Номер 5.18, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 5. Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 5.18, страница 39.

Условие.

5.18 а) $\frac{4p - p^2}{y - x} : \frac{8p - 2p^2}{x - y}$;

б) $\frac{a - b}{3q - q^2} \cdot \frac{6q - 2q^2}{b - a}$;

в) $\frac{c^3 - c^2}{d^3 + d} \cdot \frac{1 + d^2}{c - c^2}$;

г) $\frac{x + x^3}{n - n^2} : \frac{x^2 + 1}{n^3 - n^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, необходимо первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернуть вторую дробь):
$\frac{4p - p^2}{y - x} : \frac{8p - 2p^2}{x - y} = \frac{4p - p^2}{y - x} \cdot \frac{x - y}{8p - 2p^2}$.
Теперь разложим числители и знаменатели на множители, чтобы сократить дробь. В числителе первой дроби вынесем общий множитель $p$ за скобки: $4p - p^2 = p(4 - p)$.
В знаменателе первой дроби вынесем $-1$ за скобки, чтобы получить выражение $(x - y)$: $y - x = -(x - y)$.
В знаменателе второй дроби вынесем общий множитель $2p$ за скобки: $8p - 2p^2 = 2p(4 - p)$.
Подставим полученные выражения обратно в произведение: $\frac{p(4 - p)}{-(x - y)} \cdot \frac{x - y}{2p(4 - p)}$.
Сократим общие множители $p$, $(4 - p)$ и $(x - y)$: $\frac{\cancel{p}\cancel{(4 - p)}}{- \cancel{(x - y)}} \cdot \frac{\cancel{x - y}}{2\cancel{p}\cancel{(4 - p)}} = \frac{1}{-1} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

б) Для умножения двух алгебраических дробей перемножим их числители и знаменатели:
$\frac{a - b}{3q - q^2} \cdot \frac{6q - 2q^2}{b - a} = \frac{(a - b)(6q - 2q^2)}{(3q - q^2)(b - a)}$.
Разложим числители и знаменатели на множители. В знаменателе первой дроби вынесем $q$ за скобки: $3q - q^2 = q(3 - q)$.
В числителе второй дроби вынесем $2q$ за скобки: $6q - 2q^2 = 2q(3 - q)$.
В знаменателе второй дроби вынесем $-1$ за скобки: $b - a = -(a - b)$.
Подставим разложенные на множители выражения: $\frac{(a - b) \cdot 2q(3 - q)}{q(3 - q) \cdot (-(a - b))}$.
Сократим общие множители $(a - b)$, $q$ и $(3 - q)$: $\frac{\cancel{(a - b)} \cdot 2\cancel{q}\cancel{(3 - q)}}{\cancel{q}\cancel{(3 - q)} \cdot (-\cancel{(a - b)})} = \frac{2}{-1} = -2$.
Ответ: $-2$.

в) Для умножения двух алгебраических дробей перемножим их числители и знаменатели:
$\frac{c^3 - c^2}{d^3 + d} \cdot \frac{1 + d^2}{c - c^2} = \frac{(c^3 - c^2)(1 + d^2)}{(d^3 + d)(c - c^2)}$.
Разложим на множители числители и знаменатели. В числителе первой дроби вынесем $c^2$: $c^3 - c^2 = c^2(c - 1)$.
В знаменателе первой дроби вынесем $d$: $d^3 + d = d(d^2 + 1)$.
В знаменателе второй дроби вынесем $c$ и затем $-1$: $c - c^2 = c(1 - c) = -c(c - 1)$.
Подставим полученные выражения: $\frac{c^2(c - 1) \cdot (d^2 + 1)}{d(d^2 + 1) \cdot (-c(c - 1))}$.
Сократим общие множители $c$, $(c - 1)$ и $(d^2 + 1)$: $\frac{c^{\cancel{2}}\cancel{(c - 1)} \cdot \cancel{(d^2 + 1)}}{d\cancel{(d^2 + 1)} \cdot (-\cancel{c}\cancel{(c - 1)})} = \frac{c}{-d} = -\frac{c}{d}$.
Ответ: $-\frac{c}{d}$.

г) Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{x + x^3}{n - n^2} : \frac{x^2 + 1}{n^3 - n^2} = \frac{x + x^3}{n - n^2} \cdot \frac{n^3 - n^2}{x^2 + 1}$.
Разложим числители и знаменатели на множители. В числителе первой дроби вынесем $x$: $x + x^3 = x(1 + x^2)$.
В знаменателе первой дроби вынесем $n$: $n - n^2 = n(1 - n)$.
В числителе второй дроби вынесем $n^2$: $n^3 - n^2 = n^2(n - 1)$.
Заметим, что $n - 1 = -(1 - n)$. Подставим разложенные выражения в произведение: $\frac{x(1 + x^2)}{n(1 - n)} \cdot \frac{n^2(n - 1)}{x^2 + 1} = \frac{x(x^2 + 1)}{n(1 - n)} \cdot \frac{-n^2(1 - n)}{x^2 + 1}$.
Сократим общие множители $n$, $(1 - n)$ и $(x^2 + 1)$: $\frac{x\cancel{(x^2 + 1)}}{\cancel{n}\cancel{(1 - n)}} \cdot \frac{-n^{\cancel{2}}\cancel{(1 - n)}}{\cancel{x^2 + 1}} = x \cdot (-n) = -xn$.
Ответ: $-xn$.