокращения всех переменных множителей остается числовое значение:

$ \frac{1}{12} $

Выражение не зависит от значения переменной $ a $ (при условии, что $ a $ не равно $0, -1, 4, -4$). Заданное значение $ a = 1\;234\;567\;890 $ не является одним из этих исключений, следовательно, подставлять его в исходное выражение не нужно.

Ответ: $ \frac{1}{12} $

5.46 Докажите, что при всех допустимых значениях переменных выражение принимает одно и то же значение:

a) $\left(\frac{2x^2y^3}{x + y}\right)^3 : \left(\frac{x^6y^9}{x^2 - y^2} \cdot \frac{8x - 8y}{x^2 + 2xy + y^2}\right)$;

б) $\left(\frac{a - 3}{3a^2b}\right)^2 : \left(\frac{9 - a^2}{18a^3b} \cdot \frac{a^2b + 3ab}{2a - 6}\right)$.

а)

Чтобы доказать утверждение, упростим данное выражение по действиям.

1. Возведем в куб первую дробь, используя свойство степени $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:
$(\frac{2x^2y^3}{x+y})^3 = \frac{(2x^2y^3)^3}{(x+y)^3} = \frac{2^3(x^2)^3(y^3)^3}{(x+y)^3} = \frac{8x^6y^9}{(x+y)^3}$

2. Упростим выражение в скобках. Для этого разложим на множители знаменатели и числитель второй дроби, используя формулы разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ и квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:
$\frac{x^6y^9}{x^2-y^2} \cdot \frac{8x-8y}{x^2+2xy+y^2} = \frac{x^6y^9}{(x-y)(x+y)} \cdot \frac{8(x-y)}{(x+y)^2}$
Теперь сократим общие множители $(x-y)$:
$= \frac{x^6y^9 \cdot 8}{(x+y) \cdot (x+y)^2} = \frac{8x^6y^9}{(x+y)^3}$

3. Выполним деление результата первого действия на результат второго. Деление одинаковых выражений дает в результате 1.
$\frac{8x^6y^9}{(x+y)^3} : \frac{8x^6y^9}{(x+y)^3} = 1$

Мы получили, что значение выражения равно 1. Это значение не зависит от переменных $x$ и $y$. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых знаменатели дробей и делитель не равны нулю: $x+y \neq 0$, $x^2-y^2 \neq 0$, а также числители делителя $x^6y^9 \neq 0$ и $8x-8y \neq 0$. Это сводится к условиям: $x \neq \pm y$, $x \neq 0$ и $y \neq 0$. При соблюдении этих условий выражение всегда равно 1.
Ответ: 1.

б)

Упростим данное выражение по действиям.

1. Возведем в квадрат первую дробь:
$(\frac{a-3}{3a^2b})^2 = \frac{(a-3)^2}{(3a^2b)^2} = \frac{(a-3)^2}{9a^4b^2}$

2. Упростим выражение в скобках. Разложим числители и знаменатели на множители и заменим деление умножением на обратную дробь:
$\frac{9-a^2}{18a^3b} : \frac{a^2b+3ab}{2a-6} = \frac{(3-a)(3+a)}{18a^3b} : \frac{ab(a+3)}{2(a-3)}$
$= \frac{(3-a)(3+a)}{18a^3b} \cdot \frac{2(a-3)}{ab(a+3)}$
Используем тождество $3-a = -(a-3)$ и сократим общие множители $(a+3)$, а также числовые коэффициенты 2 и 18:
$= \frac{-(a-3)(a+3)}{18a^3b} \cdot \frac{2(a-3)}{ab(a+3)} = \frac{-2(a-3)^2(a+3)}{18a^4b^2(a+3)} = \frac{-(a-3)^2}{9a^4b^2}$

3. Выполним деление результата первого действия на результат второго действия:
$\frac{(a-3)^2}{9a^4b^2} : \left(\frac{-(a-3)^2}{9a^4b^2}\right) = \frac{(a-3)^2}{9a^4b^2} \cdot \frac{9a^4b^2}{-(a-3)^2} = -1$

Мы получили, что значение выражения равно -1. Это значение не зависит от переменных $a$ и $b$. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых все знаменатели и все делители не равны нулю. Это сводится к условиям: $a \neq 0$, $b \neq 0$, $a \neq 3$ и $a \neq -3$. При соблюдении этих условий выражение всегда равно -1.
Ответ: -1.

Упростите выражение:

6.1 а) $(\frac{c}{2} + \frac{c}{3}) \cdot \frac{1}{c^2};$

б) $(\frac{2x}{y^2} - \frac{1}{2x}) : (\frac{1}{y} + \frac{1}{2x});$

в) $\frac{d^2}{3} \cdot (\frac{d}{2} + \frac{2}{d^2});$

г) $(\frac{a}{b^2} - \frac{1}{a}) : (\frac{1}{b} + \frac{1}{a}).$

а) Сначала выполним сложение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{c}{2}$ и $\frac{c}{3}$ равен 6.
$(\frac{c}{2} + \frac{c}{3}) = \frac{c \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{c \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3c}{6} + \frac{2c}{6} = \frac{3c+2c}{6} = \frac{5c}{6}$.
Теперь умножим полученный результат на $\frac{1}{c^2}$:
$\frac{5c}{6} \cdot \frac{1}{c^2} = \frac{5c \cdot 1}{6 \cdot c^2} = \frac{5c}{6c^2}$.
Сократим дробь на $c$ (при условии, что $c \ne 0$):
$\frac{5}{6c}$.
Ответ: $\frac{5}{6c}$.

б) Упростим поочередно выражения в каждой из скобок.
1. Выражение в первых скобках: $(\frac{2x}{y^2} - \frac{1}{2x})$. Приводим к общему знаменателю $2xy^2$:
$\frac{2x \cdot 2x}{y^2 \cdot 2x} - \frac{1 \cdot y^2}{2x \cdot y^2} = \frac{4x^2 - y^2}{2xy^2}$.
Числитель является разностью квадратов: $4x^2 - y^2 = (2x-y)(2x+y)$. Таким образом, выражение в первых скобках равно $\frac{(2x-y)(2x+y)}{2xy^2}$.
2. Выражение во вторых скобках: $(\frac{1}{y} + \frac{1}{2x})$. Приводим к общему знаменателю $2xy$:
$\frac{1 \cdot 2x}{y \cdot 2x} + \frac{1 \cdot y}{2x \cdot y} = \frac{2x+y}{2xy}$.
3. Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$\frac{(2x-y)(2x+y)}{2xy^2} : \frac{2x+y}{2xy} = \frac{(2x-y)(2x+y)}{2xy^2} \cdot \frac{2xy}{2x+y}$.
Сокращаем одинаковые множители $(2x+y)$, $2x$ и $y$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x \ne 0, y \ne 0, 2x+y \ne 0$):
$\frac{(2x-y)\cancel{(2x+y)}}{\cancel{2x}y \cdot y} \cdot \frac{\cancel{2xy}}{\cancel{2x+y}} = \frac{2x-y}{y}$.
Ответ: $\frac{2x-y}{y}$.

в) Раскроем скобки, используя распределительный закон умножения: умножим $\frac{d^2}{3}$ на каждый член в скобках.
$\frac{d^2}{3} \cdot (\frac{d}{2} + \frac{2}{d^2}) = \frac{d^2}{3} \cdot \frac{d}{2} + \frac{d^2}{3} \cdot \frac{2}{d^2}$.
Упростим каждое из полученных слагаемых:
Первое слагаемое: $\frac{d^2 \cdot d}{3 \cdot 2} = \frac{d^3}{6}$.
Второе слагаемое: $\frac{d^2 \cdot 2}{3 \cdot d^2}$. Сокращаем на $d^2$ (при $d \ne 0$), получаем $\frac{2}{3}$.
Теперь сложим полученные выражения:
$\frac{d^3}{6} + \frac{2}{3}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$\frac{d^3}{6} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{d^3}{6} + \frac{4}{6} = \frac{d^3+4}{6}$.
Ответ: $\frac{d^3+4}{6}$.

г) Упростим выражения в каждой из скобок, а затем выполним деление.
1. Первые скобки: $(\frac{a}{b^2} - \frac{1}{a})$. Общий знаменатель $ab^2$.
$\frac{a \cdot a}{b^2 \cdot a} - \frac{1 \cdot b^2}{a \cdot b^2} = \frac{a^2 - b^2}{ab^2}$.
Числитель $a^2 - b^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $(a-b)(a+b)$. Таким образом, получаем: $\frac{(a-b)(a+b)}{ab^2}$.
2. Вторые скобки: $(\frac{1}{b} + \frac{1}{a})$. Общий знаменатель $ab$.
$\frac{1 \cdot a}{b \cdot a} + \frac{1 \cdot b}{a \cdot b} = \frac{a+b}{ab}$.
3. Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:
$\frac{(a-b)(a+b)}{ab^2} : \frac{a+b}{ab} = \frac{(a-b)(a+b)}{ab^2} \cdot \frac{ab}{a+b}$.
Сократим одинаковые множители $(a+b)$, $a$ и $b$ (при условии, что $a \ne 0, b \ne 0, a+b \ne 0$):
$\frac{(a-b)\cancel{(a+b)}}{\cancel{a}b \cdot b} \cdot \frac{\cancel{ab}}{\cancel{a+b}} = \frac{a-b}{b}$.
Ответ: $\frac{a-b}{b}$.

6.2 a) $(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}) \cdot \frac{5xy}{x - y};$

б) $(\frac{z^2}{t^2} + \frac{2z}{t} + 1) : \frac{t + z}{t};$

в) $(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) : \frac{a + b}{3ab};$

г) $(1 - \frac{2c}{d} + \frac{c^2}{d^2}) \cdot \frac{d}{c - d}.$

а)

Сначала выполним вычитание дробей в скобках, приведя их к общему знаменателю $xy$:

$\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{x \cdot x}{y \cdot x} - \frac{y \cdot y}{x \cdot y} = \frac{x^2 - y^2}{xy}$

Числитель $x^2 - y^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{(x-y)(x+y)}{xy}$

Теперь подставим полученное выражение обратно и выполним умножение:

$(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}) \cdot \frac{5xy}{x-y} = \frac{(x-y)(x+y)}{xy} \cdot \frac{5xy}{x-y}$

Сократим общие множители $(x-y)$ и $xy$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{(x-y)}(x+y)}{\cancel{xy}} \cdot \frac{5\cancel{xy}}{\cancel{x-y}} = 5(x+y)$

Ответ: $5(x+y)$

б)

Сначала преобразуем выражение в скобках. Приведем все слагаемые к общему знаменателю $t^2$:

$\frac{z^2}{t^2} + \frac{2z}{t} + 1 = \frac{z^2}{t^2} + \frac{2z \cdot t}{t \cdot t} + \frac{1 \cdot t^2}{t^2} = \frac{z^2 + 2zt + t^2}{t^2}$

Числитель $z^2 + 2zt + t^2$ является полным квадратом суммы по формуле $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$:

$\frac{z^2 + 2zt + t^2}{t^2} = \frac{(z+t)^2}{t^2}$

Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$(\frac{z^2}{t^2} + \frac{2z}{t} + 1) : \frac{t+z}{t} = \frac{(t+z)^2}{t^2} \cdot \frac{t}{t+z}$

Сократим общие множители $(t+z)$ и $t$:

$\frac{(t+z)^{\cancel{2}}}{t^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{t}}{\cancel{t+z}} = \frac{t+z}{t}$

Ответ: $\frac{t+z}{t}$

в)

Первым шагом приведем дроби в скобках к общему знаменателю $ab$:

$\frac{a}{b} - \frac{b}{a} = \frac{a^2}{ab} - \frac{b^2}{ab} = \frac{a^2 - b^2}{ab}$

Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ для числителя:

$\frac{a^2 - b^2}{ab} = \frac{(a-b)(a+b)}{ab}$

Теперь выполним деление, заменив его на умножение на обратную дробь:

$(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) : \frac{a+b}{3ab} = \frac{(a-b)(a+b)}{ab} \cdot \frac{3ab}{a+b}$

Сократим одинаковые множители $(a+b)$ и $ab$ в числителе и знаменателе:

$\frac{(a-b)\cancel{(a+b)}}{\cancel{ab}} \cdot \frac{3\cancel{ab}}{\cancel{a+b}} = 3(a-b)$

Ответ: $3(a-b)$

г)

Сначала упростим выражение в скобках. Приведем все члены к общему знаменателю $d^2$:

$1 - \frac{2c}{d} + \frac{c^2}{d^2} = \frac{d^2}{d^2} - \frac{2c \cdot d}{d \cdot d} + \frac{c^2}{d^2} = \frac{d^2 - 2cd + c^2}{d^2}$

Числитель представляет собой полный квадрат разности по формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$. Заметим, что $d^2 - 2cd + c^2 = (d-c)^2$, а также $(d-c)^2 = (c-d)^2$. Выберем форму $(c-d)^2$ для удобства дальнейшего сокращения:

$\frac{d^2 - 2cd + c^2}{d^2} = \frac{(c-d)^2}{d^2}$

Теперь выполним умножение:

$(1 - \frac{2c}{d} + \frac{c^2}{d^2}) \cdot \frac{d}{c-d} = \frac{(c-d)^2}{d^2} \cdot \frac{d}{c-d}$

Сократим общие множители $(c-d)$ и $d$:

$\frac{(c-d)^{\cancel{2}}}{d^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{d}}{\cancel{c-d}} = \frac{c-d}{d}$

Ответ: $\frac{c-d}{d}$