Страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

5.17 a) $ \frac{rx + r^2}{x^2} : \frac{x + r}{x}; $

б) $ \frac{mx + my}{ab^2} \cdot \frac{a^2b}{4x + 4y}; $

в) $ \frac{xy}{p^2 + p^3} \cdot \frac{p + p^2}{x^2y^2}; $

г) $ \frac{6a}{n^2 - n} : \frac{3an}{2n - 2}. $

а)

Исходное выражение: $\frac{rx + r^2}{x^2} : \frac{x + r}{x}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернуть вторую дробь):

$\frac{rx + r^2}{x^2} \cdot \frac{x}{x + r}$

Разложим числитель первой дроби на множители, вынеся общий множитель $r$ за скобки:

$rx + r^2 = r(x+r)$

Подставим разложенное выражение обратно в пример:

$\frac{r(x+r)}{x^2} \cdot \frac{x}{x + r}$

Сократим общие множители. Выражение $(x+r)$ есть и в числителе, и в знаменателе, сокращаем его. Также сокращаем $x$ в числителе и $x^2$ в знаменателе (остается $x$ в знаменателе):

$\frac{r \cdot \cancel{(x+r)}}{x \cdot \cancel{x}} \cdot \frac{\cancel{x}}{\cancel{x + r}} = \frac{r}{x}$

Ответ: $\frac{r}{x}$

б)

Исходное выражение: $\frac{mx + my}{ab^2} \cdot \frac{a^2b}{4x + 4y}$

Чтобы умножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Для упрощения сначала разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй дроби, вынеся общие множители за скобки:

$mx + my = m(x+y)$

$4x + 4y = 4(x+y)$

Подставим разложенные выражения в пример:

$\frac{m(x+y)}{ab^2} \cdot \frac{a^2b}{4(x+y)}$

Теперь сократим общие множители. Сокращаем $(x+y)$ в числителе и знаменателе. Сокращаем $a$ в знаменателе и $a^2$ в числителе (остается $a$). Сокращаем $b$ в числителе и $b^2$ в знаменателе (остается $b$):

$\frac{m \cdot \cancel{(x+y)}}{\cancel{a} \cdot b \cdot \cancel{b}} \cdot \frac{a \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{b}}{4 \cdot \cancel{(x+y)}} = \frac{m \cdot a}{b \cdot 4} = \frac{am}{4b}$

Ответ: $\frac{am}{4b}$

в)

Исходное выражение: $\frac{xy}{p^2 + p^3} \cdot \frac{p + p^2}{x^2y^2}$

Разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй дроби:

$p^2 + p^3 = p^2(1+p)$

$p + p^2 = p(1+p)$

Подставим разложенные выражения в пример:

$\frac{xy}{p^2(1+p)} \cdot \frac{p(1+p)}{x^2y^2}$

Сократим общие множители. Сокращаем $(1+p)$. Сокращаем $p$ в числителе и $p^2$ в знаменателе (остается $p$). Сокращаем $x$ в числителе и $x^2$ в знаменателе (остается $x$). Сокращаем $y$ в числителе и $y^2$ в знаменателе (остается $y$):

$\frac{\cancel{x}\cancel{y}}{p \cdot \cancel{p} \cdot \cancel{(1+p)}} \cdot \frac{\cancel{p} \cdot \cancel{(1+p)}}{x \cdot \cancel{x} \cdot y \cdot \cancel{y}} = \frac{1}{p \cdot x \cdot y} = \frac{1}{pxy}$

Ответ: $\frac{1}{pxy}$

г)

Исходное выражение: $\frac{6a}{n^2 - n} : \frac{3an}{2n - 2}$

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{6a}{n^2 - n} \cdot \frac{2n - 2}{3an}$

Разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй дроби:

$n^2 - n = n(n-1)$

$2n - 2 = 2(n-1)$

Подставим разложенные выражения в пример:

$\frac{6a}{n(n-1)} \cdot \frac{2(n-1)}{3an}$

Сократим общие множители. Сокращаем $(n-1)$. Сокращаем $a$. Числовые коэффициенты 6 и 3 сокращаются до 2. В знаменателе остаются два множителя $n$:

$\frac{2 \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{a}}{n \cdot \cancel{(n-1)}} \cdot \frac{2 \cdot \cancel{(n-1)}}{\cancel{3} \cdot \cancel{a} \cdot n} = \frac{2 \cdot 2}{n \cdot n} = \frac{4}{n^2}$

Ответ: $\frac{4}{n^2}$

5.18 а) $\frac{4p - p^2}{y - x} : \frac{8p - 2p^2}{x - y}$;

б) $\frac{a - b}{3q - q^2} \cdot \frac{6q - 2q^2}{b - a}$;

в) $\frac{c^3 - c^2}{d^3 + d} \cdot \frac{1 + d^2}{c - c^2}$;

г) $\frac{x + x^3}{n - n^2} : \frac{x^2 + 1}{n^3 - n^2}$.

а) Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, необходимо первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернуть вторую дробь):
$\frac{4p - p^2}{y - x} : \frac{8p - 2p^2}{x - y} = \frac{4p - p^2}{y - x} \cdot \frac{x - y}{8p - 2p^2}$.
Теперь разложим числители и знаменатели на множители, чтобы сократить дробь. В числителе первой дроби вынесем общий множитель $p$ за скобки: $4p - p^2 = p(4 - p)$.
В знаменателе первой дроби вынесем $-1$ за скобки, чтобы получить выражение $(x - y)$: $y - x = -(x - y)$.
В знаменателе второй дроби вынесем общий множитель $2p$ за скобки: $8p - 2p^2 = 2p(4 - p)$.
Подставим полученные выражения обратно в произведение: $\frac{p(4 - p)}{-(x - y)} \cdot \frac{x - y}{2p(4 - p)}$.
Сократим общие множители $p$, $(4 - p)$ и $(x - y)$: $\frac{\cancel{p}\cancel{(4 - p)}}{- \cancel{(x - y)}} \cdot \frac{\cancel{x - y}}{2\cancel{p}\cancel{(4 - p)}} = \frac{1}{-1} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

б) Для умножения двух алгебраических дробей перемножим их числители и знаменатели:
$\frac{a - b}{3q - q^2} \cdot \frac{6q - 2q^2}{b - a} = \frac{(a - b)(6q - 2q^2)}{(3q - q^2)(b - a)}$.
Разложим числители и знаменатели на множители. В знаменателе первой дроби вынесем $q$ за скобки: $3q - q^2 = q(3 - q)$.
В числителе второй дроби вынесем $2q$ за скобки: $6q - 2q^2 = 2q(3 - q)$.
В знаменателе второй дроби вынесем $-1$ за скобки: $b - a = -(a - b)$.
Подставим разложенные на множители выражения: $\frac{(a - b) \cdot 2q(3 - q)}{q(3 - q) \cdot (-(a - b))}$.
Сократим общие множители $(a - b)$, $q$ и $(3 - q)$: $\frac{\cancel{(a - b)} \cdot 2\cancel{q}\cancel{(3 - q)}}{\cancel{q}\cancel{(3 - q)} \cdot (-\cancel{(a - b)})} = \frac{2}{-1} = -2$.
Ответ: $-2$.

в) Для умножения двух алгебраических дробей перемножим их числители и знаменатели:
$\frac{c^3 - c^2}{d^3 + d} \cdot \frac{1 + d^2}{c - c^2} = \frac{(c^3 - c^2)(1 + d^2)}{(d^3 + d)(c - c^2)}$.
Разложим на множители числители и знаменатели. В числителе первой дроби вынесем $c^2$: $c^3 - c^2 = c^2(c - 1)$.
В знаменателе первой дроби вынесем $d$: $d^3 + d = d(d^2 + 1)$.
В знаменателе второй дроби вынесем $c$ и затем $-1$: $c - c^2 = c(1 - c) = -c(c - 1)$.
Подставим полученные выражения: $\frac{c^2(c - 1) \cdot (d^2 + 1)}{d(d^2 + 1) \cdot (-c(c - 1))}$.
Сократим общие множители $c$, $(c - 1)$ и $(d^2 + 1)$: $\frac{c^{\cancel{2}}\cancel{(c - 1)} \cdot \cancel{(d^2 + 1)}}{d\cancel{(d^2 + 1)} \cdot (-\cancel{c}\cancel{(c - 1)})} = \frac{c}{-d} = -\frac{c}{d}$.
Ответ: $-\frac{c}{d}$.

г) Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{x + x^3}{n - n^2} : \frac{x^2 + 1}{n^3 - n^2} = \frac{x + x^3}{n - n^2} \cdot \frac{n^3 - n^2}{x^2 + 1}$.
Разложим числители и знаменатели на множители. В числителе первой дроби вынесем $x$: $x + x^3 = x(1 + x^2)$.
В знаменателе первой дроби вынесем $n$: $n - n^2 = n(1 - n)$.
В числителе второй дроби вынесем $n^2$: $n^3 - n^2 = n^2(n - 1)$.
Заметим, что $n - 1 = -(1 - n)$. Подставим разложенные выражения в произведение: $\frac{x(1 + x^2)}{n(1 - n)} \cdot \frac{n^2(n - 1)}{x^2 + 1} = \frac{x(x^2 + 1)}{n(1 - n)} \cdot \frac{-n^2(1 - n)}{x^2 + 1}$.
Сократим общие множители $n$, $(1 - n)$ и $(x^2 + 1)$: $\frac{x\cancel{(x^2 + 1)}}{\cancel{n}\cancel{(1 - n)}} \cdot \frac{-n^{\cancel{2}}\cancel{(1 - n)}}{\cancel{x^2 + 1}} = x \cdot (-n) = -xn$.
Ответ: $-xn$.

5.19 а) $\frac{x^2 - y^2}{3xy} : \frac{3y}{x - y}$

б) $\frac{5a^2}{a^2 - 16} : \frac{5a}{a + 4}$

в) $\frac{c^2 - 49}{10cd} : \frac{2c + 14}{5d}$

г) $\frac{b - d}{d} \cdot \frac{3bd}{b^2 - d^2}$

а)

Выполним умножение дробей $ \frac{x^2 - y^2}{3xy} \cdot \frac{3y}{x - y} $.

1. Разложим числитель первой дроби $ x^2 - y^2 $ на множители по формуле разности квадратов: $ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) $.

2. Подставим разложенный числитель в исходное выражение:

$ \frac{(x - y)(x + y)}{3xy} \cdot \frac{3y}{x - y} $

3. Запишем произведение под общей чертой дроби:

$ \frac{(x - y)(x + y) \cdot 3y}{3xy \cdot (x - y)} $

4. Сократим общие множители в числителе и знаменателе: $ (x - y) $, $ 3 $ и $ y $.

$ \frac{\cancel{(x - y)}(x + y) \cdot \cancel{3y}}{\cancel{3}x\cancel{y} \cdot \cancel{(x - y)}} = \frac{x + y}{x} $

Ответ: $ \frac{x+y}{x} $

б)

Выполним деление дробей $ \frac{5a^2}{a^2 - 16} : \frac{5a}{a + 4} $.

1. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$ \frac{5a^2}{a^2 - 16} \cdot \frac{a + 4}{5a} $

2. Разложим знаменатель первой дроби $ a^2 - 16 $ на множители по формуле разности квадратов: $ a^2 - 16 = (a - 4)(a + 4) $.

3. Подставим разложенный знаменатель в выражение:

$ \frac{5a^2}{(a - 4)(a + 4)} \cdot \frac{a + 4}{5a} $

4. Запишем произведение под общей чертой дроби и сократим общие множители $ (a + 4) $, $ 5 $ и $ a $:

$ \frac{5a^2 \cdot (a + 4)}{(a - 4)(a + 4) \cdot 5a} = \frac{\cancel{5}\cancel{a} \cdot a \cdot \cancel{(a + 4)}}{(a - 4)\cancel{(a + 4)} \cdot \cancel{5}\cancel{a}} = \frac{a}{a - 4} $

Ответ: $ \frac{a}{a-4} $

в)

Выполним деление дробей $ \frac{c^2 - 49}{10cd} : \frac{2c + 14}{5d} $.

1. Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$ \frac{c^2 - 49}{10cd} \cdot \frac{5d}{2c + 14} $

2. Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй дроби. Используем формулу разности квадратов для $ c^2 - 49 = (c - 7)(c + 7) $ и вынесение общего множителя для $ 2c + 14 = 2(c + 7) $.

3. Подставим разложения в выражение:

$ \frac{(c - 7)(c + 7)}{10cd} \cdot \frac{5d}{2(c + 7)} $

4. Запишем под общей чертой и выполним сокращение:

$ \frac{(c - 7)(c + 7) \cdot 5d}{10cd \cdot 2(c + 7)} = \frac{(c - 7)\cancel{(c + 7)} \cdot \cancel{5}\cancel{d}}{\cancel{10}_2c\cancel{d} \cdot 2\cancel{(c + 7)}} = \frac{c - 7}{2c \cdot 2} = \frac{c - 7}{4c} $

Ответ: $ \frac{c-7}{4c} $

г)

Выполним умножение дробей $ \frac{b - d}{d} \cdot \frac{3bd}{b^2 - d^2} $.

1. Разложим знаменатель второй дроби $ b^2 - d^2 $ на множители по формуле разности квадратов: $ b^2 - d^2 = (b - d)(b + d) $.

2. Подставим разложенный знаменатель в исходное выражение:

$ \frac{b - d}{d} \cdot \frac{3bd}{(b - d)(b + d)} $

3. Запишем произведение под общей чертой дроби:

$ \frac{(b - d) \cdot 3bd}{d \cdot (b - d)(b + d)} $

4. Сократим общие множители $ (b - d) $ и $ d $:

$ \frac{\cancel{(b - d)} \cdot 3b\cancel{d}}{\cancel{d} \cdot \cancel{(b - d)}(b + d)} = \frac{3b}{b + d} $

Ответ: $ \frac{3b}{b+d} $

5.20 a) $\frac{1}{x+y} \cdot (x^3 + y^3);$

б) $(a^3 + b^3) : (a^2 - ab + b^2);$

в) $\frac{1}{n^3 - m^3} \cdot (n^2 + nm + m^2);$

г) $(p^3 - q^3) : (p - q).$

а)

Для решения данного примера воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.

Подставим это разложение в исходное выражение:

$\frac{1}{x + y} \cdot (x^3 + y^3) = \frac{1}{x + y} \cdot (x+y)(x^2 - xy + y^2)$

Можно представить это как одну дробь:

$\frac{(x+y)(x^2 - xy + y^2)}{x + y}$

Сократим общий множитель $(x+y)$ в числителе и знаменателе:

$x^2 - xy + y^2$

Ответ: $x^2 - xy + y^2$

б)

Представим деление в виде дроби. Для упрощения воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

$(a^3 + b^3) : (a^2 - ab + b^2) = \frac{a^3 + b^3}{a^2 - ab + b^2}$

Подставим разложение суммы кубов в числитель дроби:

$\frac{(a+b)(a^2 - ab + b^2)}{a^2 - ab + b^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(a^2 - ab + b^2)$:

$a+b$

Ответ: $a+b$

в)

Для решения этого примера воспользуемся формулой разности кубов: $n^3 - m^3 = (n-m)(n^2 + nm + m^2)$.

Запишем исходное выражение в виде одной дроби:

$\frac{1}{n^3 - m^3} \cdot (n^2 + nm + m^2) = \frac{n^2 + nm + m^2}{n^3 - m^3}$

Теперь подставим разложение разности кубов в знаменатель:

$\frac{n^2 + nm + m^2}{(n-m)(n^2 + nm + m^2)}$

Сократим дробь на общий множитель $(n^2 + nm + m^2)$:

$\frac{1}{n-m}$

Ответ: $\frac{1}{n-m}$

г)

Представим деление в виде дроби. Для упрощения воспользуемся формулой разности кубов: $p^3 - q^3 = (p-q)(p^2 + pq + q^2)$.

$(p^3 - q^3) : (p - q) = \frac{p^3 - q^3}{p - q}$

Подставим разложение разности кубов в числитель дроби:

$\frac{(p-q)(p^2 + pq + q^2)}{p - q}$

Сократим дробь на общий множитель $(p-q)$:

$p^2 + pq + q^2$

Ответ: $p^2 + pq + q^2$

5.21 а) $ \frac{1}{a^3 - b^3} \cdot (a^2 - b^2) $;

б) $ (8a^3 + 1) : \frac{4a^2 - 2a + 1}{n} $;

в) $ \frac{12n}{x^3 - 27} \cdot \frac{x^2 + 3x + 9}{6n} $;

г) $ \frac{m^3 - 64}{3} : (m^2 + 4m + 16) $.

а) Чтобы упростить выражение $ \frac{1}{a^3 - b^3} \cdot (a^2 - b^2) $, представим его в виде одной дроби: $ \frac{a^2 - b^2}{a^3 - b^3} $.
Воспользуемся формулами сокращенного умножения: разностью квадратов $ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $ и разностью кубов $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $.
Подставим разложенные на множители выражения в дробь: $ \frac{(a - b)(a + b)}{(a - b)(a^2 + ab + b^2)} $.
Сократим общий множитель $ (a - b) $: $ \frac{a + b}{a^2 + ab + b^2} $.
Ответ: $ \frac{a + b}{a^2 + ab + b^2} $.

б) Чтобы выполнить деление $ (8a^3 + 1) : \frac{4a^2 - 2a + 1}{n} $, заменим деление на умножение на обратную дробь: $ (8a^3 + 1) \cdot \frac{n}{4a^2 - 2a + 1} $.
Разложим выражение $ 8a^3 + 1 $ на множители по формуле суммы кубов $ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) $. В нашем случае $ x = 2a $ и $ y = 1 $: $ 8a^3 + 1 = (2a)^3 + 1^3 = (2a + 1)((2a)^2 - 2a \cdot 1 + 1^2) = (2a + 1)(4a^2 - 2a + 1) $.
Подставим полученное разложение в исходное выражение: $ \frac{(2a + 1)(4a^2 - 2a + 1)}{1} \cdot \frac{n}{4a^2 - 2a + 1} $.
Сократим общий множитель $ (4a^2 - 2a + 1) $: $ (2a + 1) \cdot n = n(2a + 1) $.
Ответ: $ n(2a + 1) $.

в) Для выполнения деления дробей $ \frac{12n}{x^3 - 27} : \frac{x^2 + 3x + 9}{6n} $ заменим операцию деления на умножение на обратную (перевернутую) дробь: $ \frac{12n}{x^3 - 27} \cdot \frac{6n}{x^2 + 3x + 9} $.
Разложим знаменатель первой дроби $ x^3 - 27 $ по формуле разности кубов $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $: $ x^3 - 27 = x^3 - 3^3 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9) $.
Подставим разложение в выражение: $ \frac{12n}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)} \cdot \frac{6n}{x^2 + 3x + 9} $.
Теперь перемножим числители и знаменатели: $ \frac{12n \cdot 6n}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)(x^2 + 3x + 9)} = \frac{72n^2}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)^2} $.
Ответ: $ \frac{72n^2}{(x-3)(x^2+3x+9)^2} $.

г) Дано выражение $ \frac{m^3 - 64}{3} : (m^2 + 4m + 16) $.
Представим делитель в виде дроби $ \frac{m^2 + 4m + 16}{1} $ и заменим деление на умножение на обратную дробь: $ \frac{m^3 - 64}{3} \cdot \frac{1}{m^2 + 4m + 16} $.
Разложим числитель первой дроби $ m^3 - 64 $ по формуле разности кубов $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $: $ m^3 - 64 = m^3 - 4^3 = (m - 4)(m^2 + 4m + 16) $.
Подставим разложение в выражение: $ \frac{(m - 4)(m^2 + 4m + 16)}{3} \cdot \frac{1}{m^2 + 4m + 16} $.
Сократим общий множитель $ (m^2 + 4m + 16) $: $ \frac{m - 4}{3} $.
Ответ: $ \frac{m - 4}{3} $.

5.22 а) $\frac{x^2 - 10x + 25}{3x + 12} : \frac{2x - 10}{x^2 - 16}$

б) $\frac{1 - a}{4a + 8b} \cdot \frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{3 - 3a}$

в) $\frac{c^2 - 25}{c^2 + 12c + 36} \cdot \frac{3c + 18}{2c + 10}$

г) $\frac{5m - 10n}{m - 5} : \frac{4n^2 - 4mn + m^2}{15 - 3m}$

а) Чтобы разделить одну рациональную дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернуть вторую дробь):

$\frac{x^2 - 10x + 25}{3x + 12} : \frac{2x - 10}{x^2 - 16} = \frac{x^2 - 10x + 25}{3x + 12} \cdot \frac{x^2 - 16}{2x - 10}$

Теперь разложим на множители числители и знаменатели всех дробей. Для этого используем формулы сокращенного умножения (квадрат разности и разность квадратов) и вынесение общего множителя за скобки.

Числитель первой дроби: $x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$.

Знаменатель первой дроби: $3x + 12 = 3(x+4)$.

Числитель второй дроби: $x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$.

Знаменатель второй дроби: $2x - 10 = 2(x-5)$.

Подставим полученные выражения обратно в пример:

$\frac{(x-5)^2}{3(x+4)} \cdot \frac{(x-4)(x+4)}{2(x-5)}$

Сократим общие множители $(x-5)$ и $(x+4)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{(x-5)^{\cancel{2}}}{3\cancel{(x+4)}} \cdot \frac{(x-4)\cancel{(x+4)}}{2\cancel{(x-5)}} = \frac{(x-5)(x-4)}{3 \cdot 2} = \frac{(x-5)(x-4)}{6}$

Ответ: $\frac{(x-5)(x-4)}{6}$

б) Для умножения двух рациональных дробей нужно перемножить их числители и знаменатели. Сначала разложим многочлены на множители.

$\frac{1 - a}{4a + 8b} \cdot \frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{3 - 3a}$

Знаменатель первой дроби: $4a + 8b = 4(a + 2b)$.

Числитель второй дроби (квадрат суммы): $a^2 + 4ab + 4b^2 = (a + 2b)^2$.

Знаменатель второй дроби: $3 - 3a = 3(1 - a)$.

Подставим разложенные выражения в пример:

$\frac{1 - a}{4(a + 2b)} \cdot \frac{(a + 2b)^2}{3(1 - a)}$

Сократим общие множители $(1 - a)$ и $(a + 2b)$:

$\frac{\cancel{1 - a}}{4\cancel{(a + 2b)}} \cdot \frac{(a + 2b)^{\cancel{2}}}{3\cancel{(1 - a)}} = \frac{a + 2b}{4 \cdot 3} = \frac{a + 2b}{12}$

Ответ: $\frac{a+2b}{12}$

в) Выполним умножение дробей, предварительно разложив их числители и знаменатели на множители.

$\frac{c^2 - 25}{c^2 + 12c + 36} \cdot \frac{3c + 18}{2c + 10}$

Числитель первой дроби (разность квадратов): $c^2 - 25 = (c-5)(c+5)$.

Знаменатель первой дроби (квадрат суммы): $c^2 + 12c + 36 = (c+6)^2$.

Числитель второй дроби: $3c + 18 = 3(c+6)$.

Знаменатель второй дроби: $2c + 10 = 2(c+5)$.

Подставим разложения в исходное выражение:

$\frac{(c-5)(c+5)}{(c+6)^2} \cdot \frac{3(c+6)}{2(c+5)}$

Сократим общие множители $(c+5)$ и $(c+6)$:

$\frac{(c-5)\cancel{(c+5)}}{(c+6)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{3\cancel{(c+6)}}{2\cancel{(c+5)}} = \frac{3(c-5)}{2(c+6)}$

Ответ: $\frac{3(c-5)}{2(c+6)}$

г) Для деления дробей заменим его умножением на обратную дробь.

$\frac{5m - 10n}{m - 5} : \frac{4n^2 - 4mn + m^2}{15 - 3m} = \frac{5m - 10n}{m - 5} \cdot \frac{15 - 3m}{4n^2 - 4mn + m^2}$

Разложим числители и знаменатели на множители.

Числитель первой дроби: $5m - 10n = 5(m - 2n)$.

Числитель второй дроби: $15 - 3m = 3(5 - m) = -3(m - 5)$.

Знаменатель второй дроби (квадрат разности): $4n^2 - 4mn + m^2 = m^2 - 4mn + 4n^2 = (m - 2n)^2$.

Подставим полученные выражения:

$\frac{5(m - 2n)}{m - 5} \cdot \frac{-3(m - 5)}{(m - 2n)^2}$

Сократим общие множители $(m - 5)$ и $(m - 2n)$:

$\frac{5\cancel{(m - 2n)}}{\cancel{m - 5}} \cdot \frac{-3\cancel{(m - 5)}}{(m - 2n)^{\cancel{2}}} = \frac{5 \cdot (-3)}{m - 2n} = \frac{-15}{m - 2n}$

Ответ: $-\frac{15}{m-2n}$

Выполните возведение алгебраической дроби в степень:

5.23 а) $(\frac{x}{y})^8$;

б) $(\frac{p}{qr})^{12}$;

в) $(\frac{cd}{m})^{19}$;

г) $(\frac{z}{ts})^{23}$.

Для выполнения возведения алгебраической дроби в степень используется свойство степени дроби: чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень её числитель и знаменатель. Формула этого свойства: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.

Если в числителе или знаменателе находится произведение нескольких множителей, то используется свойство степени произведения: чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель. Формула этого свойства: $(xy)^n = x^n y^n$.

а) Чтобы возвести дробь $(\frac{x}{y})$ в степень 8, необходимо возвести в 8-ю степень и числитель $x$, и знаменатель $y$.

$(\frac{x}{y})^8 = \frac{x^8}{y^8}$

Ответ: $\frac{x^8}{y^8}$

б) Чтобы возвести дробь $(\frac{p}{qr})$ в степень 12, необходимо возвести в 12-ю степень числитель $p$ и знаменатель $qr$.

$(\frac{p}{qr})^{12} = \frac{p^{12}}{(qr)^{12}}$

Затем, применяя свойство степени произведения к знаменателю, возводим в 12-ю степень каждый множитель $q$ и $r$.

$\frac{p^{12}}{(qr)^{12}} = \frac{p^{12}}{q^{12}r^{12}}$

Ответ: $\frac{p^{12}}{q^{12}r^{12}}$

в) Чтобы возвести дробь $(\frac{cd}{m})$ в степень 19, необходимо возвести в 19-ю степень числитель $cd$ и знаменатель $m$.

$(\frac{cd}{m})^{19} = \frac{(cd)^{19}}{m^{19}}$

Далее, применяя свойство степени произведения к числителю, возводим в 19-ю степень каждый множитель $c$ и $d$.

$\frac{(cd)^{19}}{m^{19}} = \frac{c^{19}d^{19}}{m^{19}}$

Ответ: $\frac{c^{19}d^{19}}{m^{19}}$

г) Чтобы возвести дробь $(\frac{z}{ts})$ в степень 23, необходимо возвести в 23-ю степень числитель $z$ и знаменатель $ts$.

$(\frac{z}{ts})^{23} = \frac{z^{23}}{(ts)^{23}}$

Затем, применяя свойство степени произведения к знаменателю, возводим в 23-ю степень каждый множитель $t$ и $s$.

$\frac{z^{23}}{(ts)^{23}} = \frac{z^{23}}{t^{23}s^{23}}$

Ответ: $\frac{z^{23}}{t^{23}s^{23}}$